九年级数学上册2.1一元二次方程（湘教版）

2021-02-15 一元二次方程高中教案小学二年级数学教案

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第2章一元二次方程
2．1一元二次方程
1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．
2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
阅读教材P26～27，完成下列问题：
(一)知识探究
如果一个方程通过整理可以使右边为________，而左边是只含有________个未知数的________次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是____________，其中________，________，________分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
(二)自学反馈
1．下列方程中，是一元二次方程的是()
A．x－y2＝1B.x2－1＝0
C.1x2－1＝0D.x22－x－13＝0
2．将方程(2x＋1)x＝(3x－2)x＋2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是____________．
活动1小组讨论
例1判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1－x2＝0；(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0；
(4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2；(6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．
(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断．
例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.
将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
活动2跟踪训练
1．下列方程哪些是一元二次方程？
(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－13x－1＝0；(4)x2＋2x－3＝1＋x2.
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；
(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.
(1)a取何值时，方程为一元二次方程？
(2)a取何值时，方程为一元一次方程？
4．根据下列问题，列出关于x的方程：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
活动3课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
0一二ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)abc
自学反馈
1．D2.3－2，－3，2
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．(1)是一元二次方程．2.(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3.(1)a≠4.(2)a＝4.4.(1)4x2＝25.(2)x(x－2)＝100.(3)x＝(1－x)2m.jAB88.COM.

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一元二次方程

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第二十二章一元二次方程
教材内容
本单元教学的主要内容：
1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.
2.本单元在教材中的地位和作用：
教学目标
1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。
2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
教学重点、难点
重点：
1．一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。
难点：
1.一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用
课时安排
本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）
22．1一元二次方程1课时
22．2降次7课时
22．3实际问题与一元二次方程3课时
教学活动、习题课、小结
22.1一元二次方程
教学目的
1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．
2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．
3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．
教学重点、难点
重点：一元二次方程的定义．
难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
教学过程
复习提问
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新课
1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）
学过的几类方程是
没学过的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化为：x2+5x-150=0．
从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．
【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
课堂练习P271、2题
归纳总结
1．方程分为两大类：
判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．
2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．
布置作业：习题22.11、2题．
达标测试
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是
5.方程4x2=3x-+1的二次项是,一次项是,常数项是
课后反思：

22.2解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例1解方程x2-4=0．
解：先移项，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
练习：P281、2
归纳总结
1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作业：习题22.14、6题
达标测试
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解为
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程无实根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是
A.不论c为何值,方程均有实数根B.方程的根是
C.当c≥0时,方程可化为:
D.当c=0时,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
课后反思

九年级数学上册《应用一元二次方程》教案

一、学生知识状况分析

学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，实际问题的应用，有些抽象，虽然学生在七、八年级已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。

本节内容针对的学生是才进入九年级的学生，他们已经具备了一定的抽象思维和建模能力，也具备一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验。

二、教学任务分析

本节课的主要是发展学生抽象思维，强化学生的应用意识，使学生能通过抽象思维将一个应用题抽象成一元二次方程使问题得以解决，这也是方程教学的重要任务。但学生抽象意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及抽象思维的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：

知识目标：

通过分析问题中的数量关系，抽象出方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

能力目标：

1、经历分析，抽象和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；

2、能够抽象出一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

情感态度价值观：

在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。

三、学法指导

本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，虽然学生在七八年级已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题串讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对对问题中的数量进行分析从而抽象出方程解决问题；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，更符合学生的认知规律。无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学法指导。

四、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；情境导入

活动内容：提出问题：还记得梯子下滑的问题吗？

一元二次方程教学设计在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

分组讨论：

怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理抽象出方程？

活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点抽象出一元二次方程使问题得以解决，进一步让学生体会数形结合的思想。

活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系抽象出方程对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节探索新知

活动内容：见课本P53页例1：

如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；通过抽象思维建立方程模型，之后求解。

一元二次方程教学设计实际应用问题比较抽象，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抽象出图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系，从而抽象出方程模型解决问题。

在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：

（1）要求DE的长，需要如何设未知数？

（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？

（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

（4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？

学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后抽象出题目中的等量关系即：

速度等量：V军舰=2×V补给船

时间等量：t军舰=t补给船

三边数量关系：一元二次方程教学设计

弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程。

学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理抽象出方程求解，并判断解的合理性。

巩固练习：1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？

文本框:8cm一元二次方程教学设计2、如图：在RtACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半？

一元二次方程教学设计3、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？

说明：三个题目的设计从简单问题入手，第一题通过勾股定理抽象出一元二次方程解决直角三角形边长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，抽象出方程解决面积问题；第三题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，通过平移道路使六块田地变成一块田地，从而根据矩形面积公式抽象出方程解决问题。

活动目的：一元二次方程的应用题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长（或降低）率问题、利润问题等；本节课以教材上的引例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会数学抽象和建模的重要性。

活动实际效果：应用问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到通过抽象出方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。

第三环节：练一练，巩固新知

活动内容：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。求原正方形钢板的面积。

2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？

3、《九章算术》“勾股”章有一题：甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？

活动目的：通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用知识的程度。在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流。活动实际效果：学生在前面活动中积累的经验，可以帮助学生比较顺利地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加理解数学抽象和建模的重要性．大部分学生能够独立解决问题。

第四环节：收获与感悟

活动内容：提问：

1、列方程解应用题的关键；2、列方程解应用题的步骤；3、列方程应注意的一些问题。

学生在学习小组中回顾与反思，并进行组间交流发言。

活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决；通过对三个问题的解决，加深学生通过抽象思维抽象出方程解决实际问题的意识和能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用抽象思维抽象出一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。

第五环节：布置作业

1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？

2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246，求小路的宽度。

3、一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数比个位数小2，求这两位数。

解一元二次方程

每个老师在上课前需要规划好教案课件，是时候写教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们会写适合教案课件的范文吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“解一元二次方程”，仅供参考，大家一起来看看吧。

28.2解一元二次方程
教学目的知识技能认识形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）类型的方程，并会用直接开平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
数学思考用直接开平方法解一元二次方程的依据是用平方根的定义来进行降次的，直接开平方法解一元二次方程，必须化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式来求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再应用直接开平方法求解
解决问题通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
情感态度通过本节学习，使学生感觉到由未知向已知的转化美.
教学难点用配方法解一元二次方程
知识重点选择适当的方法解一元二次方程
教学过程设计意图

教
学
过
程
问题一：填空
如果，那么.
教师活动：引导学生运用开平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
学生活动：在老师的引导下，初步了解一元二次方程的直接开平方法.
问题二：解方程
教师活动：与学生一起探究此种形式的方程的解法.
学生活动：仿照上题，解此问题，并总结出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
练习：解下列方程：
（1）(2)
问题三：解方程：
师生一起探究解法，通过配方把该方程转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接开平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例题1：解方程
教师活动：给学生作出配方法解方程的示范.重点在配方的方法：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
学生总结配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.