一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家应该要写教案课件了。用心制定好教案课件的工作计划，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！有哪些好的范文适合教案课件的？下面是小编为大家整理的“九年级数学竞赛圆幂定理教案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

【例题求解】
【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=．
(成都市中考题)
思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．

注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：
(1)平行线分线段对应成比例；
(2)相似三角形对应边成比例；
(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；
(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为()
A．3B．4C．D．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．

【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．
(北京市海淀区中考题)
思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．

【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE
(四川省竞赛题)
思路点拨由切割线定理得EG2=EFEP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EFEP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．

注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．
需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．
【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．
(成都市中考题)
思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．

注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：
(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．
(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．
(3)将以上分析组合，寻找联系．

学力训练
1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．
(绍兴市中考题)
2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=．
3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE=．
(天津市中考题)

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为()
A．6．4B．3．2C．3．6D．8
(苏州市中考题)

5．如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程的两根，则此圆的直径为()
A．B．C．D．
(昆明市中考题)

6．如图，⊙O的直径Ab垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：①CH2=AHBH；②AD＝AC：③AD2=DFDP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是()
A．1B．2C．3D．4
(福州市中考题)
7．如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．
(1)若∠B=30°，问AB与AP是否相等?请说明理由；
(2)求证：PDPO=PCPB；
(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的长．
(绍兴市中考题)
8．如图，已知PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连CE并延长交⊙O于点F，连AF．
(1)求证：△PBD∽△PEC；
(2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半径的长．
(北京市崇文区中考题)
9．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是关于x的方程(其中为实数)的两根．
(1)求证：BE=BD；(2)若GEEF=，求∠A的度数．
(山西省中考题)

10．如图，△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=．
(山东省临沂市中考题)

11．如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=．
12．如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(2)，则PH=()
A．B．C．D．
13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长为()
A．B．C．D．1
14．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B
E交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC．
(太原市竞赛题)
15．已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F三点，连结OF．
(1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；
(3)求BH:HC(四川省中考题)
16．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．
(国家理科实验班招生试题)

17．如图，⊙O的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、C是直线PBC与⊙O的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC的值．(全国初中数学竞赛题)

扩展阅读

九年级数学竞赛辅助圆辅导教学案

教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西，是认真规划好自己教案课件的时候了。只有规划好了教案课件新的工作计划，才能促进我们的工作进一步发展！你们知道多少范文适合教案课件？考虑到您的需要，小编特地编辑了“九年级数学竞赛辅助圆辅导教学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

【例题求解】

【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．

(全国初中数学联赛题)

思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．

注：圆具有丰富的性质：

(1)圆的对称性；

(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；

(3)与圆相关的角；

(4)圆中比例线段．

适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．

【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则ADDC等于()

A．6B．7C．12D．16

(“TI”杯全国初中数学竞赛题)

思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．

注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．

思路点拨先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．

【例4】如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求证：．

思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明．PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．

注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．

【例5】如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．

思路点拨经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．

由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．

注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．

学力训练

1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为．

(北京市竞赛题)

2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点Pl、P2，…P100，记（i=1，2，…100），则=．

3．设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有()

A．3个B．4个C．5个D．6个

(2000年太原市竞赛题)

4．如图，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，则∠ACB是∠BAC的()

A．倍B．是倍C．D．

5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件的∠BPC=90°的点P的个数为()

A．0B．1C．21D．不小于3的整数

(全国初中数学联赛题)

6．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC=18，S△DEC=2，则COSC等于()

A．3B．C．D．

7．如图；已知H是△ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是△DEF的内心．

8．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．

求证：(1)∠AHD=∠AHE；(2)(陕西省竞赛题)

9．如图，已知在凸四边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK，

(全国初中数学联赛题)

10．如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切点，PO与AB交于点M，过M任作⊙O的弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．

11．如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙OA、B两点，与ST交于点C．求证：

(国家理科实验班招生试题)

九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座

每个老师不可缺少的课件是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。将教案课件的工作计划制定好，新的工作才会如鱼得水！你们会写一段适合教案课件的范文吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座”，仅供参考，欢迎大家阅读。

注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．

【例题求解】

【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．

思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．

注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．

【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是()

A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°

(山西省中考题)

思路点拨略

【例3】如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．

问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆的交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；

(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切?(2001年黑龙江省中考题)

【例4】如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合)．

(1)当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段PC的长；

(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．(广州市中考题)

