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章节第三章课题
课型复习课教法讲练结合
教学目标（知识、能力、教育）1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；
2.会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；
3.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
4.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。
教学重点二次函数性质的综合运用
教学难点二次函数性质的综合运用
教学媒体学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0
时的情况．
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．
（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根
2.二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
3.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
（二）：【课前练习】
1.直线y=3x—3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是（）
A．0B．1C．2D．不能确定
2.函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根；B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根；D．无实数根
3.不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（）
A．在x轴上方；B．与x轴只有一个交点
C．与x轴有两个交点；D．在x轴下方
4.已知二次函数y=x2－x—6
（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）画出函数图象；
（3）观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；
（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积.
二：【经典考题剖析】
1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：
（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
解：（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）=0，x1=2，x2=4．所以与x轴交点为（2,0）和（4，0）当x1=0时，y=8．所以抛物线与y轴交点为（0，8）；
（2）∵；∴抛物线的顶点坐标为（3，－1）
（3）如图所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0．
2.已知抛物线y＝x2－2x－8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
解：（1）证明：因为对于方程x2－2x－8=0，其判别式△=（-2）2－4×（－8）－36＞0，所以方程x2－2x－8=0有两个实根，抛物线y=x2－2x－8与x轴一定有两个交点；
（2）因为方程x2－2x－8=0有两个根为x1=2，x2=4，所以AB=|x1－x2|＝6．又抛物线顶点P的纵坐标yP==－9，所以SΔABP=12AB|yP|=27
3.如图所示，直线y=-2x+2与轴、轴分别交于点A、B，以
线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90o，
过C作CD⊥轴，垂足为D
（1）求点A、B的坐标和AD的长
（2）求过B、A、D三点的抛物线的解析式
4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB
边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向
点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：
（1）设运动后开始第t（单位：s）时，五边形APQCD的面积为S
（单位：cm2），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围
（2）t为何值时S最小？求出S的最小值
5.如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线经过点A、P、O（原点）。
（1）求过A、P、O的抛物线解析式；
（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使
∠QAO＝450，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
四：【课后小结】
布置作业地纲
教后记

延伸阅读

中考数学总复习二次函数应用导学案

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，大家在仔细规划教案课件。将教案课件的工作计划制定好，未来工作才会更有干劲！你们会写一段优秀的教案课件吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“中考数学总复习二次函数应用导学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

第14课二次函数应用
【知识梳理】
1.二次函数的解析式：（1）一般式：；（2）顶点式：
2.顶点式的几种特殊形式.
⑴，⑵，⑶，（4）.
3．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线对称，顶点坐标为（，）.
⑴当时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点,当
时，有最（“大”或“小”）值是；
⑵当时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点,当
时，有最（“大”或“小”）值是．
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不至于落在池外？

例2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）
⑴分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
⑵如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

（1）（2）
【当堂检测】
1.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图，则此抛物线的解析式为．

2.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）
A．y＝x2＋aB．y＝a（x－1）2C．y＝a（1－x）2D．y＝a（l＋x）2
3．如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴设矩形的一边为面积为(m2)，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
⑵当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

4．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，根据关系式回答：
⑴该同学的出手最大高度是多少？
⑵铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
⑶该同学的成绩是多少？

5.某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.

中考数学复习：一元二次方程与二次函数

中考数学专题4一元二次方程与二次函数

第一部分真题精讲

【例1】已知：关于的方程．

⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数的图象关于轴对称．

①求二次函数的解析式；

②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）

∴当，原方程有实数根.

当时，原方程为关于的一元二次方程，

∵.

∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，

∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

∴.

∴抛物线的解析式为.

②∵，（判断大小直接做差）

∴（当且仅当时，等号成立）.

（3）由②知，当时，.

∴、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）

∵对于的同一个值，，

∴的图象必经过.

又∵经过，

∴.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

设.

∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，

∴，

∴.

又根据、的图象可得，

∴.（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

∴.

∴.

而.

只有，解得.

∴抛物线的解析式为.

【例2】关于的一元二次方程.

（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

（1）由题意得

解得

解得

当且时，方程有两个不相等的实数根.

（2）由题意得

解得（舍）(始终牢记二次项系数不为0)

（3）抛物线的对称轴是

由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)

与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)

另设过点的直线（）

把代入，得，

整理得

有且只有一个交点，

解得

综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，

【例3】

已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．

（1）求的值；

（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，

十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．

所以，抛物线对称轴，所以，．

（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．

因为，=16-8=80．

所以，方程有两个不同的实数根，分别是

，．

（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．

若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．

由==0，得

又是正整数，所以得最小值为2．

【例4】已知抛物线，其中是常数．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.

