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九年级数学下册《圆》知识点整理

第十章圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆
一、圆的基本性质
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
初中数学复习提纲
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4．切线长定理
三、圆换圆的位置关系
初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
2.相切（交）两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
初中数学复习提纲1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角：初中数学复习提纲
内角的一半：初中数学复习提纲(右图)
（解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等）
六、一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
初中数学复习提纲4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹
六条基本轨迹
八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分

九、基本图形
十、重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线（连心线）
6.两圆相交公共弦Jab88.CoM

延伸阅读

九年级语文下册《送行》知识点整理

九年级语文下册《送行》知识点整理

了解作者，初读课文

1、首先请同学们齐读课文注释①，谁能说你从注释①中搜集到了哪些有关作者的信息?(板书)

名：马克斯·比尔博姆

地：英国

作者时：十九世纪

评：漫画家、作家

作：《马克斯·比尔博姆文集》

2、下面请同学们默读课文全文，边读边完成下列任务：

①圈划文中出现的生字词，结合上下文思考其意思。

②初步感知课文内容，文中都写了哪些人的送别?有什么不同?

③在阅读课文的过程中发现了什么问题，并向大家提出来，我们共同来讨论。

理解课文内容：

①散文的题目《》，围绕题目，全文都写了谁的?送别的对象分别是谁?

(我们起身前往美国的朋友，勒罗来英国旅行不相认识的美国小姐)

②这两种，在送别目的、场面、效果等方面分别有什么不同?

(板书)

局促不安

我们远行的朋友说多余的话

(真情)强作欢颜

感人的表情

勒罗陌生的小姐给予最好的忠告

(受雇)热切地说

③我的朋友即将起身前往美国，做为朋友，我们心中都充满了恋恋不舍的情感，可是在车站给他时，为什么显得那么拘谨、尴尬、局促不安，只好强作欢颜，说可有可无的多余的话话?

④勒罗给见面不到半小时的来英国旅行的美国小姐，却显得大方、自然、真诚、神采奕奕，临别赠言从他口中一泻而出，同学们能说说这是为什么吗?

⑤对于勒罗在给美国小姐过程中的表现，同学们是怎样评价的?勒罗的眼泪是不是他真实感情的流露?请同学们说说你们的看法，并说明的理由。

(这是开放性的问题问，只要学生的意见观点能言之成理，言之有据老师都要加以肯定。当学生思路堵塞时，老师可从联系课文内容，联系生活实际中引导学生)

参考观点举例：

1、勒罗的眼泪是他真实感情的流露。首先，从课文中描写他时行动的语句“热切地说着什么”“他眼里深挚的慈爱实在动人”“临别赠言从他口中一泻而出”当列车就要开时“双手仍紧抓那个年轻的美国人”“又冲上前去，小声地最后再叮咛几句”“我发现他确实泪水盈盈”可以看出这他真实感情的流露，因为言为心声，外在行为是感情的自然表露。其次，从联系生活实际中我们也强以这么认为，人是最富有同情心。从散文提供的情节中，我们知道，美国小姐是一个人到英国旅行的，在英国没有亲人、朋友，勒罗看到美国小姐形只孤单，在英国不相认识任何人，想到她在漫漫的旅途中，将孤独寂寞，于是唤起他的同情心。不过，勒罗的眼泪，不是惜别的泪水，而是同情产泪水。

2、勒罗的眼泪不是他真实感情的流露。理由是：①勒罗只是一名受雇于“英美社交处”的员，他给美国小姐并不是出于友情、亲情，而是为了赚取费，一个为了赚钱目的人，当然没有真实情感流露了;②勒罗是半小时前才见面的，也就是说他们之间是陌生人，勒罗怎么会对一个陌生人产生真实送别的情感，流下惜别的泪水呢?(我发现他确实泪水盈盈，你认为他流的是什么泪水?)职业性的泪水。

3、勒罗的眼泪是演员进入角色后的真实感情的流露。课文中勒罗说他是在演戏，并且说“没有感情演不成戏”。演员也常常说这么一名话“进入角色，出不来”在过程中，勒罗已经把自己当成美国小姐的父亲或她的亲朋好友来表演，由于“他是优秀演员”，他进入美国小姐父亲的角色，他想到女儿即将离自己，非常担忧女儿在外的日子，于是反复叮咛，提出旅途中的最好的忠告，并且恋恋不舍，于是不由自主地流下了惜别的泪水。当然，这不是现实中勒罗的惜别之泪，而是表演“月台父女送别”这一出戏中的父亲这个角色对戏中女儿的惜别之泪，可以把这种泪水叫做：戏中父亲的角色之泪。

九年级下册数学知识点整理：正弦余弦

每个老师上课需要准备的东西是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了，接下来的工作才会更顺利！你们了解多少教案课件范文呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“九年级下册数学知识点整理：正弦余弦”，希望对您的工作和生活有所帮助。

九年级下册数学知识点整理：正弦余弦

正弦定理的应用领域
在解三角形中，有以下的应用领域：
(1)已知三角形的两角与一边，解三角形
(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦
正弦定理
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)
其次，余弦的应用领域
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;
在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
(3)相关结论：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)
(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a
正弦、余弦典型例题
1.在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值为
2.已知α为锐角，且
，则α的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在△ABC中，若
，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是()A.75°B.90°C.105°D.120°
4.若∠A为锐角，且
，则A=()A.15°B.30°C.45°D.60°
5.在△ABC中，AB=AC=2，AD⊥BC，垂足为D，且AD=，E是AC中点，EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。
正弦、余弦解题诀窍
1、已知两角及一边，或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理
2、已知三边，或两边及其夹角用余弦定理
3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用，只需要知道最大角的余弦值为正，为负，还是为零，就可以确定是钝角。直角还是锐角。

八年级数学重要知识点整理：点与圆的位置关系

八年级数学重要知识点整理：点与圆的位置关系

一)教学知识点
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
(二)能力训练要求
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
(三)情感与价值观要求
1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学方法
教师指导学生自主探索交流法．
教具准备
投影片三张
第一张：(记作§3．4A)
第二张：(记作§3．4B)
第三张：(记作§3．4C)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考
投影片(§3．4A)
1．线段垂直平分线的性质及作法．
2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片§3．4B)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)
作法图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircleoftriangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．
O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
Ⅳ．课时小结
本节课所学内容如下：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．
方法．
3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
Ⅴ．课后作业
习题3．6
Ⅵ．活动与探究
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

1．在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
2．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（）
A．点到A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合
3．已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
4．在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为，点P的坐标为（4，5），那么点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（）
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
6．已知⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定
7如图，动点M、N分别在直线AB与CD上，且AB∥CD，∠BMN与∠MND的角平分线相交于点P，若以MN为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．以上都有可能
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CP、CM分别是AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（）
A．点P，M均在圆A内B．点P、M均在圆A外
C．点P在圆A内，点M在圆A外D．点P在圆A外，点M在圆A内
二．填空题（共6小题）
9．已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，那么线段OA的取值范围是_________．
10．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是_________．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，分别以A、B为圆心的两圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是_________．
12．直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R=_________．
13．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是_________．
14．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是_________．
三．解答题（共6小题）
15．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．

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