俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？小编经过搜集和处理，为您提供2018版高考数学理科一轮设计：第1~3章教师用书（人教A版），仅供参考，希望能为您提供参考！

第1讲集合
最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则AB或BA.
(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?B或B?A.
(3)相等：若AB，且BA，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为UA
图形表示

集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且xA}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
(2)子集的传递性：AB，BCAC.
(3)ABA∩B＝AA∪B＝B.
(4)U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)任何集合都有两个子集.()
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()
解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.
(3)错误.当x＝1，不满足互异性.
(4)错误.当A＝时，B，C可为任意集合.
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()
A.{a}AB.aAC.{a}∈AD.aA
解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知aA.
答案D
3.(2016全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x－30}，则A∩B＝________.
A.－3，－32B.－3，32
C.1，32D.32，3
解析易知A＝(1，3)，B＝32，＋∞，所以A∩B＝32，3.
答案D
4.(2017石家庄模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则U(A∪B)等于()
A.{1，4}B.{1，5}
C.{2，5}D.{2，4}
解析由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴U(A∪B)＝{2，4}.
答案D
5.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.
解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
答案2
考点一集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()
A.92B.98C.0D.0或98
解析(1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；
当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.
根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.
(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝23，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，
所以a的取值为0或98.
答案(1)C(2)D
规律方法(1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.
(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________.
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝，则实数a的取值范围为________.
解析(1)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，
所以a＋b＝0，且b＝1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(2)由A＝知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝23不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a0，∴a－98.
答案(1)2(2)－∞，－98
考点二集合间的基本关系
【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()
A.A?BB.B?AC.ABD.B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若BA，则实数m的取值范围是________.
解析(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.
因此B?A.
(2)当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠时，若BA，如图.
则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，
解得2m≤4.
综上，m的取值范围为(－∞，4].
答案(1)B(2)(－∞，4]
规律方法(1)若BA，应分B＝和B≠两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
【训练2】(1)(2017长郡中学质检)若集合A＝{x|x0}，且BA，则集合B可能是()
A.{1，2}B.{x|x≤1}
C.{－1，0，1}D.R
(2)(2016郑州调研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若AB，则m的值为()
A.2B.－1
C.－1或2D.2或2
解析(1)因为A＝{x|x＞0}，且BA，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.
(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}.
因为B＝{1，m}且AB，
所以m＝2.
答案(1)A(2)A
考点三集合的基本运算
【例3】(1)(2015全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()
A.5B.4
C.3D.2
(2)(2016浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(RQ)＝()
A.[2，3]B.(－2，3]
C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.
∴RQ＝{x|－2x2}，
又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(RQ)＝{x|－2x≤3}.
答案(1)D(2)B
规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
【训练3】(1)(2017石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x6}，则下列结论正确的是()
A.NMB.N∩M＝
C.MND.M∩N＝R
(2)(2016山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则U(A∪B)＝()
A.{2，6}B.{3，6}
C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}
解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴MN.
(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，
又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此U(A∪B)＝{2，6}.
答案(1)C(2)A
[思想方法]
1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.(2015全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()
A.A＝BB.A∩B＝
C.A?BD.B?A
解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1B，∴B?A.
答案D
2.(2016全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}，则A∪B＝()
A.{1}B.{1，2}
C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}
解析由(x＋1)(x－2)0，得－1x2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.
答案C
3.(2017肇庆模拟)已知集合A＝{x|lgx0}，B＝{x|x≤1}，则()
A.A∩B≠B.A∪B＝RC.BAD.AB
解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.
答案B
4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是()
A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)
C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析因为P∪M＝P，所以MP，即a∈P，
得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].
答案C
5.(2016山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－10}，则A∪B＝()
A.(－1，1)B.(0，1)
C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)
解析由y＝2x，x∈R，知y0，则A＝(0，＋∞).
又B＝{x|x2－10}＝(－1，1).
因此A∪B＝(－1，＋∞).
答案C
6.(2016浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(UP)∪Q＝()
A.{1}B.{3，5}
C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}
解析∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(UP)∪Q＝{1，2，4，6}.
答案C
7.若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()
A.1B.3
C.7D.31
解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，2，－1，12，2.
答案B
8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝()
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0x1}
解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.
∴U(A∪B)＝{x|0x1}.
答案D
二、填空题
9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a0}，且1A，则实数a的取值范围是________.
解析∵1{x|x2－2x＋a0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案(－∞，1]
10.(2016天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.
解析由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.
答案{1，3}
11.集合A＝{x|x0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且xB}，则A－B＝________.
解析由x(x＋1)0，得x－1或x0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1，0).
答案[－1，0)
12.(2017石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|xm＋1}，若AB，则实数m的取值范围是________.
解析由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，
又B＝{x|xm＋1}，且AB，
所以m＋12017，则m2016.
答案(2016，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2016全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x0}，则(RS)∩T＝()
A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)
C.(2，3)D.(0，＋∞)
解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴RS＝(2，3)，
因此(RS)∩T＝(2，3).
答案C
14.(2016黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是()
A.{x|x≥1}B.{x|1≤x2}
C.{x|0x≤1}D.{x|x≤1}
解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴UB＝[1，＋∞)，A∩(UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(UB)＝{x|1≤x2}.
答案B
15.(2017南昌十所省重点中学模拟)设集合A＝x∈N|14≤2x≤16，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.
解析由14≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.
又x2－3x0，知B＝{x|x3或x0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.
答案1
16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
解析A＝{x∈R||x＋2|3}＝{x∈R|－5x1}，
由A∩B＝(－1，n)可知m1，
则B＝{x|mx2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
所以m＋n＝0.
答案0
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件pq且qp
p是q的必要不充分条件p且qp
p是q的充要条件pq
p是q的既不充分也不必要条件pq且qp

