一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师营造一个良好的教学氛围。怎么才能让教案写的更加全面呢？小编为此仔细地整理了以下内容《高考数学（理科）一轮复习曲线与方程学案含答案》，仅供您在工作和学习中参考。

学案55曲线与方程

导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．
自主梳理
1．曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)__________________都是这个方程的______．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．平面解析几何研究的两个主要问题
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．
3．求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为________；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．
自我检测
1．(2011湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()
A．y＝2x2B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1
2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()
A．双曲线的一支B．椭圆
C．抛物线D．圆
3．(2011佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是()
A．直线lB．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线
4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM→PN→＝0，则P点的轨迹是()
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．(2011江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()
A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)
C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
探究点一直接法求轨迹方程
例1动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．

变式迁移1已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．
探究点二定义法求轨迹方程
例2(2011包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

变式迁移2在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－a2，0，Ca2，0，且满足条件sinC－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程是()
A.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)
B.16y2a2－16x23a2＝1(x≠0)
C.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)的左支
D.16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支
探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程
例3如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．

变式迁移3已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP→＝22PB→.求点P的轨迹C的方程．

分类讨论思想的应用

例(12分)
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．
多角度审题要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．
【答题模板】
解(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，
所以l2的斜率为－1k1，
l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程为y－b＝－1k1(x－a)，②
在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－bk1，[4分]
在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋ak1，[6分]
设MN中点P的坐标为(x，y)，则有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③[8分]
(2)当l1平行于y轴时，MN中点为a2，b2，其坐标满足方程③.
综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思维障碍】
引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．
【易错点剖析】
当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为a2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点a2，b2.
1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．
2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
2．(2011唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，则点C的轨迹为()
A．双曲线B．双曲线的一支
C．椭圆D．线段
3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC→＝2CB→，则点C的轨迹是()
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
4．(2011银川模拟)如图，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()
A．双曲线B．椭圆
C．抛物线D．圆
5．已知F1、F2是椭圆x24＋y23＝1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线的一个分支
C．两条射线D．一条射线
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．
7．(2011泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．
8．平面上有三点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知抛物线y2＝4px(p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．

