作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，有效的提高课堂的教学效率。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？下面是小编精心为您整理的“2018版高考数学（理科）一轮设计：第5~6章教师用书（人教A版）”，但愿对您的学习工作带来帮助。

第1讲平面向量的概念及线性运算
最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识梳理
1.向量的有关概念
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量
零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0
单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线
共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)零向量与任意向量平行.()
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()
(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()
(5)在△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→).()
解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误.
答案A
3.(2017枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD→＝－13AB→＋43AC→，若BC→＝λDC→(λ∈R)，则λ＝()
A.2B.3C.－2D.－3
解析由AD→＝－13AB→＋43AC→，可得3AD→＝－AB→＋4AC→，即4AD→－4AC→＝AD→－AB→，则4CD→＝BD→，即BD→＝－4DC→，可得BD→＋DC→＝－3DC→，故BC→＝－3DC→，则λ＝－3，故选D.
答案D
4.(2015全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，
又向量λa＋b与a＋2b平行，
则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.
答案12
5.(必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝______，BC→＝________(用a，b表示).
解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.
答案b－a－a－b
考点一平面向量的概念
【例1】下列命题中，不正确的是________(填序号).
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB→|＝|DC→|，
AB→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
答案①
规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.
【训练1】下列命题中，正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.
答案③
考点二平面向量的线性运算
【例2】(1)(2017潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13BC.若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→＝()
A.13a＋13bB.－13a＋13b
C.13a－13bD.－13a－13b
(2)(2015北京卷)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.
解析(1)PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13BC→＝23AB→＋
13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，故选A.
(2)由题中条件得，MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→＝xAB→＋yAC→，所以x＝12，y＝－16.
答案(1)A(2)12－16
规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
【训练2】(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么EF→等于()
A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→
C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→
(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于()
A.1B.12C.13D.23
解析(1)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.
因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，
所以CF→＝23CB→.
所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→
＝12AB→－23AD→，故选D.
(2)∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，
∴2AO→＝AB→＋13BC→，即AO→＝12AB→＋16BC→.
故λ＋μ＝12＋16＝23.
答案(1)D(2)D
考点三共线向量定理及其应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，
又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.
【训练3】(1)(2017资阳模拟)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()
A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()
A.{0}B.C.{－1}D.{0，－1}
解析(1)∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，
∴BD→、AB→共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线.故选B.
(2)因为BC→＝OC→－OB→，所以x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→－(x－1)OB→，因为A，B，C三点共线，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1.
答案(1)B(2)D
[思想方法]
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线x＋y＝1.
[易错防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→.其中结果为零向量的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.
答案B
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()
A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同
C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|a
解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.
答案B
3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()
A.0B.BE→
C.AD→D.CF→
解析由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.
答案D
4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.
答案D
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()
A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→
解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故选D.
答案D
6.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，
∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.
答案A
7.(2017温州八校检测)设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()
A.－2B.－1C.1D.2
解析∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线.
设AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案B
8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()
A.a－12bB.12a－b
C.a＋12bD.12a＋b
解析连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，
所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.
答案D
二、填空题
9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA→相等的向量有________个.
解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA→相等的向量有CB→，DO→，EF→，共3个.
答案3
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________.
解析因为ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2.
答案2
11.向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线.其中所有正确结论的序号为________.
解析由AC→＝AB→－CB→＝4e1＋2e2＝2CD→，且AB→与CB→不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.
答案④
12.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.
解析由已知条件得MB→＋MC→＝－MA→，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.
延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，
∴AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3.
答案3
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2017延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()
A.－94B.－49
C.－38D.不存在
解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→.
又AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，
所以BD→＝CD→－CB→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以3＝λ（3－k），2＝－λ（2k＋1），解得k＝－94.
答案A
14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()
A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上
解析因为2OP→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
答案B
15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析作∠BAC的平分线AD.∵OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，
∴AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|＝λ′AD→|AD→|(λ′∈[0，＋∞))，
∴AP→＝λ′|AD→|AD→，∴AP→∥AD→.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案B
16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________.
解析OB→＋OC→－2OA→＝(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
答案直角三角形
第2讲平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

扩展阅读

2018版高考数学（理科）一轮设计：第4章教师用书（人教A版）

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)

