每个老师不可缺少的课件是教案课件,规划教案课件的时刻悄悄来临了。将教案课件的工作计划制定好,新的工作才会如鱼得水!你们会写一段适合教案课件的范文吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座”,仅供参考,欢迎大家阅读。
注:点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法,即量化的方法(距离与半径的比较),我们称“由数定形”,勾股定理的逆定理也具有这一特点.
【例题求解】
【例1】如图,AB是半圆O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若EA=1,ED=2,则BC的长为.
思路点拨从C点看,可用切线长定理,从E点看,可用切割线定理,而连OD,则OD⊥EC,又有相似三角形,先求出⊙O的半径.
注:连结圆心与切点是一条常用的辅助线,利用切线的性质可构造出直角三角形,在圆的证明与计算中有广泛的应用.
【例2】如图,AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=50°,点P是圆上异于B、C的一个动点,则∠BPC的度数是()
A.65°B.115°C.60°和115°D.130°和50°
(山西省中考题)
思路点拨略
【例3】如图,以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D,过D作DE⊥AC于E,可得结论:DE是⊙O的切线.
问:(1)若点O在AB上向点B移动,以O为圆心,OB为半径的圆的交BC于D,DE⊥AC的条件不变,那么上述结论是否还成立?请说明理由;
(2)如果AB=AC=5cm,sinA=,那么圆心O在AB的什么位置时,⊙O与AC相切?(2001年黑龙江省中考题)
【例4】如图,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合).
(1)当PQ∥AC,且Q为BC的中点时,求线段PC的长;
(2)当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由.(广州市中考题)
思路点拨对于(2),易发现只有点P能作为直角顶点,建立一个研究的模型——以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P,从直线与圆相切特殊位置入手,以此确定CQ的取值范围.
注:判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题,判定的基本方法有:
(1)从直线与圆交点个数入手;
(2)利用角证明,即证明半径和直线垂直;
(3)运用线段证明,即证明圆心到直线的距离等于半径.
一个圆的问题,从不同的条件出发,可有不同的添辅助线方式,进而可得不同的证法,对于分层次设问的问题,需整体考虑;
【例5】如图,在正方形ABCD中,AB=1,︵AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧,点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作︵AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点.
(1)当∠DEF=45°时,求证点G为线段EF的中点;
(2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,如图,当EF=时,讨论△AD1D与△ED1F是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出理由.
(上海市中考题)
思路点拨图中有多条⊙B的切线,由切线长定理可得多对等长线段,这是解(1)、(2)问的基础,对于(3),由(2)求出的值,确定E点位置,这是解题的关键.
注:本例将几何图形置于直角坐标系中,综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识,并结合了待定系数法、数形互
助等思想方法,具有较强的选拔功能.
学力训练
1.如图,AB为⊙O的直径,P点在AB延长线上,PM切⊙O于M点,若OA=,FM=,那么△PMB的周长为.(河北省中考题)
2.PA、PB切⊙O于A、B,∠APB=78°,点C是⊙O上异于A、B的任意一点,则
∠ACB=.
3.如图,EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠F=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是.(重庆市中考题)
4.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D,过点D作⊙O的切线交AC于E,要使DE⊥AC,则△ABC的边必须满足的条件是.
(武汉市中考题)
5.、表示直线,给出下列四个论断:①∥;②切⊙O于点A;③切⊙O于点B;④AB是⊙O的直径.若以其中三个论断作为条件,余下的一个作为结论,可以构造出一些命题,在这些命题中,正确命题的个数为()
1B.2C.3D.4
(江苏镇江市中考题)
6.如图,圆心O在边长为的正方形ABCD的对角线BD上,⊙O过B点且与AD、DC边均相切,则⊙O的半径是()
A.B.C.D.