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)“x2＋2x－30”是命题.()
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()
解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
2.(教材练习改编)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()
A.若α≠π4，则tanα≠1B.若α＝π4，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠π4D.若tanα≠1，则α＝π4
解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tanα≠1，綈p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”.
答案C
3.(2016天津卷)设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的()
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析xyx|y|(如x＝1，y＝－2).
但x|y|时，能有xy.
∴“xy”是“x|y|”的必要不充分条件.
答案C
4.命题“若a－3，则a－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a－6，则a－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
答案B
5.(2017大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以pq；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以qp.
∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.
答案A
考点一四种命题的关系及其真假判断
【例1】(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()
A.真、假、真B.假、假、真
C.真、真、假D.假、假、假
解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.
(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
答案(1)C(2)B
规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
解析由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，
∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.
答案D

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2018版高考数学（理科）一轮设计：第4章教师用书（人教A版）

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)

角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝

弧长公式弧长l＝|α|r
扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2

3.任意角的三角函数
三角函数正弦余弦正切
定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα
各象限符号Ⅰ＋＋＋
Ⅱ＋－－
Ⅲ－－＋
Ⅳ－＋－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)小于90°的角是锐角.()
(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()
(4)若α∈0，π2，则tanα＞α＞sinα.()
(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()
解析(1)锐角的取值范围是(0°，90°).
(2)第一象限角不一定是锐角.
(3)顺时针旋转得到的角是负角.
(5)终边相同的角不一定相等.
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×
2.角－870°的终边所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限.
答案C
3.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()
A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k360°＋94π(k∈Z)
C.k360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)
解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确.
答案C
4.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()
A.45B.35C.－35D.－45
解析∵角α的终边经过点(－4，3)，
∴x＝－4，y＝3，r＝5.
∴cosα＝xr＝－45，故选D.
答案D
5.(必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.
答案π3
考点一角的概念及其集合表示
【例1】(1)若角α是第二象限角，则α2是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.
解析(1)∵α是第二象限角，
∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，α2是第一象限角；
当k为奇数时，α2是第三象限角.
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.
答案(1)C(2)－53π，－23π，π3，43π
规律方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置.
【训练1】(1)设集合M＝x|x＝k2180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4180°＋45°，k∈Z，那么()
A.M＝NB.MN
C.NMD.M∩N＝
(2)集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()
解析(1)法一由于M＝x|x＝k2180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝x|x＝k4180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN，故选B.
法二由于M中，x＝k2180°＋45°＝k90°＋45°＝(2k＋1)45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝k4180°＋45°＝k45°＋45°＝(k＋1)45°，k＋1是整数，因此必有MN，故选B.
(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋5π4≤α≤2nπ＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样，故选C.
答案(1)B(2)C
考点二弧度制及其应用
【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解(1)α＝60°＝π3rad，∴l＝αR＝π3×10＝10π3(cm).
(2)由题意得2R＋Rα＝10，12αR2＝4，解得R＝1，α＝8(舍去)，R＝4，α＝12.
故扇形圆心角为12.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
规律方法应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【训练2】已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝90°＝π2，R＝10，l＝π2×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝12×5π×10－12×102＝25π－50(cm2).
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝C2＋α，