10．(12分)(2009宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，|OP||OM|＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．(14分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－3)和F2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且OM→＝OA→＋OB→.求：
(1)点M的轨迹方程；
(2)|OM→|的最小值．
学案55曲线与方程
自主梳理
1．(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点M的坐标(2){M|p(M)}(4)最简形式(5)曲线上
自我检测
1．C2.A3.C4.A
5．B[
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±33，
即直线处于两切线之间时满足题意，
则－33m0或0m33.
综上知－33m0或0m33.]
课堂活动区
例1解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；
②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；
③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：
1°AB0，表示焦点在x轴上的椭圆；
2°A＝B0，表示圆；
3°0AB，表示焦点在y轴上的椭圆；
4°A0B，表示焦点在x轴上的双曲线；
5°A0B，表示焦点在y轴上的双曲线；
6°A，B0，无轨迹．
解设点P(x，y)，则kAP＝yx－a，kBP＝yx＋a.
由题意得yx－ayx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)．
(2)当k≠0时，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，
①若k0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．
②若k0，(*)式可化为x2a2＋y2－ka2＝1.
1°当－1k0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点)；
2°当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B两点)；
3°当k－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)．
变式迁移1y2＝－8x
解析由题意：MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)，
∵|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，
∴42＋02x＋22＋y2＋(x－2)4＋y0＝0，
移项两边平方，化简得y2＝－8x.
例2解题导引(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；
(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
解
如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
设动圆M的半径为r，则
由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝34.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.
∴点M的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x0)．
变式迁移2D[∵sinC－sinB＝12sinA，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝12|BC|＝12a(定值)．
∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为|BC|＝a.
∴虚半轴长为a22－a42＝34a，由双曲线标准方程得为16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支．]
例3解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．
解设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
联立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③
又点Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x21－y21＝1.④
③代入④，得动点P的轨迹方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
变式迁移3解设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
AP→＝22PB→，又AP→＝(x－x0，y)，PB→＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－22x，y＝22(y0－y)
得x0＝1＋22x，y0＝(1＋2)y.
因为|AB|＝1＋2，即x20＋y20＝(1＋2)2，
所以1＋22x2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，
化简得x22＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为x22＋y2＝1.
课后练习区
1．B[
如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a(设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，其中ab0)．
连接MO，由三角形的中位线可得
|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．]
2．B[A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．]
3．C[设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即a＝3x，b＝32y，②
代入①式整理可得x2＋y24＝1.]
4．B[
设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，
所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝84＝|AB|.
根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]
5．D[因为|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以轨迹为一条射线．]
6．4π
解析设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.
7．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析方法一直接法．
设A(x，y)，y≠0，则Dx2，y2，
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.
化简得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
方法二
定义法．如图所示，
设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E，
则E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距离为常数6.
∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0.
故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
8．y2＝8x
解析AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2.
∵AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
得2x－y2y2＝0，得y2＝8x.
9．解设M(x，y)，直线AB斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－xy.
设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝4pbk.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－xy代入，
得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(10分)
AB斜率不存在时，经验证也符合上式．
故M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(12分)
10．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，
所以椭圆C的方程为x216＋y27＝1.(4分)
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P在椭圆C上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①当λ＝34时，化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)．
轨迹是两条平行于x轴的线段．(7分)
②当λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，
其中x∈[－4,4]．
当0λ34时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．
当34λ1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．(12分)
11．解(1)椭圆的方程可写为y2a2＋x2b2＝1，其中ab0，
由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲线C的方程为x2＋y24＝1(0x1,0y2)．(3分)
y＝21－x2(0x1)，y′＝－2x1－x2.
设P(x0，y0)，因为P在C上，有0x01，
y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，
得切线AB的方程为y＝－4x0y0(x－x0)＋y0.
(6分)
设A(x,0)和B(0，y)，由切线方程得x＝1x0，y＝4y0.
由OM→＝OA→＋OB→得点M的坐标为(x，y)，
由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为1x2＋4y2＝1(x1，y2)．(10分)
(2)|OM→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，
所以|OM→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，
当且仅当x2－1＝4x2－1，即x＝3时，上式取等号．
故|OM→|的最小值为3.(14分)

延伸阅读

高考数学（理科）一轮复习幂函数学案含答案

学案9幂函数
导学目标：1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．
自主梳理
1．幂函数的概念
形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．
2．幂函数的性质
(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域值域奇偶性单调性过定点
y＝xRR奇?↗(1,1)
y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3RR奇?↗
y＝
[0，＋∞)[0，＋∞)非奇
非偶[0，＋∞)↗
y＝x－1(－∞，0)
∪(0，＋∞)(－∞，0)
∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．
(3)α0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．
自我检测
1．(2011石家庄月考)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是()

A．②①③④B．②③①④
C．④①③②D．④③①②
3．(2011沧州模拟)设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．与函数y＝xx＋1的图象形状一样的是()
A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋1
5．已知点(33，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝D．f(x)＝
探究点一幂函数的定义与图象
例1已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，14)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求当x为何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．

变式迁移1若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，
试求函数h(x)的最大值以及单调区间．

探究点二幂函数的单调性
例2比较下列各题中值的大小．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.