(广西玉林市中考题)
7.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BCDC,若腰DC上有一点P,使AP⊥BP,则这样的点()
A.不存在B.只有一个C.只有两个D.有无数个
(大连市中考题)
8.如图,圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点,DP⊥AC于P,DH⊥BH于H,下列结论:①CH=CP;②AD=DB;③AP=BH;④DH为圆的切线,其中一定成立的是()
A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③
(武汉市中考题)
9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ACB=45°,∠ABC=120°,⊙O的半径为1,
(1)求弦AC、AB的长;
(2)若P为CB的延长线上一点,试确定P点的位置,使PA与⊙O相切,并证明你的结论.
10.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB于E,且PC2=PEPO.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若OE:EA=1:2,且PA=6,求⊙O的半径;
(3)求sin∠PCA的值.(长沙市中考题)
11.(1)如图a,已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线交⊙O于C、D,交AB于E且与AF垂直,垂足为G,连AC、AD,求证:①∠BAD=∠CAG;②ACAD=AEAF.
(2)在问题(1)中,当直线向上平行移动与⊙O相切时,其他条件不变.
①请你在图b中画出变化后的图形,并对照图a标记字母;
②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立,请给出证明;如不成立,请说明理由.
(辽宁省中考题)
12.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,⊙O分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上,若AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于.
13.如图,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.
(1)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明.
(2)当QP⊥AB时,△QCP的形状是三角形.
(3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是三角形.(吉林省中考题)
14.如图,已知AB为⊙O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若AB=3,ED=2,则BC的长为()
A.2B.3C.3.5D.4
15.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B切点,直线OP交⊙O于C、D,交AB于E,AF为⊙O的直径,下列结论:(1)∠APB=∠AOP;(2)BC=DF;(3)PCPD=PEPO,其中正确结论的个数有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
16.如图,已知△ABC,过点A作外接圆的切线交BC的延长线于点P,,点D在AC上,且,延长PD交AB于点E,则的值为()
A.B.C.D.
(太原市竞赛题)
17.如图,已知AB为半圆O的直径,AP为过点A的半圆的切线.在AB上任取一点C(点C与A、B不重合),过点C作半圆的切线CD交AP于点D;过点C作CE⊥AB,垂足为E.连结BD,交CE于点F.
(1)当点C为AB的中点时(如图1),求证:CF=EF;
(2)当点C不是AB的中点时(如图2),试判断CF与EF的相等关系是否保持不变,并证明你的结论.(苏州市中考题)
18.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=3,点D在AC边上,以D为圆心的⊙D与AB切于点E.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)设⊙D与BC交于点F,当CF=2时,求CD的长;
(3)设CD=,试给出一个值,使⊙D与BC没有公共点,并说明你给出的值符合的要求.
(浙江省中考题)
19.如图,PA、PB与⊙O切于A、B两点,PC是任意一条割线,且交⊙O于点E、C,交AB于点D.求证:
(天津市选拔赛试题)
20.如图,⊙Oˊ与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,圆心Oˊ的坐标是(1,一1),半径是,
(1)求A、B、C、D四点的坐标;
(2)求经过点D的切线的解析式;
(3)问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?若垂直,请写出
证明过程;若不垂直,试说明理由.
21.当你进入博物馆的展览厅时,你知道站在何处观赏最理想?如图,设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米,最低处点Q距离地面b米,观赏者的眼睛点E距离地面m米,当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时,视角∠PEQ最大,站在此处观赏最理想.
(1)设点E到墙壁的距离为x米,求a、b、m,x的关系式;
(2)当a=2.5,b=2,m=1.6时,求:
(a)点E和墙壁距离x米;(b)最大视角∠PER的度数(精确到1度).
(常州市中考题)
【例题求解】
【例1】如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于A、B两点,且与直径CT交于点D,CD=2,AD=3,BD=6,则PB=.
(成都市中考题)
思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长.
注:比例线段是几何之中一个重要问题,比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程,大致经历了四个阶段:
(1)平行线分线段对应成比例;
(2)相似三角形对应边成比例;
(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来;
(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来.
【例2】如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为()
A.3B.4C.D.
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连AC,CE,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创设条件.
注:圆中线段的算,常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识,通过代数化获解,加强对图形的分解,注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键.