∴S扇＝12αR2＝12αC2＋α2
＝C2α214＋4α＋α2＝C2214＋α＋4α≤C216.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.
考点三三角函数的概念
【例3】(1)(2017洛阳一中月考)已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P12，y0，则cos2α等于()
A.－12B.12C.－32D.1
(2)(2016兰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()
A.－12B.12C.－32D.32
解析(1)根据题意可知，cosα＝12，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×14－1＝－12.
(2)∵r＝64m2＋9，
∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，
∴m0，∴4m264m2＋9＝125，因此m＝12.
答案(1)A(2)B
规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
(2)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.
【训练3】(1)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
(2)满足cosα≤－12的角α的集合为________.
解析(1)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，
∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，
综上知θ2为第二象限角.
(2)作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，
连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
答案(1)B(2)α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
[思想方法]
1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.
2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
[易错防范]
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，
②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案C
2.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边所在象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析由题意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角.
答案B
3.(2017福州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝35，则m等于()
A.－3B.3C.163D.±3
解析sinθ＝m16＋m2＝35，解得m＝3.
答案B
4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()
A.(－12，32)B.(－32，－12)
C.(－12，－32)D.(－32，12)
解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.
答案A
5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.则实数a的取值范围是()
A.(－2，3]B.(－2，3)
C.[－2，3)D.[－2，3]
解析∵cosα≤0，sinα0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.
答案A
6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为()
A.π3B.π2C.3D.2
解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，∴α＝3.
答案C
7.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.
答案A
8.(2016合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()
A.－45B.－35
C.35D.45
解析由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝15，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.
答案B
二、填空题
9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.
解析在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，
所以，所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z).
答案2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)
10.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.
解析由已知P(cosα，sinα)，则Q(－cosα，－sinα).
答案(－cosα，－sinα)
11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.
解析设扇形半径为r，弧长为l，则lr＝π6，12lr＝π3，
解得l＝π3，r＝2.
答案π3
12.(2017九江模拟)若390°角的终边上有一点P(a，3)，则a的值是________.
解析tan390°＝3a，又tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.∴3a＝33，∴a＝33.
答案33
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动π2弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝()
A.－1B.1C.－2D.2
解析圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON为终边的角为αα＝2kπ＋π4，k∈Z，故tanα＝1.
答案B
14.(2016郑州一模)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα等于()
A.43B.34C.－34D.－43
解析因为α是第二象限角，所以cosα＝15x0，即x0.
又cosα＝15x＝xx2＋16，
解得x＝－3，所以tanα＝4x＝－43.
答案D
15.函数y＝2sinx－1的定义域为________.
解析∵2sinx－1≥0，∴sinx≥12.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z).
答案2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________.
解析如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,Q为垂足.根据题意得劣弧DP︵＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－π2，
|CQ|＝cos2－π2＝sin2，|PQ|＝sin2－π2＝－cos2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为(2－sin2，1－cos2)，故OP→＝(2－sin2，1－cos2).
答案(2－sin2，1－cos2)
第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式
最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sinαcosα＝tan__αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式一二三四五六
角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－α
π2＋α

