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一般地,若(,是常数,),则叫做的一次函数,它的图象是一条直线,函数解析式6中的系数符号,决定图象的大致位置及单调性(随的变化情况).如图所示:
一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系,任意一个一次函数都可看作是关于、的一个二元一次方程;任意一个关于、的二元一次方程,可化为形如()的函数形式.坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系,求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组.
【例题求解】
【例1】如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7),P为线段OC上一点,若过B、P两点的直线为,过A、P两点的直线为,且BP⊥AP,则=.
思路点拨解题的关键是求出P点坐标,只需运用几何知识建立OP的等式即可.
【例2】设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(=1,2,…2000),则S1+S2+…+S2000的值为()
A.1B.C.D.
思路点拨求出直线与轴、轴交点坐标,从一般形式入手,把用含的代数式表示.
【例3】某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为分钟,Q1、Q2与之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:
(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中,运输飞机的余油量Q1(吨)与时间(分钟)的函数关系式;
(3)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由.
思路点拨对于(3),解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量.
注:(1)当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点,一次函数当自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.
(2)当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起,求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.
【例4】如图,直线与轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,如果在第二象限内有一点P(,),且△ABP的面积与△AABC的面积相等,求的值.
思路点拨利用S△ABP=S△ABC建立含的方程,解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差.
注:解函数图象与面积结合的问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示,这样面积与坐标就建立了联系.
【例5】在直角坐标系中,有以A(一1,一1),B(1,一1),C(1,1),D(一1,1)为顶点的正方形,设它在折线上侧部分的面积为S,试求S关于的函数关系式,并画出它们的图象.
思路点拨先画出符合题意的图形,然后对不确定折线及其中的字母的取值范围进行分类讨论,的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状.
注:我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值的一般思路.
学历训练
1.一次函数的自变量的取值范围是-3≤≤6,相应函数值的取值范围是-5≤≤-2,则这个函数的解析式为.
2.已知,且,则关于自变量的一次函数的图象一定经过第象限.
3.一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数之间的关系如图所示,其中超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题:
(1)当售票数满足0≤150时,盈利额(元)与之间的函数关系式是.
(2)当售票数满足150x≤200时,盈利额(元)与之间的函数关系式是.
(3)当售票数为时,不赔不赚;当售票数满足时,放影厅要赔本;若放影厅要获得最大利润200元,此时售票数应为
(4)当售票数满足时,此时利润比=150时多.
4.如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E,F,设BP=,EF=,则能反映与之间关系的图象是()
5.下列图象中,不可能是关于的一次函数的图象是()
6.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示,那么小李赚了()
A.32元B.36元C.38元D.44元
7.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示,当成人按规定剂量服用后.
(1)分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式;
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多长?
8.如图,正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系O中,使AB在轴的正半轴上,A点的坐标是(1,0)
(1)经过C点的直线与轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线的方程,并在坐标系中画出直线.(2001年湖北省荆州市中考题)
9.如图,已知点A与B的坐标分别为(4,0),(0,2)
(1)求直线AB的解析式.
(2)过点C(2,0)的直线(与轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P,若截得的三角形与△AOB相似,求点P的坐标.
10.如图,直线与轴、y轴分别交于P、Q两点,把△POQ沿PQ翻折,点O落在R处,则点R的坐标是.
11.在直角坐标系O中,轴上的动点M(,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么,当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标为.
12.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么b=.
13.如果—条直线经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么,直线经过()象限.
A.二、四B.—、三C.二、三、四D.一、三、四
14.一个一次函数的图象与直线平行,与轴、轴的交点分别为A、B,并且过点(一l,—25),则在线段AB(包括端点A、B)上,横、纵坐标都是整数的的点有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
15.点A(一4,0),B(2,0)是坐标平面上两定点,C是的图象上的动点,则满足上述条件的直角△ABC可以画出()
A.1个B.2个C.3个D.4个
16.有—个附有进、出水管的容器,每单位时间进、出的水量都是一定的,设从某时刻开始5分钟内只进不出水,在随后的15分钟内既进水又出水,得到时间(分)与水量(升)之间的关系如下图.若20分钟后只出水不进水,求这时(即≥20)y与之间的函数关系式.
17.如图,△AOB为正三角形,点B坐标为(2,0),过点C(一2,0)作直线交AO于D,交AB于E,且使△ADE和△DCO的面积相等,求直线的函数解析式.