【例3】如图,△ABC内接于⊙O,AB是∠O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,,AE:BE=2:3,求AB的长和∠ECB的正切值.
(北京市海淀区中考题)
思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件;引入参数x、k处理(2)问中的比例式,把相应线段用是的代数式表示,并寻找x与k的关系,建立x或k的方程.
【例4】如图,P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点,DP与AC、BC分别交于点E、E,EG是过B、F、P三点圆的切线,G为切点,求证:EG=DE
(四川省竞赛题)
思路点拨由切割线定理得EG2=EFEP,要证明EG=DE,只需证明DE2=EFEP,这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.
注:圆中的许多问题,若图形中有适用圆幂定理的条件,则能化解问题的难度,而圆中线段等积式是转化问题的桥梁.
需要注意的是,圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明,可拓展到平面几何各种类型的问题中.
【例5】如图,以正方形ABCD的AB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,DF切半圆于点E,交AB的延长线于点F,BF=4.
求:(1)cos∠F的值;(2)BE的长.
(成都市中考题)
思路点拨解决本例的基础是:熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE,AE);熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法.对于(1),先求出EF,FO值;对于(2),从△BEF∽△EAF,Rt△AEB入手.
注:当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形,善于分析图形是解与圆相关综合题的关键,分析图形可从以下方面入手:
(1)多视点观察图形.如本例从D点看可用切线长定理,从F点看可用切割线定理.
(2)多元素分析图形.图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形.
(3)将以上分析组合,寻找联系.
学力训练
1.如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,交弦CD于点M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,则PT的长为.
(绍兴市中考题)
2.如图,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,则AC:BD=.
3.如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点F,若AB=CD=2,则CE=.
(天津市中考题)
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为()
A.6.4B.3.2C.3.6D.8
(苏州市中考题)
5.如图,⊙O的弦AB平分半径OC,交OC于P点,已知PA、PB的长分别为方程的两根,则此圆的直径为()
A.B.C.D.
(昆明市中考题)
6.如图,⊙O的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F,给出下列四个结论:①CH2=AHBH;②AD=AC:③AD2=DFDP;④∠EPC=∠APD,其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
(福州市中考题)
7.如图,BC是半圆的直径,O为圆心,P是BC延长线上一点,PA切半圆于点A,AD⊥BC于点D.
(1)若∠B=30°,问AB与AP是否相等?请说明理由;
(2)求证:PDPO=PCPB;
(3)若BD:DC=4:l,且BC=10,求PC的长.
(绍兴市中考题)
8.如图,已知PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,PD⊥AB于点D,PD、AO的延长线相交于点E,连CE并延长交⊙O于点F,连AF.
(1)求证:△PBD∽△PEC;
(2)若AB=12,tan∠EAF=,求⊙O的半径的长.
(北京市崇文区中考题)
9.如图,已知AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰哈好是关于x的方程(其中为实数)的两根.
(1)求证:BE=BD;(2)若GEEF=,求∠A的度数.
(山西省中考题)
10.如图,△ABC中,∠C=90°,O为AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB相交于点E,与AC相切于点D,已知AD=2,AE=1,那么BC=.
(山东省临沂市中考题)
11.如图,已知A、B、C、D在同一个圆上,BC=CD,AC与BD交于E,若AC=8,CD=4,且线段BE、ED为正整数,则BD=.
12.如图,P是半圆O的直径BC延长线上一点,PA切半圆于点A,AH⊥BC于H,若PA=1,PB+PC=(2),则PH=()
A.B.C.D.
13.如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,弦EF经过BC的中点D,且EF∥AB,若AB=2,则DE的长为()
A.B.C.D.1
14.如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,延长BC至D,使CD=BC,CE⊥AD于E,B
E交⊙O于F,AF交CE于P,求证:PE=PC.
(太原市竞赛题)
15.已知:如图,ABCD为正方形,以D点为圆心,AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点,连结AC、AP、CP,并延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F三点,连结OF.