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα
余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα
正切tanαtanα－tanα－tanα

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()
解析(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立.
(4)当k为奇数时，sinα＝13，
当k为偶数时，sinα＝－13.
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2.(2017泰安模拟)sin600°的值为()
A.－12B.－32C.12D.32
解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.
答案B
3.已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()
A.－25B.－15C.15D.25
解析∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.故选C.
答案C
4.已知sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则tan(2π－α)的值为()
A.－255B.255C.±255D.52
解析sin(π－α)＝sinα＝log814＝－23，
又α∈－π2，0，得cosα＝1－sin2α＝53，
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝255.
答案B
5.(必修4P22B3改编)已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________.
解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.
答案3

2018版高考数学（理科）一轮设计：第5~6章教师用书（人教A版）

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，有效的提高课堂的教学效率。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？下面是小编精心为您整理的“2018版高考数学（理科）一轮设计：第5~6章教师用书（人教A版）”，但愿对您的学习工作带来帮助。

第1讲平面向量的概念及线性运算
最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识梳理
1.向量的有关概念
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量
零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0
单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线
共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)零向量与任意向量平行.()
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()
(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()
(5)在△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→).()
解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误.
答案A
3.(2017枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD→＝－13AB→＋43AC→，若BC→＝λDC→(λ∈R)，则λ＝()
A.2B.3C.－2D.－3
解析由AD→＝－13AB→＋43AC→，可得3AD→＝－AB→＋4AC→，即4AD→－4AC→＝AD→－AB→，则4CD→＝BD→，即BD→＝－4DC→，可得BD→＋DC→＝－3DC→，故BC→＝－3DC→，则λ＝－3，故选D.
答案D
4.(2015全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，
又向量λa＋b与a＋2b平行，
则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.
答案12
5.(必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝______，BC→＝________(用a，b表示).
解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.
答案b－a－a－b
考点一平面向量的概念
【例1】下列命题中，不正确的是________(填序号).
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB→|＝|DC→|，
AB→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
答案①
规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.
【训练1】下列命题中，正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.
答案③
考点二平面向量的线性运算
【例2】(1)(2017潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13BC.若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→＝()
A.13a＋13bB.－13a＋13b
C.13a－13bD.－13a－13b
(2)(2015北京卷)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.
解析(1)PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13BC→＝23AB→＋
13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，故选A.
(2)由题中条件得，MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→＝xAB→＋yAC→，所以x＝12，y＝－16.
答案(1)A(2)12－16
规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
【训练2】(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么EF→等于()
A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→
C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→
(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于()
A.1B.12C.13D.23
解析(1)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.
因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，
所以CF→＝23CB→.
所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→
＝12AB→－23AD→，故选D.
(2)∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，
∴2AO→＝AB→＋13BC→，即AO→＝12AB→＋16BC→.
故λ＋μ＝12＋16＝23.
答案(1)D(2)D
考点三共线向量定理及其应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，
又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.
【训练3】(1)(2017资阳模拟)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()
A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()
A.{0}B.C.{－1}D.{0，－1}
解析(1)∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，
∴BD→、AB→共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线.故选B.
(2)因为BC→＝OC→－OB→，所以x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→－(x－1)OB→，因为A，B，C三点共线，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1.
答案(1)B(2)D
[思想方法]
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线x＋y＝1.
[易错防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→.其中结果为零向量的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.
答案B
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()
A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同
C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|a
解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.
答案B
3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()
A.0B.BE→
C.AD→D.CF→
解析由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.
答案D
4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.
答案D
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()
A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→
解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故选D.
答案D
6.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，
∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.
答案A
7.(2017温州八校检测)设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()
A.－2B.－1C.1D.2
解析∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，
∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线.
设AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案B
8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()
A.a－12bB.12a－b
C.a＋12bD.12a＋b
解析连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，
所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.
答案D
二、填空题
9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA→相等的向量有________个.
解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA→相等的向量有CB→，DO→，EF→，共3个.
答案3
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________.
解析因为ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2.
答案2
11.向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线.其中所有正确结论的序号为________.
解析由AC→＝AB→－CB→＝4e1＋2e2＝2CD→，且AB→与CB→不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.
答案④
12.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.
解析由已知条件得MB→＋MC→＝－MA→，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.
延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，
∴AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3.
答案3
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2017延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()
A.－94B.－49
C.－38D.不存在
解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→.
又AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，
所以BD→＝CD→－CB→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以3＝λ（3－k），2＝－λ（2k＋1），解得k＝－94.
答案A
14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()
A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上
解析因为2OP→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
答案B
15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析作∠BAC的平分线AD.∵OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，
∴AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|＝λ′AD→|AD→|(λ′∈[0，＋∞))，
∴AP→＝λ′|AD→|AD→，∴AP→∥AD→.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案B
16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________.
解析OB→＋OC→－2OA→＝(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
答案直角三角形
第2讲平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

