九年级上册《配方法的基本形式》学案
配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.
重点
讲清直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程:
(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7
老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±p或mx+n=±p(p≥0).
如:4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?
问题:要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,求场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2m,长为8m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1用配方法解下列关于x的方程:
(1)x2-8x+1=0(2)x2-2x-12=0
分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.
解:略.
三、巩固练习
教材第9页练习1,2.(1)(2).
四、课堂小结
本节课应掌握:
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.
五、作业布置
公开课教案
授课人:henao6202授课时间:2007-3-27
授课地点:xx中学八(1)班公开范围:数学组
授课内容:20.2一元二次方程解法(3)---配方法
教学目标:理解配方法的意义,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点:配方法解一元二次方程
教学过程:
一、复习旧知导入新课
1、因式分解的完全平方公式内容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]
2、填空:
(1)x2-8x+()2=(x-)2(2)y2+5y+()2=(y+)2
(3)x2-x+()2=(x-)2(4)x2+px+()2=(x+)2
说明:配方的关键是两边同加上一次项系数一半的平方,前提是二次项系数是1。
二、讲解新课
1、解方程(1)(x+3)2=2
解:x+3=±
x=-3±
即:x1=-3+x2=-3-
(2)x2+6x+7=0
这个方程显然不能用直接开平方法解,能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式?即(x+m)2=n的形式。
我们可以这样变形:
把常数项移到右边,得
x2+6x=-7
对等号左边进行配方,得
x2+6x+32=-7+32
(x+3)2=2
这样,就把原方程化为与上面方程一样的形式了。像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后(即化为(x+m)2=n形式),再用开平方来解的方法叫配方法。
(板书)(一)、一元二次方程解法二:配方法
2、例1用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0(2)2x2-3x-1=0
说明:第(1)小题引导学生自己完成,第二小题引导学生将二次项系数化为1,再让学生自己完成。
解:(1)移项,得
x2-4x=1
配方,得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
开方,得
x-2=±
∴x1=2+x2=2-
(2)化二次项系数为1,得
x2-x-=0
移项,得
x2-x=
下面的过程由学生补充完整:
----------------------------------------
----------------------------------------
三、归纳小结
配方法的一般步骤(让学生总结,在黑板上板书)
1、化二次项系数为1
2、移项
3、配方(两边同加上一次项系数一半平方)
4、开方
其中“化、移、配、开”及“一半平方”用彩色粉笔标出。
四、练习
P40练习1、2
五、课外作业
P451、2
六、板书设计
20.2一元二次方程解法
(一)一元二次方程解法二--配方法例1解方程
(二)配方法的一般步骤(1)x2-4x-1=0
1、化二次项系数为1(2)2x2-3x-1=0
2、移项解:------------------------
3、配方(两边同加一次项系数一半平方)------------------------
4、开方------------------------
专题25配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有:
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于:
(1)具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如能联想起配方法.
(2)具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式.
例题与求解
【例1】已知实数,,满足,那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x,y的值.
【例2】若实数,,c满足,则代数式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:运用乘法公式,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性,而非负数有以下重要性质;
(1)非负数的最小值为零;
(2)有限个非负数的和为零,则每一个非负数都为零.
【例3】已知,求a+b+c的值.
解题思路:题设条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式,怎样才能确定未知量的值呢?不妨用配方法试一试.
复合根式的化简,含多元的根式等式问题,常常用到配方法.
【例4】证明数列49,4489,444889,44448889,…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路:,由此可猜想,只需完成从左边到右边的推导过程即可.
几个有趣的结论:
(1)
(2)
这表明:只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多容纳32人,而且只能在第2层至第33层中某一层停一次,对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意,现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层时,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼).
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:通过引元,把不满意的总分用相关字母的代数式表示,解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方,进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的,这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具.
【例6】已知自然数n使得为完全平方数,求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:原式中n的系数为奇数,不能直接配方,可想办法化奇为偶,解决问题.
能力训练
1、计算=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知,则.
3、,y为实数,且,则+y的值为__________.
4、当>2时,化简代数式,得___________.
5、已知,当=________,y=______时,的值最小.
(全国通讯赛试题)
6、若,则M-N的值()
A、负数B、正数C、非负数D、可正可负
7、计算的值为()
A、1B、C、D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设,,为实数,,则x,y,z中至少有一个值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知实数,,c满足,则a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时,常从整体考虑并经常用到一下重要命题:
设x1,x2,x3,…xn为实数.
(1)若则x1,x2,x3,…xn中至少有(或存在)一个为零;
(2)若,则x1,x2,x3,…xn中至少有(或存在)一个大于零;
(3)若,则x1,x2,x3,…xn中至少有(或存在)一个小于零.
11、解方程组(苏州市竞赛试题)
12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少?
(全国初中数学联赛试题)
13、已知,且,,为自然数,求,的值.
(天津市竞赛试题)
13、设a为质数,b为正整数,且,求,的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现,每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)根据图象求y与x之间的函数关系式(0<<160);
(2)从经济效益来看,你认为该宾馆如何制定房间单价,能使其每周的住宿收入最高?每周最高住宿收入是多少元?
文章来源:http://m.jab88.com/j/70432.html
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