变式迁移2(1)比较下列各组值的大小：
①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则m的取值范围是__________________________．
探究点三幂函数的综合应用
例3(2011葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的范围．

变式迁移3已知幂函数f(x)＝(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．右图是函数y＝(m，n∈N*，m、n互质)的图象，则()
A．m，n是奇数，且mn1
B．m是偶数，n是奇数，且mn1
C．m是偶数，n是奇数，且mn1
D．m是奇数，n是偶数，且mn1
2．(2010陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()
A．幂函数B．对数函数
C．指数函数D．余弦函数
3．下列函数图象中，正确的是()
4．(2010安徽)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()
A．acbB．abc
C．cabD．bca
5．下列命题中正确的是()
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
A．①和④B．④和⑤
C．②和③D．②和⑤
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011邯郸模拟)若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．
8．已知函数f(x)＝xα(0α1)，对于下列命题：①若x1，则f(x)1；②若0x1，则0f(x)1；③当x0时，若f(x1)f(x2)，则x1x2；④若0x1x2，则f(x1)x1f(x2)x2.
其中正确的命题序号是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．

10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．

11．(14分)(2011荆州模拟)已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)f(3)．
(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．

答案自主梳理
1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函数不过
自我检测
1．B[方法一由幂函数的图象与性质，n0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；
由增(减)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次为
2，12，－12，－2.
方法二作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，12，－12，－2.]
2．D[第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二个图象对应③；
第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；
第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]
3．A4.C5.B
课堂活动区
例1解(1)设f(x)＝xα，
∵图象过点(2，2)，故2＝(2)α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，∵图象过点(2，14)，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．

由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)．
∴①当x1，或x－1时，f(x)g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．
变式迁移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，
如例1图所示，
则有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.
根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
例2解题导引比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．
解(1)函数y＝3x是增函数，∴30.830.7.
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.2130.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0＝1；
0，∴.
变式迁移2(1)①②
(2)m0
解析根据幂函数y＝x1.3的图象，
当0x1时，0y1，∴00.71.31.
又根据幂函数y＝x0.7的图象，
当x1时，y1，∴1.30.71.
于是有0.71.31.30.7.
对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，当x0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m0.
例3解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，
∴m2－2m－30，解得－1m3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
而22－2×2－3＝－3为奇数，
12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴等价于a＋13－2a0，
或0a＋13－2a，或a＋103－2a，
解得a－1或23a32.
故a的范围为{a|a－1或23a32}．
变式迁移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，2)，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.
解得1≤a32.
∴a的取值范围为[1，32)．
课后练习区
1．C[由图象知，函数为偶函数，
∴m为偶数，n为奇数．
又函数图象在第一限内上凸，∴mn1.]
2．C[∵(x＋y)α≠xαyα，
∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．
∵loga(x＋y)≠logaxlogay，
∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．
∵ax＋y＝axay，∴指数函数f(x)＝ax具有此性质．
∵cos(x＋y)≠cosxcosy，
∴余弦函数y＝cosx不具有此性质．]
3．C[对A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B图象不正确；
D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax应为减函数，D错．]
4．A[∵y＝在x∈(0，＋∞)递增，
∴，即ac，
∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)递减，
∴，即cb，
∴acb.]
5．D
6．1或2
解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
7．cab
解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.
又∵x∈(0,1)，∴xα，即cab.
8．①②③
解析作出y＝xα(0α1)在第一象限内的图象，如图所示，
可判定①②③正确，
又fxx表示图象上的点与原点连线的斜率，
当0x1x2时应有fx1x1fx2x2，故④错．
9．解设在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由点(12，18)在函数图象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解由条件知1－n2＋2n＋30，
－n2＋2n＋30，解得－1n3.…………………………………………………………(4分)
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
当n＝0,2时，f(x)＝x13，
∴f(x)在R上单调递增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)f(x＋3)转化为x2－xx＋3.
解得x－1或x3.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解(1)∵f(2)f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函数．
故－k2＋k＋20，解得－1k2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假设存在q0满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(2q－12q，4q2＋14q)处取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，
∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………(14分)

高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

学案11函数与方程
导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．
自主梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与____有交点函数y＝f(x)有________．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系
Δ0Δ＝0Δ0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a0)的图象