学案15导数的综合应用
导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．
自主梳理
1．函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件
如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；
②将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．
自我检测
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()
A．0≤a1B．0a1
C．－1a1D．0a12
2．(2011汕头月考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()
A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)
4．(2011新乡模拟)函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为______________．
5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
探究点一求含参数的函数的最值
例1已知函数f(x)＝x2e－ax(a0)，求函数在[1,2]上的最大值．

变式迁移1设a0，函数f(x)＝alnxx.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．

探究点二用导数证明不等式
例2(2011张家口模拟)已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.

变式迁移2(2010安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.

探究点三实际生活中的优化问题
例3(2011孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．

变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．
(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？

转化与化归思想的应用
例(12分)(2010全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
【答题模板】
(1)解∵f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x0，
∴xf′(x)＝xlnx＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，
得a≥lnx－x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1，[2分]
当0x1时，g′(x)0；
当x1时，g′(x)0，[4分]
∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，
∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分]
(2)证明由(1)知g(x)＝lnx－x≤g(1)＝－1，∴lnx－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[8分]
当0x1时，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋lnx－x＋1≤0，
∴(x－1)f(x)≥0.
当x≥1时，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1
＝lnx＋xlnx－x＋1
＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，
∴(x－1)f(x)≥0.[11分]
综上，(x－1)f(x)≥0.[12分]
【突破思维障碍】
本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．
1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；
(4)回到实际问题，作出解答．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011皖南模拟)已知曲线C：y＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为()
A．－1B．1C．－2D．2
2．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()
4．函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是()
A．t5B．t5
C．t≥5D．t≤5
5．(2011沧州模拟)若函数f(x)＝sinxx，且0x1x21，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是()
A．abB．ab
C．a＝bD．a、b的大小不能确定
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)
7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.
8．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[1e－1，e－1]时，f(x)m恒成立，求m的取值范围．

10．(12分)(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

11．(14分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线．
(1)求a、b的值；
(2)对任意x0，试比较f(x)与g(x)的大小．