角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝

弧长公式弧长l＝|α|r
扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2

3.任意角的三角函数
三角函数正弦余弦正切
定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα
各象限符号Ⅰ＋＋＋
Ⅱ＋－－
Ⅲ－－＋
Ⅳ－＋－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)小于90°的角是锐角.()
(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()
(4)若α∈0，π2，则tanα＞α＞sinα.()
(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()
解析(1)锐角的取值范围是(0°，90°).
(2)第一象限角不一定是锐角.
(3)顺时针旋转得到的角是负角.
(5)终边相同的角不一定相等.
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×
2.角－870°的终边所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限.
答案C
3.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()
A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k360°＋94π(k∈Z)
C.k360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)
解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确.
答案C
4.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()
A.45B.35C.－35D.－45
解析∵角α的终边经过点(－4，3)，
∴x＝－4，y＝3，r＝5.
∴cosα＝xr＝－45，故选D.
答案D
5.(必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.
答案π3
考点一角的概念及其集合表示
【例1】(1)若角α是第二象限角，则α2是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.
解析(1)∵α是第二象限角，
∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，α2是第一象限角；
当k为奇数时，α2是第三象限角.
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.
答案(1)C(2)－53π，－23π，π3，43π
规律方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置.
【训练1】(1)设集合M＝x|x＝k2180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4180°＋45°，k∈Z，那么()
A.M＝NB.MN
C.NMD.M∩N＝
(2)集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()
解析(1)法一由于M＝x|x＝k2180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝x|x＝k4180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN，故选B.
法二由于M中，x＝k2180°＋45°＝k90°＋45°＝(2k＋1)45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝k4180°＋45°＝k45°＋45°＝(k＋1)45°，k＋1是整数，因此必有MN，故选B.
(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋5π4≤α≤2nπ＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样，故选C.
答案(1)B(2)C
考点二弧度制及其应用
【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解(1)α＝60°＝π3rad，∴l＝αR＝π3×10＝10π3(cm).
(2)由题意得2R＋Rα＝10，12αR2＝4，解得R＝1，α＝8(舍去)，R＝4，α＝12.
故扇形圆心角为12.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
规律方法应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【训练2】已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝90°＝π2，R＝10，l＝π2×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝12×5π×10－12×102＝25π－50(cm2).
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝C2＋α，
∴S扇＝12αR2＝12αC2＋α2
＝C2α214＋4α＋α2＝C2214＋α＋4α≤C216.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.
考点三三角函数的概念
【例3】(1)(2017洛阳一中月考)已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P12，y0，则cos2α等于()
A.－12B.12C.－32D.1
(2)(2016兰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()
A.－12B.12C.－32D.32
解析(1)根据题意可知，cosα＝12，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×14－1＝－12.
(2)∵r＝64m2＋9，
∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，
∴m0，∴4m264m2＋9＝125，因此m＝12.
答案(1)A(2)B
规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
(2)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.
【训练3】(1)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
(2)满足cosα≤－12的角α的集合为________.
解析(1)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，
∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，
综上知θ2为第二象限角.
(2)作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，
连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
答案(1)B(2)α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
[思想方法]
1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.
2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
[易错防范]
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，
②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案C
2.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边所在象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析由题意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角.
答案B
3.(2017福州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝35，则m等于()
A.－3B.3C.163D.±3
解析sinθ＝m16＋m2＝35，解得m＝3.
答案B
4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()
A.(－12，32)B.(－32，－12)
C.(－12，－32)D.(－32，12)
解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.
答案A
5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.则实数a的取值范围是()
A.(－2，3]B.(－2，3)
C.[－2，3)D.[－2，3]
解析∵cosα≤0，sinα0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.
答案A
6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为()
A.π3B.π2C.3D.2
解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，∴α＝3.
答案C
7.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.
答案A
8.(2016合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()
A.－45B.－35
C.35D.45
解析由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝15，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.
答案B
二、填空题
9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.
解析在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，
所以，所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z).
答案2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)
10.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.
解析由已知P(cosα，sinα)，则Q(－cosα，－sinα).
答案(－cosα，－sinα)
11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.
解析设扇形半径为r，弧长为l，则lr＝π6，12lr＝π3，
解得l＝π3，r＝2.
答案π3
12.(2017九江模拟)若390°角的终边上有一点P(a，3)，则a的值是________.
解析tan390°＝3a，又tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.∴3a＝33，∴a＝33.
答案33
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动π2弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝()
A.－1B.1C.－2D.2
解析圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON为终边的角为αα＝2kπ＋π4，k∈Z，故tanα＝1.
答案B
14.(2016郑州一模)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα等于()
A.43B.34C.－34D.－43
解析因为α是第二象限角，所以cosα＝15x0，即x0.
又cosα＝15x＝xx2＋16，
解得x＝－3，所以tanα＝4x＝－43.
答案D
15.函数y＝2sinx－1的定义域为________.
解析∵2sinx－1≥0，∴sinx≥12.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z).
答案2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________.
解析如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,Q为垂足.根据题意得劣弧DP︵＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－π2，
|CQ|＝cos2－π2＝sin2，|PQ|＝sin2－π2＝－cos2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为(2－sin2，1－cos2)，故OP→＝(2－sin2，1－cos2).
答案(2－sin2，1－cos2)
第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式
最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sinαcosα＝tan__αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式一二三四五六
角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－α
π2＋α

