一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？以下是小编收集整理的“轨迹方程”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

轨迹方程

一、复习目标
１、熟悉求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件
２、熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
二．课前热身
1．到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是
2．直线与椭圆交于P、Q两点，已知过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是
3．已知点P是双曲线上任一点，过P作轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是
4．在中，已知，且成等差数列，则C点轨迹方程为
三．例题探究
例1．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。
例2．如图，在中，平方单位，动点P在曲线E上运动，若曲线E过点C且满足的值为常数。
（1）求曲线E的方程；
（2）设直线的斜率为1，若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M的轨迹方程。
例3．如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。

例4．设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。

四．方法点拨
例1用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点P的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由的范围确定出范围。

冲刺强化训练（15）
1.若点M（x,y）满足，则点M的轨迹是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线D抛物线.
2.点M为抛物线上的一个动点，连结原点O与动点M，以OM为边作一个正方形MNPO，则动点P的轨迹方程为（）
A.B.C.D.
3.方程化简的结果是（）
A.B.C.D.
4.一动圆M与两定圆均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.抛物线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.椭圆Ｃ与椭圆关于直线对称，椭圆Ｃ的方程是（）
A.B.
C.D.
７.下列四个命题：
⑴圆关于点A(1，2)对称的曲线方程是；
⑵以点（2，－3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是；
⑶顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(―4，―3)的抛物线方程只能是；
⑷双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，则P点到右焦点的距离为；
以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都填上）
８.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为１的点到焦点的距离为６；④抛物线的通径长为５；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）。能使这抛物线的方程是的条件是（要求填写合适条件的序号）

９.求经过定点，以轴为准线，离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程。

10.设曲线C：和直线.
⑴记与C的两个交点为A、B，求线段AB中点的轨迹方程；
⑵若线段AB上的点Q满足，求点Q的轨迹方程；
⑶在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论.

参考答案
【课前热身】
1．（提示：设动点，则。）；
2．；3．（提示：设，则将代入双曲线方程得。）；4．（提示：到AB的距离之和为8。）
【例题探究】
例1．解析设P点的坐标为，则由方程得，A、B两点的坐标分别为又
即，又直线与椭圆交于两点，所以所以点P的轨迹方程为。
例2．解析（1），又，从而，所以
点在以A、B为焦点，长半轴，半焦距，短半轴的椭圆上，曲线E的方程为
（2）设直线，代入E的方程，消，
可得
所以有解之得设的中点为两点的坐标分别为，
，将得所以即为M点的轨迹方程。
例3．解析（1）由右准线设
则由，得
且，=，故有，即为所求点的轨迹G的方程。
（2）当，即时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆，设其焦点,则消去得
（3）当，即时，轨迹G为圆，其方程为：即又的右准线即
圆心G到准线的距离为此时G与相交。
例4．解析：（1）直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记由题设可得点A、B的坐标是方程组的解，消去得于是，设点P的坐标为，则消去参数得①当不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程①，所以点P的轨迹方程为。
（3）由点P的轨迹方程知即
又故
当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为。jAb88.coM

[冲刺强化训练15]
1、；2、；3、；
4、解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支.
5、；６、Ａ注意焦点所在位置的变化。
7、②④；8、②⑤
9、解：(1)(2)直线m恰为准线，定值即为离心率e.
(3)当|PA|=|PB|时，|PA||PB|最大。此时点P的坐标为

10、略解：（1）设AB中点M，联立方程组得：，则，消云k得，注意到△＞0，∴，得
∴AB中点的轨迹方程是.
（2）点Q的轨迹方程是，是一条线段（无端点）.
（3）曲线C的焦点F，设过F的直线方程为，与曲线C的方程联立，得弦的中点的横坐标为,解得.
①当时，弦的中点的纵坐标；②当时，弦的中点的纵坐标.综上，存在点，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.

相关知识

高考数学知识点：轨迹方程的求解

高考数学知识点：轨迹方程的求解

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．

【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

⒉写出点M的集合；

⒊列出方程=0；

⒋化简方程为最简形式；

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

③列式——列出动点p所满足的关系式；

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

人教版高一数学下册《轨迹方程》知识点讲解

人教版高一数学下册《轨迹方程》知识点讲解

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

⒉写出点M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化简方程为最简形式;

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：

求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系建立适当的坐标系;

②设点设轨迹上的任一点P(x，y);

③列式列出动点p所满足的关系式;

④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;

⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

练习题：

1.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

2．一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是()

A．双曲线

B．双曲线的一分支

C．圆

D．椭圆

3．已知|AB→|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP→＝13OA→＋23OB→，则动点P的轨迹方程是()

A.x24＋y2＝1

B．x2＋y24＝1

C.x29＋y2＝1

D．x2＋y29＝1

4．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且12|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是()

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．线段

08届高三数学轨迹问题1

1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后"补漏"和"去掉增多"的点.

带电粒子在磁场中运动轨迹2

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些题不但涉及洛伦兹力，而且往往与几何关系相联系，使问题难度加大，但无论这类题多么复杂，其关键一点在于画轨迹，只要确定了轨迹，问题便迎刃而解，下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
1.对称法
带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。
图1
例1.如图1所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。
解析：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图2所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：
图2
①
带电粒子磁场中作圆周运动，由
解得②
①②联立解得

2.动态圆法
在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。
例2.如图3所示，S为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为，质量为m，电量为q的电子（q0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，求挡板被电子击中的范围为多大？
图3
解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图4所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点，最低点为动态圆与MN相割，且SB为直径时B为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由得
图4
SB为直径，则由几何关系得
A为切点，所以OA＝L
所以粒子能击中的范围为。

3.放缩法
带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，探索出临界点的轨迹，使问题得解。
例3.如图5所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。
图5
解析：如图6所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得
图6
①
电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力
，所以②
①②联立解得所以电子从另一侧射出的条件是速度大于。

4.临界法
临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。
例4.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图7所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。
图7
解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图8、图9所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得：
图8图9
解得轨道半径
电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力
因此
打在左侧边界时，如图9所示，由几何关系得轨迹半径
电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，
所以
所以打在板上时速度的范围为
以上是确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法，在解题中如果善于抓住这几点，可以使问题轻松得解。

文章来源：http://m.jab88.com/j/56482.html

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