答案自主梳理
1．(1)连续(2)①极值②端点值
自我检测
1．B2.D3.C
4.12，12eπ25.6
课堂活动区
例1解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．
解∵f(x)＝x2e－ax(a0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)0，即e－ax(－ax2＋2x)0，
得0x2a.
∴f(x)在(－∞，0)，2a，＋∞上是减函数，
在0，2a上是增函数．
①当02a1，即a2时，f(x)在[1,2]上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝e－a.
②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f(x)在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，
∴f(x)max＝f2a＝4a－2e－2.
③当2a2，即0a1时，f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，
当0a1时，f(x)的最大值为4e－2a；
当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2；
当a2时，f(x)的最大值为e－a.
变式迁移1解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a1－lnxx2(a0)，
由f′(x)＝a1－lnxx20，得0xe；
由f′(x)0，得xe.
故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝12lna2，
∴当0a≤2时，[f(x)]min＝lna；
当a2时，[f(x)]min＝ln2a2.
例2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．
(1)解f′(x)＝x－ax＝x2－ax(x0)，
若a≤0时，f′(x)0恒成立，
∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
若a0时，令f′(x)0，得xa，
∴函数f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．
(2)证明设F(x)＝23x3－(12x2＋lnx)，
故F′(x)＝2x2－x－1x.
∴F′(x)＝x－12x2＋x＋1x.
∵x1，∴F′(x)0.
∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数．
又F(x)在(1，＋∞)上连续，F(1)＝160，
∴F(x)16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)0.
∴当x1时，12x2＋lnx23x3.
变式迁移2(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，
单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为
f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当aln2－1时，
g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)0，
所以g(x)在R内单调递增，于是当aln2－1时，
对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0，
即ex－x2＋2ax－10，
故exx2－2ax＋1.
例3解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.
在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．
∴①当8≤6＋23a9，即3≤a92时，
Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5时，
Lmax＝L(6＋23a)＝(6＋23a－3－a)[12－(6＋23a)]2
＝4(3－13a)3.
所以Q(a)＝96－a，3≤a92，43－13a3，92≤a≤5.
综上，若3≤a92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；
若92≤a≤5，则当每件售价为(6＋23a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3(万元)．
变式迁移3解(1)因为赔付价格为S元/吨，
所以乙方的实际年利润为ω＝2000t－St.
由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，
令ω′＝0，得t＝t0＝(1000S)2.
当tt0时，ω′0；当tt0时，ω′0.
所以当t＝t0时，ω取得最大值．
因此乙方获得最大利润的年产量为(1000S)2吨．
(2)设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.
将t＝(1000S)2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：
v＝10002S－2×10003S4.
又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，
令v′＝0，得S＝20.
当S20时，v′0；
当S20时，v′0，
所以S＝20时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．
课后练习区
1．A2.D3.C4.C5.A
6.63d
解析如图所示，为圆木的横截面，
由b2＋h2＝d2，
∴bh2＝b(d2－b2)．
设f(b)＝b(d2－b2)，
∴f′(b)＝－3b2＋d2.
令f′(b)＝0，由b0，
∴b＝33d，且在(0，33d)上f′(b)0，在[33d，d]上f′(b)0.
∴函数f(b)在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.
7．300
解析设长为xm，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，则V＝x(20－x)3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，
令V′＝0得x＝10.
当0x10时，V′0；当x10时，V′0，
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
8．(－1,0]
解析f′(x)＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.
由已知得(m,2m＋1)[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m2m＋1，
解得－1m≤0.
9．解(1)∵f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)，
∴f′(x)＝(1＋x)－11＋x＝x2＋x1＋x(x－1)．
……………………………………………………………………………………………(4分)
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．…………………………………………………………………(6分)
(2)令f′(x)＝0，即x＝0，则
x(1e－1,0)
0(0，e－1)
f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?

