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北师大版八年级下册数学《图形的平衡与旋转》知识点归纳

第三章平移和旋转

一.图形的平移

1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。（3）对应线段相等，对应角相等。

二.图形的旋转

1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等．对应线段相等，对应角相等。

三.中心对称

1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2.基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3.中心对称图形

概念：把一个图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。m.Jab88.cOm

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八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版

八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版

第三章分式

一、分式

1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

2、整式和分式统称为有理式,即有:

3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二、分式的乘除法

1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.

逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

三、分式的加减法

1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

2、分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:

(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

3、概念内涵:

通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.

四、分式方程

1、解分式方程的一般步骤:

①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.

2、列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意;

②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根;

⑤写出答案.

八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版

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八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版

第二章分解因式

一、分解因式

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

二、提公共因式法

1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:

2、概念内涵:

(1)因式分解的最后结果应当是积;

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

3、易错点点评:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式是否提干净;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

三、运用公式法

1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

2.主要公式:

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式:

3.易错点点评:

因式分解要分解到底.如就没有分解到底.

4、运用公式法:

(1)平方差公式:

①应是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;

③二项是异号.

(2)完全平方公式:

①应是三项式;

②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

5、因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

四、分组分解法:

1、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如:

2、概念内涵:

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

3、注意:分组时要注意符号的变化.

五、十字相乘法:

1、对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积,,,且满足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.

如:

2、二次三项式的分解:

3、规律内涵:

(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

4、易错点点评:

(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;

(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

八年级数学下册第三章《平移和旋转》知识点归纳（北师大版）

八年级数学下册第三章《平移和旋转》知识点归纳（北师大版）

第三章平移和旋转

一.图形的平移

1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。（3）对应线段相等，对应角相等。

二.图形的旋转

1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后的图形全等．对应线段相等，对应角相等。

三.中心对称

1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2.基本性质：
（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3.中心对称图形
概念：把一个图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

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