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα
余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα
正切tanαtanα－tanα－tanα

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()
解析(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立.
(4)当k为奇数时，sinα＝13，
当k为偶数时，sinα＝－13.
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2.(2017泰安模拟)sin600°的值为()
A.－12B.－32C.12D.32
解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.
答案B
3.已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()
A.－25B.－15C.15D.25
解析∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.故选C.
答案C
4.已知sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则tan(2π－α)的值为()
A.－255B.255C.±255D.52
解析sin(π－α)＝sinα＝log814＝－23，
又α∈－π2，0，得cosα＝1－sin2α＝53，
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝255.
答案B
5.(必修4P22B3改编)已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________.
解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.
答案3

2018版高考数学理科一轮设计：第1~3章教师用书（人教A版）

第1讲集合
最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则AB或BA.
(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?B或B?A.
(3)相等：若AB，且BA，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为UA
图形表示

集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且xA}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
(2)子集的传递性：AB，BCAC.
(3)ABA∩B＝AA∪B＝B.
(4)U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)任何集合都有两个子集.()
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()
解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.
(3)错误.当x＝1，不满足互异性.
(4)错误.当A＝时，B，C可为任意集合.
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()
A.{a}AB.aAC.{a}∈AD.aA
解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知aA.
答案D
3.(2016全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x－30}，则A∩B＝________.
A.－3，－32B.－3，32
C.1，32D.32，3
解析易知A＝(1，3)，B＝32，＋∞，所以A∩B＝32，3.
答案D
4.(2017石家庄模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则U(A∪B)等于()
A.{1，4}B.{1，5}
C.{2，5}D.{2，4}
解析由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴U(A∪B)＝{2，4}.
答案D
5.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.
解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
答案2
考点一集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()
A.92B.98C.0D.0或98
解析(1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；
当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.
根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.
(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝23，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，
所以a的取值为0或98.
答案(1)C(2)D
规律方法(1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.
(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________.
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝，则实数a的取值范围为________.
解析(1)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，
所以a＋b＝0，且b＝1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(2)由A＝知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝23不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a0，∴a－98.
答案(1)2(2)－∞，－98
考点二集合间的基本关系
【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()
A.A?BB.B?AC.ABD.B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若BA，则实数m的取值范围是________.
解析(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.
因此B?A.
(2)当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠时，若BA，如图.
则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，
解得2m≤4.
综上，m的取值范围为(－∞，4].
答案(1)B(2)(－∞，4]
规律方法(1)若BA，应分B＝和B≠两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
【训练2】(1)(2017长郡中学质检)若集合A＝{x|x0}，且BA，则集合B可能是()
A.{1，2}B.{x|x≤1}
C.{－1，0，1}D.R
(2)(2016郑州调研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若AB，则m的值为()
A.2B.－1
C.－1或2D.2或2
解析(1)因为A＝{x|x＞0}，且BA，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.
(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}.
因为B＝{1，m}且AB，
所以m＝2.
答案(1)A(2)A
考点三集合的基本运算
【例3】(1)(2015全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()
A.5B.4
C.3D.2
(2)(2016浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(RQ)＝()
A.[2，3]B.(－2，3]
C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.
∴RQ＝{x|－2x2}，
又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(RQ)＝{x|－2x≤3}.
答案(1)D(2)B
规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
【训练3】(1)(2017石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x6}，则下列结论正确的是()
A.NMB.N∩M＝
C.MND.M∩N＝R
(2)(2016山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则U(A∪B)＝()
A.{2，6}B.{3，6}
C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}
解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴MN.
(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，
又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此U(A∪B)＝{2，6}.
答案(1)C(2)A
[思想方法]