18.在直角坐标系中,有四个点A(一8,3),B(一4,5),C(0,),D(,0),当四边形ABCD的周长最短时,求的值.
19.转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关.现经过试验得到下列数据:
通过电流强度(单位A)11.71.92.12.4
氧化铁回收率(%)7579888778
如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁回收率.
(1)将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示(注:该图中坐标轴的交点代表点(1,70);
(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系,试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式;
(3)利用题(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于85%时,该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A).
20.如图,直线OC、BC的函数关系式分别为和,动点P(x,0)在OB上移动(03),过点P作直线与轴垂直.
(1)求点C的坐标;
(2)设△OBC中位于直线左侧部分的面积为S,写出S与之间的函数关系式;
(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象;
(4)当为何值时,直线平分△OBC的面积?
参考答案
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【例题求解】
【例1】如图,直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C,P为圆上一点,P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm,那么P到BC的距离为.
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连DF,EF,寻找PD、PE、PF之间的关系,证明△PDF∽△PFE,而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆,突破角是解题的关键.
注:圆具有丰富的性质:
(1)圆的对称性;
(2)等圆或同圆中不同名称量的转化;
(3)与圆相关的角;
(4)圆中比例线段.
适当发现并添出辅助圆,就为圆的丰富性质的运用创造了条件,由于图形的复杂性,有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”.
【例2】如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点P,且PB=4,PD=3,则ADDC等于()
A.6B.7C.12D.16
(“TI”杯全国初中数学竞赛题)
思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆,为相交弦定理的应用创设了条件.
注:到一个定点等距离的几个点在同一个圆上,这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.
【例3】如图,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆.
思路点拨先作出△ABC的外心O,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等.
【例4】如图,P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D.求证:.
思路点拨因所证比例线段不是对应边,故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明.PA2=PDPO=PBPC,B、C、O、D共圆,这样连OB,就得多对相似三角形,以此达到证明的目的.
注:四点共圆既是一类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位,这是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系的条件集中或转移,而且可直接运.用圆的性质为解题服务.
【例5】如图,在△ABC中,高BE、CF相交于H,且∠BHC=135°,G为△ABC内的一点,且GB=GC,∠BGC=3∠A,连结HG,求证:HG平分∠BHF.
思路点拨经计算可得∠A=45°,△ABE,△BFH皆为等腰直角三角形,只需证∠GHB=∠GHF=22.5°.
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC,得B、G、H、C四点共圆,运用圆中角转化灵活的特点证明.
注:许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题的难度,使问题获得简解、巧解或新解.
学力训练
1.如图,正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点,且∠OPB=45°,PA:PB=5:14,则PB的长为.
(北京市竞赛题)
2.如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点Pl、P2,…P100,记(i=1,2,…100),则=.
3.设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF,且其垂心H不与任一顶点重合,则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
(2000年太原市竞赛题)
4.如图,已知OA=OB=OC,且∠AOB=∠BOC,则∠ACB是∠BAC的()
A.倍B.是倍C.D.
5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=998,CD=1001,AD=1999,点P在线段AD上,满足条件的∠BPC=90°的点P的个数为()
A.0B.1C.21D.不小于3的整数
(全国初中数学联赛题)
6.如图,AD、BE是锐角三角形的两条高,S△ABC=18,S△DEC=2,则COSC等于()
A.3B.C.D.
7.如图;已知H是△ABC三条高的交点,连结DF,DE,EF,求证:H是△DEF的内心.
8.如图,已知△ABC中,AH是高,AT是角平分线,且TD⊥AB,TE⊥AC.
求证:(1)∠AHD=∠AHE;(2)(陕西省竞赛题)
9.如图,已知在凸四边形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=.求证:∠BAC=∠CAD=∠DAK,
(全国初中数学联赛题)
10.如图,P是⊙O外一点,PA和PB是⊙O的切线,A,B为切点,PO与AB交于点M,过M任作⊙O的弦CD.求证:∠CPO=∠DPO.
11.如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙OA、B两点,与ST交于点C.求证:
(国家理科实验班招生试题)
【例题求解】
【例1】如图,直线AB与⊙O相交于A,B再点,点O在AB上,点C在⊙O上,且∠AOC=40°,点E是直线AB上一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于另一点D,则使DE=DO的点正共有个.
思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有怎样的位置关系?
分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)三种情况考虑,通过角度的计算,确定E点位置、存在的个数.