与x轴的交点________，
________________无交点
零点个数________________________
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点c；
第三步，计算______：
①若________，则c就是函数的零点；
②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．
自我检测
1．(2010福建)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx0的零点个数为()
A．0B．1C．2D．3
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()
A．至少有一个B．至多有一个
C．有且只有一个D．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()
A．①②B．①③
C．①④D．③④
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能确定
5．(2011福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()
A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究点一函数零点的判断
例1判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．

变式迁移1(2011烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()
A．多于4个B．4个
C．3个D．2个
探究点二用二分法求方程的近似解
例2求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．

变式迁移2(2011淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f(0)0，0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()
A.0，12B．(0,1)f12
C.12，1D.0，12
探究点三利用函数的零点确定参数
例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．
1．全面认识深刻理解函数零点：
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
2．求函数y＝f(x)的零点的方法：
(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)f(b)0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；
(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
2．(2011福州质检)已知函数f(x)＝log2x－13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()
A．恒为负B．等于零
C．恒为正D．不小于零
3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()
4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x1x2，则()
A．x12,2x25
B．x12，x25
C．x12，x25
D．2x15，x25
5．(2011厦门月考)设函数f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x1，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是()
A．4B．3C．2D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2006x＋log2006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
7．(2011深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．
8．(2009山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.

10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围．
11．(14分)(2011杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求证：
(1)a0且－3ba－34；
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|574.

答案自主梳理
1．(1)f(x)＝0(2)x轴零点2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无4.f(a)f(b)0f(c)①f(c)＝0②f(a)f(c)0③f(c)f(b)0
自我检测
1．C[当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以已知函数有两个零点．]
2．B3.B4.B5.A
课堂活动区
例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．
解方法一设f(x)＝lnx＋2x－6，
∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，
∴f(x)也是增函数．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，
∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，
∴函数在(1,3)上存在唯一零点．
方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．
变式迁移1B[由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右
边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．]
例2解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；
②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)f(b)0；
③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．
解设f(x)＝2x3＋3x－3.
经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，
所以函数在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，
又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，
如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.
(a，b)(a，b)
的中点fa＋b2

(0,1)0.5f(0.5)0
(0.5,1)0.75f(0.75)0
(0.5,0.75)0.625f(0.625)0
(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0
(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1
至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．
变式迁移2D[由于f(0)0，f120，而f(x)＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f(x)在－12，＋∞上也是增函数，
故f(x)在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，
第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点
x1＝0＋122＝14.]
例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝－3±72.
①当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，
当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；
②当f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)0，
即1a5时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点．
③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则
a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，
解得a≥5或a－3－72.
综上所述实数a的取值范围是a1或a≤－3－72.
变式迁移3解方法一(换元)
设2x＝t，则函数f(x)＝4x＋a2x＋a＋1化为g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
函数f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．
(1)当方程①有两个正实根时，
a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a0t1t2＝a＋10，
解得：－1a≤2－22；
(2)当方程①有一正根一负根时，只需t1t2＝a＋10，
即a－1；
(3)当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.
综上可知a≤2－22.
方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，
实数a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0－a20g0＝a＋10，
解得－1a≤2－22；
(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足g(0)＝a＋10，
解得a－1；
(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.
综上(1)(2)(3)知a≤2－22.
课后练习区
1．B[因为f(－1)＝12－30，f(0)＝10，
所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．]
2．A
3．C[能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B中不存在f(x)0，D中函数不连续．]
4．C
5．B[当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．]
6．3
解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x0时，f(x)＝2006x＋log2006x在区间(0，12006)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.
7．x1x2x3
解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；
令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，
设y＝lnx，y＝－x.
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x10x21，令x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，
∴x＝1＋52，
即x3＝3＋521，所以x1x2x3.
8．a1
解析设函数y＝ax(a0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合；当a1时，因为函数y＝ax(a1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1.
9．证明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)
∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，
∴g(0)g(12)0.……………………………………………………………………………(8分)
又函数g(x)在(0，12)上连续，…………………………………………………………(10分)
所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)
10．解二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，
使f(c)0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0.……………………(4分)
此时f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：
p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分)
∴二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0的实数p的取值范围是
－3p32.…………………………………………………………………………………(12分)
11．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，
∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a2c2b，∴3a0,2b0，
∴a0，b0.
又2c＝－3a－2b，由3a2c2b，
∴3a－3a－2b2b.
∵a0，∴－3ba－34.……………………………………………………………………(4分)
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①当c0时，∵a0，
∴f(0)＝c0且f(1)＝－a20，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(7分)
②当c≤0时，
∵a0，
∴f(1)＝－a20且f(2)＝a－c0，
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．
综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(10分)
(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.
∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2
＝－ba2－4－32－ba
＝ba＋22＋2.(12分)
∵－3ba－34，
∴2≤|x1－x2|574.……………………………………………………………………(14分)