(1)求证:△AEP∽△CEA;(2)判断线段AB与OF的位置关系,并证明你的结论;
(3)求BH:HC(四川省中考题)
16.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,PEC是一条割线,D是AB与PC的交点,若PE=2,CD=1,求DE的长.
(国家理科实验班招生试题)
17.如图,⊙O的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根,P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B、C是直线PBC与⊙O的交点,若PA、PB、PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA+PB+PC的值.(全国初中数学竞赛题)
老师职责的一部分是要弄自己的教案课件,是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划,接下来的工作才会更顺利!你们到底知道多少优秀的教案课件呢?下面是小编为大家整理的“九年级数学竞赛方程与函数辅导教案”,希望能对您有所帮助,请收藏。
【例题求解】
【例1】若关于的方程有解,则实数m的取值范围.
思路点拨可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数,函数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定m的取值范围.
【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根,,且1,那么取值范围是()
A.B.C.D.
思路点拨因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函数与轴的交点满足1的的值,注意判别式的隐含制约.
【例3】已知抛物线()与轴交于两点A(,0),B(,0)(≠).
(1)求的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧;
(2)若抛物线与轴交于点C,且OA+OB=OC一2,求的值.
思路点拨、是方程的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点.
【例4】抛物线与轴的正半轴交于点C,与轴交于A、B两点,并且点B在A的右边,△ABC的面积是△OAC面积的3倍.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)判断△OBC与△OCA是否相似,并说明理由.
思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系,这是解本例的关键.对于(1),建立关于m的等式,求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论.
【例5】已知抛物线上有一点M(,)位于轴下方.
(1)求证:此抛物线与轴交于两点;
(2)设此抛物线与轴的交点为A(,0),B(,0),且,求证:.
思路点拨对于(1),即要证;对于(2),即要证.
学历训练
1.已知关于的函数的图象与轴有交点,则m的取值范围是.
2.已知抛物线与轴交于A(,0),B(,0)两点,且,则.
3.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2),则对于下列结论:①当x=-2时,y=l;②当xx2,时,yO;③方程kx2+l(2k-1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2;④x1-l,x2-l;⑤x2-x1=,其中所有正确的结论是(只需填写序号).
4.设函数的图象如图所示,它与轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则=().
A.8B.一4C.1lD.一4或11
5.已知:二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,其顶点坐标为P(-,),AB=|x1-x2|,若S△APB=1,则b与c的关系式是()
A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0
C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=0
6.已知方程有一个负根而且没有正根,那么的取值范围是()
A.-1B.=1C.≥1D.非上述答案
7.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.
(1)a、c的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证a、c互为倒数;
(3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=4,求a、c的值.
8.已知:抛物线过点A(一1,4),其顶点的横坐标为,与轴分别交于B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且),且.
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;
(2)设此抛物线与轴交于D点,点M是抛物线上的点,若△MBO的面积为△DOC面积的倍,求点M的坐标.
9.已知抛物线交x轴于A(,0)、B(,0),交y轴于C点,且<0<,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角,若存在,求出P点的横坐标的范围;若不存在,请说明理由.
10.设是整数,且方程的两根都大于而小于,则=.
11.函数的图象与函数的图象的交点个数是.
12.已知、为抛物线与轴交点的横坐标,,则的值为.
13.是否存在这样的实数,使得二次方程有两个实数根,且两根都在2与4之间?如果有,试确定的取值范围;如果没有,试述理由.
14.设抛物线的图象与轴只有一个交点.
(1)求的值;
(2)求的值.
15.已知以为自变量的二次函数,该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程的一整数根,求的值.
16.已知二次函数的图象开口向上且不过原点O,顶点坐标为(1,一2),与轴交于点A,B,与y轴交于点C,且满足关系式.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.
17.设是实数,二次函数的图象与轴有两个不同的交点A(,0)、B(,0).
(1)求证:;
(2)若A、B两点之间的距离不超过,求P的最大值.
(
文章来源:http://m.jab88.com/j/75680.html
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