1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.(2015全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()
A.A＝BB.A∩B＝
C.A?BD.B?A
解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1B，∴B?A.
答案D
2.(2016全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}，则A∪B＝()
A.{1}B.{1，2}
C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}
解析由(x＋1)(x－2)0，得－1x2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.
答案C
3.(2017肇庆模拟)已知集合A＝{x|lgx0}，B＝{x|x≤1}，则()
A.A∩B≠B.A∪B＝RC.BAD.AB
解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.
答案B
4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是()
A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)
C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析因为P∪M＝P，所以MP，即a∈P，
得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].
答案C
5.(2016山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－10}，则A∪B＝()
A.(－1，1)B.(0，1)
C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)
解析由y＝2x，x∈R，知y0，则A＝(0，＋∞).
又B＝{x|x2－10}＝(－1，1).
因此A∪B＝(－1，＋∞).
答案C
6.(2016浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(UP)∪Q＝()
A.{1}B.{3，5}
C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}
解析∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(UP)∪Q＝{1，2，4，6}.
答案C
7.若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()
A.1B.3
C.7D.31
解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，2，－1，12，2.
答案B
8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝()
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0x1}
解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.
∴U(A∪B)＝{x|0x1}.
答案D
二、填空题
9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a0}，且1A，则实数a的取值范围是________.
解析∵1{x|x2－2x＋a0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案(－∞，1]
10.(2016天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.
解析由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.
答案{1，3}
11.集合A＝{x|x0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且xB}，则A－B＝________.
解析由x(x＋1)0，得x－1或x0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1，0).
答案[－1，0)
12.(2017石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|xm＋1}，若AB，则实数m的取值范围是________.
解析由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，
又B＝{x|xm＋1}，且AB，
所以m＋12017，则m2016.
答案(2016，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2016全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x0}，则(RS)∩T＝()
A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)
C.(2，3)D.(0，＋∞)
解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴RS＝(2，3)，
因此(RS)∩T＝(2，3).
答案C
14.(2016黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是()
A.{x|x≥1}B.{x|1≤x2}
C.{x|0x≤1}D.{x|x≤1}
解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴UB＝[1，＋∞)，A∩(UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(UB)＝{x|1≤x2}.
答案B
15.(2017南昌十所省重点中学模拟)设集合A＝x∈N|14≤2x≤16，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.
解析由14≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.
又x2－3x0，知B＝{x|x3或x0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.
答案1
16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
解析A＝{x∈R||x＋2|3}＝{x∈R|－5x1}，
由A∩B＝(－1，n)可知m1，
则B＝{x|mx2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
所以m＋n＝0.
答案0
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件pq且qp
p是q的必要不充分条件p且qp
p是q的充要条件pq
p是q的既不充分也不必要条件pq且qp

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)“x2＋2x－30”是命题.()
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()
解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
2.(教材练习改编)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()
A.若α≠π4，则tanα≠1B.若α＝π4，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠π4D.若tanα≠1，则α＝π4
解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tanα≠1，綈p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”.
答案C
3.(2016天津卷)设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的()
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析xyx|y|(如x＝1，y＝－2).
但x|y|时，能有xy.
∴“xy”是“x|y|”的必要不充分条件.
答案C
4.命题“若a－3，则a－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a－6，则a－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
答案B
5.(2017大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以pq；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以qp.
∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.
答案A
考点一四种命题的关系及其真假判断
【例1】(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()
A.真、假、真B.假、假、真
C.真、真、假D.假、假、假
解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.
(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
答案(1)C(2)B
规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
解析由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，
∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.
答案D