思路点拨对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围．

注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：

(1)从直线与圆交点个数入手；

(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；

(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．

一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；

【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，︵AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作︵AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．

（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

(上海市中考题)

思路点拨图中有多条⊙B的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出的值，确定E点位置，这是解题的关键．

注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互

助等思想方法，具有较强的选拔功能．

学力训练

1．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=，FM=，那么△PMB的周长为．(河北省中考题)

2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则

∠ACB=．

3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是．(重庆市中考题)

4．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过点D作⊙O的切线交AC于E，要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是．

(武汉市中考题)

5．、表示直线，给出下列四个论断：①∥；②切⊙O于点A；③切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为()

1B．2C．3D．4

(江苏镇江市中考题)

6．如图，圆心O在边长为的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是()

A．B．C．D．

(广西玉林市中考题)

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BCDC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点()

A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个

(大连市中考题)

8．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是()

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(武汉市中考题)

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，

(1)求弦AC、AB的长；

(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．

10．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PEPO．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半径；

(3)求sin∠PCA的值．(长沙市中考题)

11．(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线交⊙O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、AD，求证：①∠BAD=∠CAG；②ACAD=AEAF．

(2)在问题(1)中，当直线向上平行移动与⊙O相切时，其他条件不变．

①请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；

②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．

(辽宁省中考题)

12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于．

13．如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．

(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明．

(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是三角形．

(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形．(吉林省中考题)

14．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC的长为()

A．2B．3C．3．5D．4

15．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正确结论的个数有()

A．3个B．2个C．1个D．0个

16．如图，已知△ABC，过点A作外接圆的切线交BC的延长线于点P，，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则的值为()

A．B．C．D．

(太原市竞赛题)

17．如图，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在AB上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连结BD，交CE于点F．

(1)当点C为AB的中点时(如图1)，求证：CF＝EF；

(2)当点C不是AB的中点时(如图2)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．(苏州市中考题)

18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；

(3)设CD=，试给出一个值，使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的值符合的要求．

(浙江省中考题)

19．如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．求证：

(天津市选拔赛试题)

20．如图，⊙Oˊ与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心Oˊ的坐标是(1，一1)，半径是，

(1)求A、B、C、D四点的坐标；

(2)求经过点D的切线的解析式；

(3)问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?若垂直，请写出

证明过程；若不垂直，试说明理由．

21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想?如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．

(1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m，x的关系式；

(2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：

(a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角∠PER的度数(精确到1度)．

(常州市中考题)

九年级数学竞赛转化灵活的圆中角讲座

【例题求解】
【例1】如图，直线AB与⊙O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在⊙O上，且∠AOC＝40°，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点正共有个．
思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有怎样的位置关系?
分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在的个数．

注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．
【例2】如图，已知△ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是()
A．2个B．3个C．4个D．5个
思路点拨充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．
注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．
【例3】如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面积．
思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键．

【例4】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D(ADDB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G．
(1)求证：AC2=AG×AF；
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．
思路点拨(1)作出圆中常用辅助线证明△ACG∽△AFC；
（2）判断上述结论在E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．

注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．
【例5】如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．
求证：（1）；(2)．
思路点拨解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．
(1)证明△QDE∽△ACF；(2)易证，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．
注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：
(1)利用圆的定义判定；
(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．

学历训练
1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．
2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2=．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为．
4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为，AB的长为，用的代数式表示，=．
5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()
A．120°B．136°C．144°D．150°
6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于()
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则∠D的度数为()
A．60°B．120°C．135°D．150°
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是()
A．1B．2C．3D．4
9．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
(1)求证：ACBC=BECD；
(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

10．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
(1)求证：FB=FC；
(2)求证：FB2=FAFD；
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．
11．如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tan∠APBtan∠CPD=．
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，则四边形ABCD的面积为．
13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC=．
14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于()
A．60°B．50°C．80°D．70°
15．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为()
A．25πB．16πC．15πD．13π
(2001年绍兴市竞赛题)

16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为()
A．5B．4C．3D．2
17．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四边形ABCD的面积．
18．如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．
求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+ADBC＝ACBD．

19．如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．
(1)求证：PAPB=POPE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F．
(1)求∠B的度数；
(2)求CE的长；
(3)求证：DA、DC的长是方程的两个实数根．
参考答案

文章来源：http://m.jab88.com/j/70478.html

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