（1）依题意，得，

∴

∴抛物线的顶点坐标为

（2）∵抛物线与轴交于整数点，

∴的根是整数．

∴是整数．

∵，

∴是整数．

∴是整数的完全平方数．

∵，

∴．(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)

∴取1，4，

当时，；当时，．

∴的值为2或．

∴抛物线的解析式为或．

【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；

（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解：（1）

∵方程有两个不相等的实数根,

∴

∵,

∴的取值范围是且.

（2）证明：令得.

∴.

∴(这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)

∴抛物线与轴的交点坐标为,

∴无论取何值，抛物线总过定点

（3）∵是整数∴只需是整数.

∵是整数，且,

∴

当时，抛物线为．

把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为

【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分发散思考

【思考1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.

（1）求的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

与此图象有两个公共点时，的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】已知：关于的一元二次方程

（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】已知:关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式的值；

（3）求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.

【思考4】已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根满足，求的值．

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出,

发现都是关于m的一次表达式,做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解.这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分思考题解析

【思考1解析】

解：（1）由题意得，．

∴．

∵为正整数，

∴．

（2）当时，方程有一个根为零；

当时，方程无整数根；

当时，方程有两个非零的整数根．

综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．

当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．

（3）设二次函数的图象与轴交于

两点，则，．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线经过点时，可得；

当直线经过点时，可得．

由图象可知，符合题意的的取值范围为．

【思考2解析】

证明：

∴方程有两个不相等的实数根。

（2）

∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．

又∵12＜m＜40，

∴5＜＜9．

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.

依题意k-1≠0.

∴.

∵方程的根为正整数，k为整数,

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

（3）证明：方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

(i)若ac0,则-4ac0.故Δ=b2-4ac0.此时方程②有两个不相等的实数

根.

(ii)证法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根为正实数，

∴方程(k-1)x=2的根为正实数.

由x0,20,得k-10.

∴4ac(k-1)0.

∵(a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此时方程②有两个不相等的实数根.

证法二:若ac0,

∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,

∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.

(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).

由证法一知k-10,

∴b2-4acb2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac0.此时方程②有两个不相等的实数根.

综上,方程②有两个不相等的实数根.

【思考4解析】

（1）-

不论取何值，方程总有两个不相等实数根

（2）由原方程可得

∴--

∴

又∵

∴

∴-

经检验：符合题意．

∴的值为4．

中考数学复习二次函数的应用专题导学案

做好教案课件是老师上好课的前提，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写多少教案课件范文呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《中考数学复习二次函数的应用专题导学案》，希望对您的工作和生活有所帮助。

考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．

2．（2012滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）
A．3B．2C．1D．0
分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．
3．（2012济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．
分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．
4．（2012菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）…2030405060…
每天销售量（y件）…500400300200100…

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

分析：
（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．
5．（2012青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
分析：
（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；
（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；
（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．

点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．
6．（2012聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
分析：
（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．
（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）.

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．
【备考真题过关】
一、选择题
2．（2012湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．B．C．3D．4
分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
3．（2012宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．
点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握．
4．（2012资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）
A．-1＜x＜5B．x＞5C．x＜-1且x＞5D．x＜-1或x＞5
5．（2012义乌市）如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④

分析：利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．
6．（2012大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4

分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．
点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．
1．（2012镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）
A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1

点：抛物线与x轴的交点。
专题：探究型。
分析：先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x轴的交点是解答此题的关键．
2．（2012泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）
A．﹣3B．3C．﹣6D．9

考点：抛物线与x轴的交点。
专题：探究型。
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
3．（2012杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）
A．2B．3C．4D．5

考点：抛物线与x轴的交点。810360
专题：推理填空题。
分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．
二、填空题
7．（2012深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是．
分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．
点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．
8．（2012无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为．
三、解答题
9．（2012杭州）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
考点：二次函数的最值．专题：分类讨论．
分析：当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．

10．（2012徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．

考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
分析：（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；
（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；
（3）采用列表、描点法画出图象即可．
（3）列表如下：
x…01234…
y…30-103…
描点作图如下：

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握．
11．（2012佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x-10123
y03430
②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．
（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．

分析：（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；
（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质．

12．（2012兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=，x1x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB=|x1-x2|===；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．

点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．
13．（2012武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=（t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
分析：
（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．

点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．
14．（2012无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
分析：
（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．

15．（2012黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
分析：
（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；
（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．

点评：本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．
16．（2012河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长（cm）2030
出厂价（元/张）5070

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）
分析：
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
17．（2012资阳）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PAPB=，求点M的坐标．
分析：
（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；
（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；
（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PAPB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．

点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PAPB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．
18．（2012株洲）如图，一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
分析：
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．

点评：本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．
19．（2012漳州）已知抛物线y=x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：
（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标.

点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．

文章来源：http://m.jab88.com/j/70435.html

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