鲁科版高二物理选修3-5教师用书第5章章末分层突破

章末分层突破
自我校对]
①光电子
②波粒
③hν
④W＋12mv2
⑤概率波
⑥hν
⑦hλ
⑧ΔxΔp
光电效应现象的分析
1.光电效应的特点
(1)产生条件：入射光频率等于或大于被照射金属的极限频率．
(2)入射光频率→决定每个光子能量E＝hν→决定光电子逸出后最大初动能．
(3)入射光强度→决定每秒钟逸出的光电子数→决定光电流大小．
(4)爱因斯坦光电效应方程hν＝W＋12mv2
W表示金属的逸出功，νc表示金属的极限频率，则W＝hνc.
2．光电效应问题分析
有关光电效应的问题主要有两个方面：一是关于光电效应现象的判断，二是运用光电效应方程进行简单计算．解题的关键在于掌握光电效应规律，明确各概念之间的决定关系，准确把握它们的内在联系．
(多选)利用光电管研究光电效应实验如图51所示，用频率为ν1的可见光照射阴极K，电流表中有电流通过，则()
图51
A．用紫外线照射，电流表中一定有电流通过
B．用红外线照射，电流表中一定无电流通过
C．用频率为ν1的可见光照射K，当滑动变阻器的滑动触头移到A端时，电流表中一定无电流通过
D．用频率为ν1的可见光照射K，当滑动变阻器的滑动触头向B端滑动时，电流表示数可能不变
【解析】因紫外线的频率比可见光的频率高，所以用紫外线照射时，电流表中一定有电流通过，A正确；因不知阴极K的截止频率，所以用红外线照射时不一定发生光电效应，B错误；用频率为ν1的可见光照射K，当滑动变阻器的滑动触头移到A端时，UMK＝0，光电效应还在发生，电流表中一定有电流通过，C错误；滑动变阻器的触头向B端滑动时，UMK增大，阳极M吸收光电子的能力增强，光电流会增大，当所有光电子都到达阳极M时，电流达到最大，即饱和电流，若在滑动前，电流已经达到饱和电流，那么再增大UMK，光电流也不会增大，D正确．
【答案】AD
对光的波粒二象性的理解
光子的能量E＝hν，和动量p＝hνc是描述光的粒子性的重要物理量，波长λ和频率ν是描述光的波动性的典型物理量．普朗克常量h架起了粒子性与波动性之间的桥梁.
项目内容备注
光的粒子性①光与物质发生相互作用时，这种作用是一份一份进行的，表现出粒子的性质
②少量或个别的光子表现出光的粒子性
③频率高的光表现出光的粒子性，频率越高，粒子性越明显①粒子性的含义是“不连续”、“一份一份的”
②光的粒子性中的粒子不同于宏观观念上的粒子
光的波动性①光子传播时，表现出波的性质
②大量光子表现出波动性
③频率低的光表现出光的波动性，波长越长，波动性越明显①光的波动性是波本身的属性，不是光子之间相互作用产生的
②光的波动性中的波不同于宏观观念上的波
波和粒子的对立、统一①宏观世界：波和粒子是相互对立的
②微观世界：波和粒子是统一的光子说并没有否定波动说，E＝hcλ中c和λ都是波的概念
(多选)关于光的波粒二象性的说法中，正确的是()
A．一束传播的光，有的光是波，有的光是粒子
B．光子与电子是同样的一种粒子，光波与机械波是同样的一种波
C．光的波动性不是由于光子间的相互作用而形成的
D．光是一种波，同时也是一种粒子，光子说并未否定电磁说，在光子能量ε＝hν中，频率ν仍表示的是波的特性
【解析】光是一种波，同时也是一种粒子，光具有波粒二象性，A错误；当光和物质作用时，是“一份一份”的，表现出粒子性，光的干涉、衍射又说明光是一种波，光既不同于宏观的粒子，也不同于宏观的波，B错误，C正确；光具有波粒二象性，光的波动性与粒子性不是独立的，由公式ε＝hν可以看出二者是有联系的．光的粒子性并没有否定光的波动性，D正确．
【答案】CD
1能否发生光电效应是由入射光的频率与金属的极限频率大小关系决定.
2饱和光电流的大小与入射光的强度有关，入射光的强度越大，饱和光电流越大.
3光具有波粒二象性，条件不同，光的波动性或粒子性的表现程度也不相同.