……………………………………………………………………………………………(9分)
又∵f(1e－1)＝12e2＋1，f(e－1)＝12e2－112e2＋1，
又f(x)m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，
∴m12e2－1.………………………………………………………………………………(12分)
10．解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，
每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，(2分)
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，…………………………………………(4分)
而建造费用为C1(x)＝6x.…………………………………………………………………(5分)
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x
＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．………………………………………………………………(6分)
(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，
即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．…………………………………………(8分)
当0x5时，f′(x)0，
当5x10时，f′(x)0，………………………………………………………………(10分)
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝lnx的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，
依题意，得g(1)＝a＋b＝0.①……………………………………………………………(2分)
又f′(x)＝1x，g′(x)＝a－bx2，
且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②……………………………………………………(4分)
由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………(6分)
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
F(x)＝lnx－(12x－12x)＝lnx－12x＋12x，
∴F′(x)＝1x－12－12x2＝－12(1x－1)2≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．………………………………………………………(10分)
当0x1时，F(x)F(1)＝0，即f(x)g(x)；
当x＝1时，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
当x1时，F(x)F(1)＝0，即f(x)g(x)．
综上，0x1时，f(x)g(x)；
x＝1时，f(x)＝g(x)；
x1时f(x)g(x)．…………………………………………………………………………(14分)

高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案（含答案）

第三章导数及其应用
学案13导数的概念及运算
导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．
自主梳理
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．
导函数y＝f′(x)的值域即为__________________．
3．函数f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________．
4．基本初等函数的导数公式表

原函数导函数
f(x)＝Cf′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*)
F(x)＝sinxf′(x)＝__________
F(x)＝cosxf′(x)＝____________
f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝____________(a0，a≠1)
f(x)＝exf′(x)＝________
f(x)＝logax(a0，a≠1，且x0)f′(x)＝__________(a0，a≠1，且x0)
f(x)＝lnxf′(x)＝__________

5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；
(2)[f(x)g(x)]′＝______________；
(3)fxgx′＝______________[g(x)≠0]．
6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′uu′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．
自我检测
1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔyΔx为()
A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－2
C．Δx＋2D．2＋Δx－1Δx
2．设y＝x2ex，则y′等于()
A．x2ex＋2xB．2xex
C．(2x＋x2)exD．(x＋x2)ex
3．(2010全国Ⅱ)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()
A．64B．32C．16D．8
4．(2011临汾模拟)若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是()
A．－ln22B．－ln2
C.ln22D．ln2
5．(2009湖北)已知函数f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，则f(π4)＝________.
探究点一利用导数的定义求函数的导数
例1利用导数的定义求函数的导数：
(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；
(2)f(x)＝1x＋2.

变式迁移1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．

探究点二导数的运算
例2求下列函数的导数：
(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；
(3)y＝xex；(4)y＝tanx.

变式迁移2求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.

探究点三求复合函数的导数
例3(2011莆田模拟)求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝11＋x2；
(3)y＝lnx2＋1；(4)y＝xe1－cosx.

变式迁移3求下列函数的导数：
(1)y＝11－3x4；
(2)y＝sin22x＋π3；
(3)y＝x1＋x2.

探究点四导数的几何意义
例4已知曲线y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

变式迁移4求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．

1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．
(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．
2．曲线的切线的求法：
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则f1－2Δx－f1Δx的值为()
A．10B．－10C．－20D．20
2．(2011温州调研)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()
A.14，12B．(1,2)
C.12，1D．(2,3)
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()
A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0
4．(2010辽宁)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()
A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π
5．(2011珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)||x2－x1|恒成立”的只有()
A．f(x)＝1xB．f(x)＝|x|
C．f(x)＝2xD．f(x)＝x2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是__________．
7．若点P是曲线f(x)＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
8．设点P是曲线y＝x33－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)求下列函数在x＝x0处的导数．
(1)f(x)＝ex1－x＋ex1＋x，x0＝2；
(2)f(x)＝x－x3＋x2lnxx2，x0＝1.

