22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法(第2课时)
教学任务分析
教
学
目
标1、能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤;知道“配方法”是一种常用的数学方法。
2、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
教学过程
问题与情景师生活动设计意图
一、温故知新:
1、填上适当的数,使下列各式成立,并总结其中的规律。
(1)x2+6x+=(x+3)2(2)x2+8x+=(x+)2
(3)x2-12x+=(x-)2(4)x2-+=(x-)2
(5)a2+2ab+=(a+)2(6)a2-2ab+=(a-)2
2、用直接开平方法解方程:x2+6x+9=2
第一题为口答题,复习完全平方公式,旨在引出配方法,培养学生探究的兴趣。
二、自主学习:
自学课本P31---P32思考下列问题:
1、仔细观察教材问题2,所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗?
2、怎样解方程x2+6x-16=0?看教材框图,能理解框图中的每一步吗?(同学之间可以交流、师生间也可交流。)
3、讨论:在框图中第二步为什么方程两边加9?加其它数行吗?
4、什么叫配方法?配方法的目的是什么?
5、配方的关键是什么?
交流与点拨:
重点在第2个问题,可以互相交流框图中的每一步,实际上也是第3个问题的讨论,教师这时对框图中重点步骤作讲解,特别是两边加9是配方的关键,使之配成完全平方式。利用a2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=()2,而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方,从而配成完全平方式。
学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程,最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习:
例(教材P33例1)解下列方程:
(1)x2-8x+1=0(2)2x2+1=-3x
(3)3x2-6x+4=0
教师要选择例题书写解题过程,通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
交流与点拨:
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程化成一般形式并把二次项系数化成1;(方程两边都除以二次项系数)
(2)移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为常数项。
(3)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方。
(4)原方程变为(x+k)2=a的形式。
(5)如果右边是非负数,就可用直接开平方法求取方程的解。
牢牢把握通过配方将原方程变为(x+k)2=a的形式方法。
四、课堂练习:
1、教材P34练习1(做在课本上,学生口答)
2、教材P34练习2
对于第二题根据时间可以分两组完成,学生板演,教师点评。
通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第3题
六、总结反思:(针对学习目标)可由学生自己完成,教师作适当补充。
1、理解配方法解方程的含义。
2、要熟练配方法的技巧,来解一元二次方程,
3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤,并注意每一步的易错点。
4、配方法解一元二次方程的解题思想:“降次”由二次降为一次。
专题25配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有:
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于:
(1)具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如能联想起配方法.
(2)具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式.
例题与求解
【例1】已知实数,,满足,那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x,y的值.
【例2】若实数,,c满足,则代数式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:运用乘法公式,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性,而非负数有以下重要性质;
(1)非负数的最小值为零;
(2)有限个非负数的和为零,则每一个非负数都为零.
【例3】已知,求a+b+c的值.
解题思路:题设条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式,怎样才能确定未知量的值呢?不妨用配方法试一试.
复合根式的化简,含多元的根式等式问题,常常用到配方法.
【例4】证明数列49,4489,444889,44448889,…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路:,由此可猜想,只需完成从左边到右边的推导过程即可.
几个有趣的结论:
(1)
(2)
这表明:只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多容纳32人,而且只能在第2层至第33层中某一层停一次,对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意,现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层时,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼).
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:通过引元,把不满意的总分用相关字母的代数式表示,解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方,进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的,这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具.
【例6】已知自然数n使得为完全平方数,求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:原式中n的系数为奇数,不能直接配方,可想办法化奇为偶,解决问题.
能力训练
1、计算=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知,则.
3、,y为实数,且,则+y的值为__________.
4、当>2时,化简代数式,得___________.
5、已知,当=________,y=______时,的值最小.
(全国通讯赛试题)
6、若,则M-N的值()
A、负数B、正数C、非负数D、可正可负
7、计算的值为()
A、1B、C、D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设,,为实数,,则x,y,z中至少有一个值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知实数,,c满足,则a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时,常从整体考虑并经常用到一下重要命题:
设x1,x2,x3,…xn为实数.
(1)若则x1,x2,x3,…xn中至少有(或存在)一个为零;
(2)若,则x1,x2,x3,…xn中至少有(或存在)一个大于零;
(3)若,则x1,x2,x3,…xn中至少有(或存在)一个小于零.
11、解方程组(苏州市竞赛试题)
12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少?
(全国初中数学联赛试题)
13、已知,且,,为自然数,求,的值.
(天津市竞赛试题)
13、设a为质数,b为正整数,且,求,的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现,每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)根据图象求y与x之间的函数关系式(0<<160);
(2)从经济效益来看,你认为该宾馆如何制定房间单价,能使其每周的住宿收入最高?每周最高住宿收入是多少元?
文章来源:http://m.jab88.com/j/68598.html
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