1.(多选)现用某一光电管进行光电效应实验，当用某一频率的光入射时，有光电流产生．下列说法正确的是()
A．保持入射光的频率不变，入射光的光强变大，饱和光电流变大
B．入射光的频率变高，饱和光电流变大
C．入射光的频率变高，光电子的最大初动能变大
D．保持入射光的光强不变，不断减小入射光的频率，始终有光电流产生
【解析】产生光电效应时，光的强度越大，单位时间内逸出的光电子数越多，饱和光电流越大，说法A正确．饱和光电流大小与入射光的频率无关，说法B错误．光电子的最大初动能随入射光频率的增加而增加，与入射光的强度无关，说法C正确．减小入射光的频率，如低于极限频率，则不能发生光电效应，没有光电流产生，说法D错误．
【答案】AC
2．(多选)现代物理学认为，光和实物粒子都具有波粒二象性．下列事实中突出体现波动性的是()【导学号：64772070】
A．一定频率的光照射到锌板上，光的强度越大，单位时间内锌板上发射的光电子就越多
B．质量为10－3kg、速度为10－2m/s的小球，其德布罗意波长约为10－23m，不过我们能清晰地观测到小球运动的轨迹
C．人们常利用热中子研究晶体的结构，因为热中子的德布罗意波长与晶体中原子间距大致相同
D．大量电子通过狭缝，在屏上出现明暗相间的条纹
【解析】光子照射到锌板上，发生光电效应，说明光有粒子性，A错误；由于实物的波长很小，波动性不明显，表现为粒子性，所以看到小球的轨迹，B错误；用热中子研究晶体结构，其实是通过中子的衍射来“观察”晶体的，是利用中子的波动性，C正确；大量电子通过狭缝，在屏上出现明暗相间的干涉条纹，说明电子具有波动性，D正确．
【答案】CD
3．用图52甲所示的装置研究光电效应现象，当用光子能量为5eV的光照射到光电管上时，测得电流计上的示数随电压变化的图像如图52乙所示．则光电子的最大初动能为________J，金属的逸出功为________J.
图52
【解析】由图乙可知该金属的遏止电压Uc＝2V，则光电子的最大初动能Ek＝eUc＝3.2×10－19J；由光电效应方程，可得：Ek＝hν－W，即W＝4.8×10－19J.
【答案】3.2×10－194.8×10－19
4．(1)已知光速为c，普朗克常数为h，则频率为ν的光子的动量为________．用该频率的光垂直照射平面镜，光被镜面全部垂直反射回去，则光子在反射前后动量改变量的大小为________．
(2)几种金属的逸出功W0见下表：
金属钨钙钠钾铷
W0(×10－19J)7.265.123.663.603.41
用一束可见光照射上述金属的表面，请通过计算说明哪些能发生光电效应．已知该可见光的波长范围为4.0×10－7～7.6×10－7m，普朗克常数h＝6.63×10－34Js.
【解析】(1)光速为c，频率为ν的光子的波长λ＝cν，光子的动量p＝hλ＝hνc.用该频率的光垂直照射平面镜，光被垂直反射，则光子在反射前后动量方向相反，取反射后的方向为正方向，则反射前后动量改变量Δp＝p2－p1＝2hνc.
(2)光子的能量E＝hcλ
取λ＝4.0×10－7m，则E≈5.0×10－19J
根据E＞W0判断，钠、钾、铷能发生光电效应．
【答案】(1)hνc2hνc
(2)钠、钾、铷能发生光电效应
5．光具有波粒二象性，光子的能量E＝hν，其中频率ν表征波的特征．在爱因斯坦提出光子说之后，又提出了光子动量p与光波波长λ的关系λ＝hp.若某激光管以P＝60W的功率发射波长λ＝663nm的光束，试根据上述理论计算：
(1)该管在1s内发射出多少个光子？
(2)若该管发射的光束被某黑体表面吸收，那么该黑体表面所受到的光束对它的作用力F为多大？
【解析】(1)由能量守恒定律得Pt＝nhcλ，可得n＝2×1020个．
(2)对光子由动量定理，可得F′t＝(p2－p1)n，可得F′＝－2×10－7N
由牛顿第三定律知黑体表面所受作用力F＝－F′＝2×10－7N.
【答案】(1)2×1020个(2)2×10－7N