10．(12分)(2011保定模拟)有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度．

11．(14分)(2011平顶山模拟)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

自主梳理
1.
2.（1）(2)切线的斜率切线斜率的取值范围
3.y′或f′(x)
4．0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x
5．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)f′xgx－fxg′x[gx]2
自我检测
1．C2.C3.A4.D
5．1
解析∵f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，
∴f′(π4)＝2－1.
∴f(π4)＝1.
课堂活动区
例1解题导引(1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx，从而分子分母相约分．
(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：
；
；
(4)用导数的定义求导的步骤为：
①求函数的增量Δy；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．
解(1)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx
＝
＝
＝
＝，
∴
＝－12.
(2)ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx
＝
＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx
＝－1x＋2x＋2＋Δx，
∴
＝－1x＋22.
变式迁移1解∵Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1
＝x0＋Δx2＋1－x20－1x0＋Δx2＋1＋x20＋1
＝2x0Δx＋Δx2x0＋Δx2＋1＋x20＋1，
∴ΔyΔx＝2x0＋Δxx0＋Δx2＋1＋x20＋1.
∴
∴y=
＝2x2x2＋1＝xx2＋1.
例2解题导引求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．
解(1)∵y＝(1－x)1＋1x
＝1x－x＝，
∴y′＝
＝.
(2)y′＝lnxx′＝lnx′x－x′lnxx2
＝.
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
(4)y′＝sinxcosx′＝sinx′cosx－sinxcosx′cos2x
＝cosxcosx－sinx－sinxcos2x＝1cos2x.
变式迁移2解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3ex＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.
(3)y′＝lnx′x2＋1－lnxx2＋1′x2＋12
＝1xx2＋1－lnx2xx2＋12＝x2＋1－2x2lnxxx2＋12.
例3解题导引(1)求复合函数导数的思路流程为：
分解复合关系→分解复合关系→分层求导
(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
解(1)y′＝[(1＋sinx)2]′
＝2(1＋sinx)(1＋sinx)′
＝2(1＋sinx)cosx
＝2cosx＋sin2x.
(2)y′＝′
(3)y′＝(lnx2＋1)′
＝1x2＋1(x2＋1)′
＝1x2＋112(x2＋1)－12(x2＋1)′
＝xx2＋1.
变式迁移3解(1)设u＝1－3x，y＝u－4.
则yx′＝yu′ux′＝－4u－5(－3)
＝121－3x5.
(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，
则yx′＝yu′uv′vx′＝2ucosv2
＝4sin2x＋π3cos2x＋π3
＝2sin4x＋2π3.
(3)y′＝(x1＋x2)′
＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′
＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.
例4解题导引(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．
(3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．
解(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.
∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，
即y＝x20x－23x30＋43.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，
即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，
∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，则
切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，
故切点为1，53，(－1,1)．
故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
变式迁移4解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.
(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.
(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①
又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②
由①②得x0＝32，k＝－14.
∴所求曲线的切线方程为y＝－14x.
综上，曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为
y＝2x或y＝－14x.
课后练习区
1．C2.C3.A4.D5.A
6．1秒或2秒末
7.2
8．12x＋3y＋8＝0
9．解(1)∵f′(x)＝2ex1－x′＝2ex′1－x－2ex1－x′1－x2
＝22－xex1－x2，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分)
(2)∵f′(x)＝(x－32)′－x′＋(lnx)′
＝－32x－52－1＋1x，∴f′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)
10．解设经时间t秒梯子上端下滑s米，
则s＝5－25－9t2，
当下端移开1.4m时，……………………………………………………………………(3分)
t0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分)
又s′＝－12(25－9t2)－12(－92t)
＝9t125－9t2，…………………………………………………………………………(10分)
所以s′(t0)＝9×715125－9×7152
＝0.875(m/s)．
故所求的梯子上端下滑的速度为0.875m/s.……………………………………………(12分)
11．解(1)因为f′(x)＝x－ax(x0)，……………………………………………………(2分)
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，……………………………………………………………（5分）
解得a＝2，b＝－2ln2.……………………………………………………………………(7分)
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
则f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)
即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．
所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/52200.html

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