高考数学（理科）一轮复习直线及其方程学案带答案

第九章解析几何
学案47直线及其方程

导学目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
自主梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________.
2．直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为P1P2→，其坐标为________________，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．
3．直线的方程和方程的直线
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋By＋C＝0的直线，称方程Ax＋By＋C＝0是直线l的方程．
4．直线方程的五种基本形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线x＝x0
斜截式不含垂直于x轴的直线
两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
自我检测
1．(2011银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m三点共线，则m的值为()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为()
A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四个命题中，假命题是()
A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b
4．(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究点一倾斜角与斜率

例1已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．

变式迁移1直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()
A.0，π2B．(0，π)
C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π
探究点二直线的方程
例2(2011武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

变式迁移2求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

探究点三直线方程的应用

例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA||PB|最小时l的方程．
变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？
探究点四数形结合思想
例4已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
试求y＋3x＋2的最大值与最小值．

变式迁移4直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α180°，熟记斜率公式k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求直线方程，但都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．
3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是()
A．(0，π)B.0，π4∪π2，π
C.0，π4D.π4，π2∪π2，π
2．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()
A.π6，π3B.π6，π2
C.π3，π2D.π6，π2
3．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011宜昌调研)点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．(2011包头期末)经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________.
7．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．
8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．

10．(12分)(2011秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．
11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

学案47直线及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2－y1x2－x12.(x2－x1，y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直线l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)5.x1＋x22y1＋y22
自我检测
1．A2.D3.D4.C5.D
课堂活动区
例1解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．
解设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，
∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，
故直线l的斜率为13.
变式迁移1D[直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4，
当－1≤k0时，倾斜角的范围是3π4，π.]
例2解题导引(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．
(2)求直线方程常用方法——待定系数法．
待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．
解过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是0，103和(0,8)，
显然不满足中点是点M(0,1)的条件．
故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组y＝kx＋1，x－3y＋10＝0，①
y＝kx＋1，2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
变式迁移2解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，
∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解题导引先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．
解设直线的方程为xa＋yb＝1(a2，b1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
当且仅当2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA||PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，
作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．
例4解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值为8，最小值为43.
变式迁移4C
[如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，
∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，
∴斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－25，
故直线l的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
课后练习区
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)当m＝－1时，
直线AB的斜率不存在；(1分)
当m≠－1时，k＝1m＋1.(3分)
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)
当m≠－1时，AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直线AB的方程为x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
综合①②，知直线AB的倾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(2分)
kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
则－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，
∴所求m的范围是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)证明直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝01－y＝0，解之得x＝－2y＝1，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；(7分)
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，
解得k0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2kk|1＋2k|
＝121＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)

高考数学（理科）一轮复习函数的单调性与最值学案含答案

学案5函数的单调性与最值
导学目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．
自主梳理
1．单调性
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．
(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))0fx1－fx2x1－x20f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))0fx1－fx2x1－x20f(x)在[a，b]上是________．
(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．
(4)函数y＝x＋ax(a0)在(－∞，－a)，(a，＋∞)上是单调________；在(－a，0)，(0，a)上是单调______________；函数y＝x＋ax(a0)在______________上单调递增．
2．最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．
自我检测
1．(2011杭州模拟)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有()
A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)
C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a)
3．下列函数在(0,1)上是增函数的是()
A．y＝1－2xB．y＝x－1
C．y＝－x2＋2xD．y＝5
4．(2011合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()
A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定
5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()
A．[c,55＋c]B．[－43＋c，c]
C．[－43＋c,55＋c]D．[c,20＋c]