高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家精心整理的“高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案”，但愿对您的学习工作带来帮助。

学案51椭圆

导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．
自主梳理
1．椭圆的概念
在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：
(1)若________，则集合P为椭圆；
(2)若________，则集合P为线段；
(3)若________，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2a2＋y2b2＝1
(ab0)y2a2＋x2b2＝1
(ab0)
图形

性
质范围－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝ca∈(0,1)

a，b，c
的关系c2＝a2－b2

自我检测
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
A．23B．6C．43D．12
2．(2011揭阳调研)“mn0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()
A.3π4，πB.π4，3π4
C.π2，πD.π2，3π4
4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
5．(2011开封模拟)椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于()
A．－1B．1C.5D．－5
探究点一椭圆的定义及应用
例1(教材改编)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
探究点二求椭圆的标准方程
例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；
(2)经过两点A(0,2)和B12，3.

变式迁移2(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．

探究点三椭圆的几何性质
例3(2011安阳模拟)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

变式迁移3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)(2011北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，32)，过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，满足PA→PB→＝PM→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答题模板】
解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.[4分]
(2)若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.[6分]
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)0.
整理得32(6k＋3)0，解得k－12.[7分]
又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，
且PA→PB→＝PM→2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝54，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54.[9分]
所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4](1＋k2)＝4＋4k23＋4k2＝54，
解得k＝±12.[11分]
所以k＝12.于是存在直线l满足条件，
其方程为y＝12x.[12分]
【突破思维障碍】
直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大
于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．
1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．
3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011温州模拟)若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()
A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)
2．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()
A．4B．5C．7D．8
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()
A.32B.22C.2－1D.2
4．(2011天门期末)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
5．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()
A．2B．4C．8D.32
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
7．(2011唐山调研)椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
8.
如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知方向向量为v＝(1，3)的直线l过点(0，－23)和椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若已知点D(3,0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且DM→＝λDN→，求实数λ的取值范围．
10．(12分)(2011烟台模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．

11．(14分)(2010福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

学案51椭圆
自主梳理
1．椭圆焦点焦距(1)ac(2)a＝c(3)ac
自我检测
1．C2.C3.D4.A5.B
课堂活动区
例1解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.
则由圆相切的性质知，
|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，
∴|CO1|＋|CO2|＝10，
而|O1O2|＝6，
∴点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.
∴动圆圆心的轨迹方程为
x225＋y216＝1.
变式迁移1解将圆的方程化为标准形式为：
(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
动圆与已知圆的切点为C.
则|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6.
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6|AB|＝4.
∴点M的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.
例2解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a，b的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．
解(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝32b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝32b，
∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.
综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.
(2)设经过两点A(0,2)，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.
变式迁移2解(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.
∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②
①②两式联立，解得m＝19，n＝13.
∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.
例3解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．
(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式
|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn.
∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤m＋n22＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.
∴e的取值范围是12，1.
(2)证明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
变式迁移3解(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b2a，
∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM∥AB，
∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2
＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
课后练习区
1．A2.D3.C4.B5.B
6.x236＋y29＝17.2120°8.53
9．解(1)∵直线l的方向向量为v＝(1，3)，
∴直线l的斜率为k＝3.
又∵直线l过点(0，－23)，
∴直线l的方程为y＋23＝3x.
∵ab，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆方程为x26＋y22＝1.(6分)
(2)若直线MN⊥y轴，则M、N是椭圆的左、右顶点，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若MN与y轴不垂直，设直线MN的方程为x＝my＋3(m≠0)．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得(m2＋3)y2＋6my＋3＝0.
设M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＋y2＝－6mm2＋3，①
y1y2＝3m2＋3，②
Δ＝36m2－12(m2＋3)＝24m2－360，∴m232.
∵DM→＝(x1－3，y1)，DN→＝(x2－3，y2)，DM→＝λDN→，显然λ0，且λ≠1，
∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.
∵m232，得2λ＋1λ10，即λ2－2λ＋10，λ2－10λ＋10，
解得5－26λ5＋26且λ≠1.
综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.(12分)
10．解方法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
代入椭圆方程并作差得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，
代入上式可得b＝2a.(4分)
由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得2ba＋b2－4b－1a＋b＝4，(8分)
将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.(12分)
方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.(2分)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则|AB|＝k2＋1x1－x22＝24b2－4a＋bb－1a＋b2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①(6分)
设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵OC的斜率为22，∴ab＝22.(9分)
代入①，得a＝13，b＝23.
∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.(12分)
11．解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(5分)
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.
由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.(7分)
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－43≤t≤43.(9分)
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，
得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.(12分)
由于±213[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在．(14分)
方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.(3分)
所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(5分)
(2)同方法一．

文章来源：http://m.jab88.com/j/52120.html

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