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28.2解一元二次方程
教学目的知识技能认识形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)类型的方程,并会用直接开平方法解.
配方法解一元二次方程x2+px+q=0.
数学思考用直接开平方法解一元二次方程的依据是用平方根的定义来进行降次的,直接开平方法解一元二次方程,必须化成形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式来求解.
配方法是把方程x2+px+q=0转化为(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程再应用直接开平方法求解
解决问题通过两边同时开平方,将二次方程转化为一次方程,向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化,这是研究数学问题常用的方法,化未知为已知.
情感态度通过本节学习,使学生感觉到由未知向已知的转化美.
教学难点用配方法解一元二次方程
知识重点选择适当的方法解一元二次方程
教学过程设计意图
教
学
过
程
问题一:填空
如果,那么.
教师活动:引导学生运用开平方的方法,解x2=p(p≥0)形式的方程.
学生活动:在老师的引导下,初步了解一元二次方程的直接开平方法.
问题二:解方程
教师活动:与学生一起探究此种形式的方程的解法.
学生活动:仿照上题,解此问题,并总结出形如(mx+n)2=p(p≥0)方程的解法.
练习:解下列方程:
(1)(2)
问题三:解方程:
师生一起探究解法,通过配方把该方程转化为(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程,再用直接开平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例题1:解方程
教师活动:给学生作出配方法解方程的示范.重点在配方的方法:在方程的两边都加上一次项系数一半的平方,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
学生总结配方法解形如x2+px+q=0的一元二次方程的方法.
从学生已知的知识入手,解决形如x2=p(p≥0)类型的方程,引导进入直接开平法法.
解决并练习形如(mx+n)2=p(p≥0)类型的方程,
在解决形如x2=p(p≥0)和(mx+n)2=p(p≥0)类型的方程的基础上,给学生设置悬念,探究这个方程的解法.
引出配方法.
在转化的同时,给学生讲解配方的方法,为配方法解一元二次方程作准备.
提高学生的总结归纳能力.
课堂练习解下列方程:
课本24页习题2
学生完成后,交流结果,交流配方法解一元二次方程的步骤、方法
使学生体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
小结与作业
课堂
小结引导学生对直接开平方法和配方法进行总结.
本课
作业34页习题1、3把学习延伸到课外,巩固课上所学.
课后随笔(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
一元二次方程教案
每个老师上课需要准备的东西是教案课件,大家在认真写教案课件了。只有写好教案课件计划,未来工作才会更有干劲!你们会写一段优秀的教案课件吗?小编特地为大家精心收集和整理了“一元二次方程教案”,欢迎您参考,希望对您有所助益!
一元二次方程
22.1一元二次方程
【知识与技能】
1.知道一元二次方程的意义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.
【过程与方法】
通过解决实际问题,把实际问题转化为数学模型,引入一元二次方程的概念,让学生认识一元二次方程及其相关概念,提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
【情感态度】
通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
【教学重点】
判定一个数是否是方程的根.
【教学难点】
由实际问题列出的一元二次方程解出根后,还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
一、情境导入,初步认识
问题1绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
【分析】设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程x(x+10)=900,整理可得x2+10x-900=0.(1)
问题2学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解:设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x)万册,同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x)(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得5x2+10x-2.2=0(2)
【教学说明】教师引导学生列出方程,解决问题.
二、思考探究,获取新知
思考、讨论
问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?
共同特点:
(1)都是整式方程
(2)只含有一个未知数
(3)未知数的最高次数是2
【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式:ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0).其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项系数,c叫做常数项.
例1判断下列方程是否为一元二次方程:
解:①是;②不是;③是;④不是;⑤不是;⑥是.
【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程;(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断.
例2将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.
解:2x2-13x+11=0;2,-13,11.
【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.
三、运用新知,深化理解
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)5x2-1=4x
(2)4x2=81
(3)4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解:(1)5x2-4x-1=0;5,-4,-1;
(2)4x2-81=0;4,0,-81
(3)4x2+8x-25=0;4,8,-25
(4)3x2-7x+1=0;3,-7,1.
2.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
解:(1)4x2=25;4x2-25=0;
(2)x(x-2)=100;x2-2x-100=0;
(3)x=(1-x)2;x2-3x+1=0.
3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.
解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.
∴4a+8-5=0解得:a=-.
四、师生互动,课堂小结
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.
3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性.
1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
学习本课时,可让学生先自主探索再合作交流,小组内,小组之间充分交流后概括所得结论,从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识,掌握建模思想,利用一元二次方程解决实际问题.一元二次方程学案
第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程
出示目标
1.了解一元二次方程的概念.应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的有关概念.
预习导学
自学指导阅读教材第1至4页,并完成预习内容.
问题1如图,有一块长方形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为100-2x,宽为50-2x.得方程(100-2x)(50-2x)=3600,
整理得4x2-300x+1400=0.化简,得x2-75x+350=0.①
问题2要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析:全部比赛的场数为28.
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛1场,所以全部比赛共_____场.列方程_____=28.化简整理得x2-x-56=0.②
知识探究
(1)方程①②中未知数的个数各是多少?1个
(2)它们最高次数分别是几次?2次
方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是二次的整式方程.
自学反馈
1.一元二次方程的概念.
2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.
合作探究
活动1小组讨论
例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:2x2-13x+11=0;2,-13,11.
将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.
例2判断下列方程是否为一元二次方程:
(1)1-x2=0;(2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0;
(4)=0;(5)(x+3)2=(x-3)2;(6)9x2=5-4x.
解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.
(1)一元二次方程为整式方程;(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断.
例3下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?-2,3.
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
直接将x值代入方程,检验方程两边是否相等.
活动2跟踪训练
1.下列各未知数的值是方程3x2+x-2=0的解的是(B)
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
2.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m的值是6.
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)5x2-1=4x;(2)4x2=81;
(3)4x(x+2)=25;(4)(3x-2)(x+1)=8x-3.
解:(1)5x2-4x-1=0;5,-4,-1;
(2)4x2-81=0;4,0,-81;
(3)4x2+8x-25=0;4,8,-25;
(4)3x2-7x+1=0;3,-7,1.
4.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
解:(1)4x2=25;4x2-25=0;(2)x(x-2)=100;x2-2x-100=0;
(3)x=(1-x)2;x2-3x+1=0.
5.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
证明:∵二次项系数a=m2-8m+17=m2-8m+16+1=(m-4)2+10.∴二次项系数恒不等于零.∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
第5题可用配方法说明二次项系数不为零.
活动3课堂小结
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)特别强调a≠0.
3.使一元二次方程成立的未知数的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.
当堂训练
教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.
文章来源:http://m.jab88.com/j/76331.html
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