探究点一函数单调性的判定及证明
例1设函数f(x)＝x＋ax＋b(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．

变式迁移1已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋1fx，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．

探究点二函数的单调性与最值
例2(2011烟台模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．

变式迁移2已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
探究点三抽象函数的单调性
例3(2011厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

变式迁移3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.
分类讨论及数形结合思想
例(12分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【答题模板】
解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分]

(2)当0≤a1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分]
(3)当1a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[9分]
(4)当a2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，(1)当a0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；
(2)当0≤a1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；
(3)当1a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；
(4)当a2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[12分]
【突破思维障碍】
(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．
(2)不是应该分a0,0≤a≤2，a2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．
2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．
(2)f(x)与af(x)，当a0时，具有相同的单调性，当a0时，具有相反的单调性．
(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1fx具有相反的单调性．
(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011泉州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2009天津)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0，若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
3．(2009宁夏，海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()
A．4B．5C．6D．7
4．(2011丹东月考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)D．(0,1]
5．(2011葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()
A．一定大于0B．一定小于0
C．等于0D．正负都有可能
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．
①y＝[f(x)]2是增函数；
②y＝1fx是减函数；
③y＝－f(x)是减函数；
④y＝|f(x)|是增函数．
8．设0x1，则函数y＝1x＋11－x的最小值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011湖州模拟)已知函数f(x)＝a－1|x|.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