注:弧是联系与圆有关的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法.
【例2】如图,已知△ABC为等腰直角三形,D为斜边BC的中点,经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M,对于如下五个结论:①∠FMC=45°;②AE+AF=AB;③;④2BM2=BF×BA;⑤四边形AEMF为矩形.其中正确结论的个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
思路点拨充分运用与圆有关的角,寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形,逐一验证.
注:多重选择单选化是近年出现的一种新题型,解这类问题,需把条件重组与整合,挖掘隐合条件,作深入的探究,方能作出小正确的选择.
【例3】如图,已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AE×AC,BD=8,求△ABD的面积.
思路点拨由条件出发,利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点,这是解本例的关键.
【例4】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连结AC,过点C作直线CD⊥AB于D(ADDB),点E是AB上任意一点(点D、B除外),直线CE交⊙O于点F,连结AF与直线CD交于点G.
(1)求证:AC2=AG×AF;
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立.请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.
思路点拨(1)作出圆中常用辅助线证明△ACG∽△AFC;
(2)判断上述结论在E点运动的情况下是否成立,依题意准确画出图形是关键.
注:构造直径上90°的圆周角,是解与圆相关问题的常用辅助线,这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件.
【例5】如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF相交于一点Q,设AD与CF的交点为P.
求证:(1);(2).
思路点拨解本例的关键在于运用与圆相关的角,能发现多对相似三角形.
(1)证明△QDE∽△ACF;(2)易证,通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明.
注:有些几何问题虽然表面与圆无关,但是若能发现隐含的圆,尤其是能发现共圆的四点,就能运用圆的丰富性质为解题服务,确定四点共圆的主要方法有:
(1)利用圆的定义判定;
(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定.
学历训练
1.一条弦把圆分成2:3两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为.
2.如图,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的一点,则∠1+∠2=.
3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,F是CG的中点,延长AF交⊙O于E,CF=2,AF=3,则EF的长为.
4.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB+AC=12,AD⊥BC于D,AD=3,设⊙O的半径为,AB的长为,用的代数式表示,=.
5.如图,ABCD是⊙O的内接四边形,延长BC到E,已知∠BCD:∠ECD=3:2,那么∠BOD等于()
A.120°B.136°C.144°D.150°
6.如图,⊙O中,弦AD∥BC,DA=DC,∠AOC=160°,则∠BOC等于()
A.20°B.30°C.40°D.50°
7.如图,BC为半圆O的直径,A、D为半圆O上两点,AB=,BC=2,则∠D的度数为()
A.60°B.120°C.135°D.150°
8.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F.给出下列四个结论:①CH2=AH×BH;②AD=AC;③AD2=DF×DP;④∠EPC=∠APD,其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
9.如图,已知B正是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.
(1)求证:ACBC=BECD;
(2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.
10.如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB,FC.
(1)求证:FB=FC;
(2)求证:FB2=FAFD;
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.
11.如图,B、C是线段AD的两个三等分点,P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外),则tan∠APBtan∠CPD=.
12.如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,AC=,则四边形ABCD的面积为.
13.如图,圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AD=3,CD=2,则BC=.
14.如图,AB是半圆的直径,D是AC的中点,∠B=40°,则∠A等于()
A.60°B.50°C.80°D.70°
15.如图,已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形,AB=5,PC=4,分别延长AB和DC,它们相交于P,若∠APD=60°,则⊙O的面积为()
A.25πB.16πC.15πD.13π
(2001年绍兴市竞赛题)
16.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,AB=AC,过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F,弦EF与AD相交于点G,则图中与△GDE相似的三角形的个数为()
A.5B.4C.3D.2
17.如图,已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=AE,且BD=,求四边形ABCD的面积.
18.如图,已知ABCD为⊙O的内接四边形,E是BD上的一点,且有∠BAE=∠DAC.
求证:(1)△ABE∽△ACD;(2)ABDC+ADBC=ACBD.
19.如图,已知P是⊙O直径AB延长线上的一点,直线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
(1)求证:PAPB=POPE;(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
20.如图,△ABC内接于⊙O,BC=4,S△ABC=,∠B为锐角,且关于的方程有两个相等的实数根,D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合),DE平分∠ADC,交⊙O于点E,交AC于点F.
(1)求∠B的度数;
(2)求CE的长;
(3)求证:DA、DC的长是方程的两个实数根.
参考答案
文章来源:http://m.jab88.com/j/75614.html
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