10．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

11．(14分)(2011鞍山模拟)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈
[－1,1]，a＋b≠0时，有fa＋fba＋b0成立．
(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2)解不等式：f(x＋12)f(1x－1)；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案自主梳理
1．(1)增函数(减函数)(2)增函数减函数(3)单调区间(4)递增递减(－∞，0)，(0，＋∞)2.最大(小)值
自我检测
1．B[由已知得a0，b0.所以二次函数对称轴为直线x＝－b2a0，且图象开口向下．]
2．D[∵a2＋1a，f(x)在R上单调递增，
∴f(a2＋1)f(a)．]
3．C[常数函数不具有单调性．]
4．D[在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小．]
5．C[∵f(x)＝3(x－23)2－43＋c，x∈[0,5]，∴当x＝23时，f(x)min＝－43＋c；当x＝5时，f(x)max＝55＋c.]
课堂活动区
例1解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．
解在定义域内任取x1，x2，且使x1x2，
则Δx＝x2－x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋b
＝x2＋ax1＋b－x2＋bx1＋ax1＋bx2＋b
＝b－ax2－x1x1＋bx2＋b.
∵ab0，∴b－a0，∴(b－a)(x2－x1)0，
又∵x∈(－∞，－b)∪(－b，＋∞)，
∴只有当x1x2－b，或－bx1x2时，函数才单调．
当x1x2－b，或－bx1x2时，f(x2)－f(x1)0，即Δy0.
∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1x2，∴f(x2)f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1fx2]－[f(x1)＋1fx1]＝[f(x2)－f(x1)][1－1fx1fx2]，
∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，
∴当x5时，0f(x)1，而当x5时f(x)1；
①若x1x25，则0f(x1)f(x2)1，
∴0f(x1)f(x2)1，∴1－1fx1fx20，
∴F(x2)F(x1)；
②若x2x15，则f(x2)f(x1)1，
∴f(x1)f(x2)1，∴1－1fx1fx20，
∴F(x2)F(x1)．
综上，F(x)在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．
例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，
设x1，x2∈[1，＋∞)且x1x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2
＝(x1－x2)(1－12x1x2)
∵x1x2，∴x1－x20，又∵1x1x2，
∴1－12x1x20，
∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.
(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立，等价于x2＋2x＋a0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a0时，函数f(x)恒成立，
故a－3.
方法二f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)，
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a0时，函数f(x)递增；
当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a0时，函数f(x)0恒成立，
故a－3.
方法三在区间[1，＋∞)上f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立等价于x2＋2x＋a0恒成立．
即a－x2－2x恒成立．
又∵x∈[1，＋∞)，a－x2－2x恒成立，
∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．
∴a－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.
当x＝1时，u取得最大值－3，∴a－3.
变式迁移2解设1x1x2.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－(x2－ax2＋a2)
＝(x1－x2)(1＋ax1x2)0.
又∵x1－x20，∴1＋ax1x20，即a－x1x2恒成立．
∵1x1x2，x1x21，－x1x2－1.
∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
例3解题导引(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f(x)为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．
(1)证明设x1x2，
则f(x1)－f(x2)
＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)
又∵x0时，f(x)0.
而x1－x20，∴f(x1－x2)0，
即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．
(2)解∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
∴f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
变式迁移3解(1)令x1＝x20，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，
由于当x1时，f(x)0，
∴f(x1x2)0，即f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，
∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得
f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
∴当x0时，由f(|x|)－2，得f(x)f(9)，∴x9；
当x0时，由f(|x|)－2，得f(－x)f(9)，
∴－x9，故x－9，
∴不等式的解集为{x|x9或x－9}．
课后练习区
1．A[f(x)对称轴x＝a，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]
2．C[由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a2a，解得－2a1.]
3．C[
由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．]
4．D[f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a≤1.]
5．A[∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．
又∵x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，
∴x1－x2，x2－x3，x3－x1.
又∵f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，
f(x2)f(－x3)＝－f(x3)，
f(x3)f(－x1)＝－f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)－f(x2)－f(x3)－f(x1)．
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)0.]
6．[0，32]
解析y＝－x－3xx≥0x－3xx0.
画图象如图所示：
可知递增区间为[0，32]．
7．③
解析举例：设f(x)＝x，易知①②④均不正确．
8．4
解析y＝1x＋11－x＝1x1－x，当0x1时，x(1－x)＝－(x－12)2＋14≤14.
∴y≥4.
9．(1)证明当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝a－1x，
设0x1x2，则x1x20，x2－x10.
f(x1)－f(x2)＝(a－1x1)－(a－1x2)
＝1x2－1x1＝x1－x2x1x20.………………………………………………………………………(5分)
∴f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
……………………………………………………………………………………………(6分)
(2)解由题意a－1x2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋1x，则ah(x)在(1，＋∞)上恒成立．
……………………………………………………………………………………………(8分)
∵h′(x)＝2－1x2，x∈(1，＋∞)，∴2－1x20，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分)
故a≤h(1)，即a≤3.
∴a的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分)
10．解设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，
由题意知，f(x)的对称轴为－a2.
(1)当－a2－2，即a4时，
g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73.
又a4，故此时的a不存在．……………………………………………………………(4分)
(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f(－a2)＝3－a－a24≥0得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.……………………………………………………………(8分)
(3)当－a22，即a－4时，
g(a)＝f(2)＝7＋a≥0得a≥－7.
又a－4，故－7≤a－4.
综上得所求a的取值范围是－7≤a≤2.………………………………………………(12分)
11．解(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1x2，
则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝fx1＋f－x2x1＋－x2(x1－x2)，
由已知得fx1＋f－x2x1＋－x20，x1－x20，
∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)
(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，
∴x＋121x－1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x－11.………………………………8分
∴－32≤x－1.……………………………………………………………………………(9分)
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．
∴在[－1,1]上，f(x)≤1.…………………………………………………………………(10分)
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．
下面来求m的取值范围．
设g(a)＝－2ma＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2，或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.……………………………………………………(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/56479.html

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