一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师能够井然有序的进行教学。写好一份优质的教案要怎么做呢？以下是小编为大家收集的“2012届高考数学第一轮导学案复习：函数的奇偶性和单调性”仅供您在工作和学习中参考。

高三数学理科复习4――函数的奇偶性和单调性
【高考要求】函数的基本性质(B)
【教学目标】理解函数的单调性及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性；
理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.
【教学重难点】函数基本性质及其应用
【知识复习与自学质疑】
1.给出下列四个函数：①②③
④其中是奇函数；是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数。
2.若为奇函数，则实数
3.函数的单调递减区间为
4.函数的单调递增区间为
5.若是奇函数，且在区间（－∞，0）上单调增函数，又，则的解集是
6.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围
7.已知函数在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
8.若函数
【交流展示与互动探究】
例1．判断下列函数的奇偶性：
(2))(3)

例2.已知函数则当为何值时，是奇函数？

例3.试判断函数.

【矫正反馈】
1.函数是函数（填奇或偶）
2.设函数为奇函数，
3.设函数恒成立，则实数的取值范围是
4.已知是周期函数为2的奇函数，当时，设，则的大小关系为
5.设函数为奇函数，则＝
【迁移应用】
6．设函数是定义在上的偶函数，在上的是减函数，且，则使得的的取值范围是
7.设是定义在上的奇函数，且的图象关于对称，则＝
8.设为奇函数，为偶函数，若，比较的大小。

9．已知
（1）设，求的解析式。
（2）设，问：是否存在实数，使在（－∞，－1）上是减函数，并且在是增函数。

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高三数学函数的单调性与奇偶性2

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师提高自己的教学质量。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编精心为您整理的“高三数学函数的单调性与奇偶性2”，希望能对您有所帮助，请收藏。

函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.?●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)

高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》教学设计

高一数学教案：《函数单调性与奇偶性》教学设计

教学目标

1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.

(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.

(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.

(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.

2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.

3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.

教学建议

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

三、教法建议

（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.

（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.

函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以 的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值 开始,逐渐让x在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式 时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 )说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.

函数的奇偶性教学设计方案

教学目标

1.使学生了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

难点是对概念的认识

教学用具

投影仪,计算机

教学方法

引导发现法

教学过程

一. 引入新课

前面我们已经研究了函数的单调性

它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

(学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如 和 等.)

结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于 轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于 轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于 轴对称的吗?

学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个 只能对一个 ,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于 轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于 轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二. 讲解新课

它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

2012届高考数学第一轮导学案复习：对数函数

高三数学理科复习8-------对数函数
【高考要求】对数函数（B）
【教学目标】理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式,知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数.
了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；理解对数函数的性质,会画对数函数的图象.
了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0,a≠1）（不要求一般地讨论反函数的定义,不要求求已知函数的反函数）.
【教学重难点】对数函数的性质及其应用
【知识复习与自学质疑】
1、已知且则
2、已知那么的定义域为，当时，为（填增、减函数）；当，且时，
3、已知则
4、设函数，若，则
【交流展示与互动探究】
例1、（1）求值（2）已知求

例2、（1）求函数为常数）的定义域。
（2）已知函数当时，的取值范围是，求实数的值

例3、设是实数，求函数的最小值，并求相应的的值

【矫正反馈】
1、计算：；=
2、当时，不等式恒成立，则
3、若则的大小关系是
4、若函数的值域是则的定义域是
5、设函数有最大值，则不等式的解集为
【迁移应用】
6、若函数的定义域是R，则实数的取值范围；若函数的值域是R，则实数的取值范围；
7、设的定义域为值域为。
（1）求证（2）求实数的取值范围；

高考数学（理科）一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案

学案6函数的奇偶性与周期性
导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝____；
f(x)为偶函数f(x)＝f(－x)＝f(|x|)f(x)－f(－x)＝____.
(2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于________
对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．
(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋T2)＝f(x－T2)．
②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．
③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．
自我检测
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()
A．1B．2C．3D．4
2．(2011茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()
A．增函数且最小值是－5
B．增函数且最大值是－5
C．减函数且最大值是－5
D．减函数且最小值是－5
3．函数y＝x－1x的图象()
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
4．(2009江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2012)＋f(2011)的值为()
A．－2B．－1C．1D．2
5．(2011开封模拟)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.
探究点一函数奇偶性的判定
例1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝x(12x－1＋12)；
(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.

变式迁移1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2－x3；
(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；
(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.

探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用
例2函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．

变式迁移2(2011承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为________．
探究点三函数性质的综合应用
例3(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
变式迁移3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答题模板】
解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝12f(1)＝0.[4分]
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分]
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]
∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]
∵f(x)为偶函数，
∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.
∴0|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]
解上式，得3x≤5或－73≤x－13或－13x3.
∴x的取值范围为{x|－73≤x－13或－13x3或3x≤5}．[12分]
【突破思维障碍】
在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|0，从而得出0|g(x)|≤a，解之得x的范围．
【易错点剖析】
在(3)中，由f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0f－xfx＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．
4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()
A．－13B.13
C.12D．－12
2．(2010银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则fxx0的解集为()
A．(－3,0)∪(0,3)
B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(3，＋∞)
3．(2011鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于()
A．4.5B．－4.5
C．0.5D．－0.5
4．(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()
A．3B．1C．－1D．－3
5．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是()
A．f(－1)f(2)B．f(－1)f(2)
C．f(－1)＝f(2)D．无法确定
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010辽宁部分重点中学5月联考)若函数f(x)＝x－1，x0，a，x＝0，x＋b，x0是奇函数，则a＋b＝________.
7．(2011咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)1，f(2)＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．
8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．

10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．

11．(14分)(2011舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

答案自主梳理
1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)
2．(1)00(2)y原点(3)相反
3．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a
自我检测
1．B[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]
2．A[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]
3．A[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．C[f(－2012)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]
5．－1
解析∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，
∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.
课堂活动区
例1解题导引判断函数奇偶性的方法．
(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．
(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．
(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．
解(1)定义域要求≥0且x≠－1，
∴－1x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝－x
＝－x＝
＝＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(3)函数定义域为R.
∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)
＝log21x＋x2＋1＝－log2(x＋x2＋1)
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x0时，－x0，则
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x0时，－x0，则
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
变式迁移1解(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∴定义域关于原点对称，
又f(x)＝4－x2x，f(－x)＝－4－x2x
∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．
例2解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．
在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．
解∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
且由f(1)＝0得f(－1)＝0.
若f[x(x－12)]0＝f(1)，
则xx－120xx－121即0x(x－12)1，
解得12x1＋174或1－174x0.
若f[x(x－12)]0＝f(－1)，则xx－120xx－12－1
由x(x－12)－1，解得x∈.
∴原不等式的解集是
{x|12x1＋174或1－174x0}．
变式迁移2(－2，23)
解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)0，等价于f(mx－2)－f(x)＝f(－x)，此时应用mx－2－x，即mx＋x－20对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，
此时，只需h－20h20即可，解得x∈(－2，23)．
例3解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．
－8
解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
变式迁移3B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．
∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．
又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]
＝f(－x)＝f(x)，
∴2是函数f(x)的一个周期．
根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：
由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]
课后练习区
1．B[依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，
∴a＋b＝13.]
2．D
[由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为右图，故fxx0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．]
3．D[由f(x＋2)＝－1fx，
得f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，
∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]
4．D[因为奇函数f(x)在x＝0有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.
∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，
从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．A[由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(3)f(2)，即f(－1)f(2)．]
6．1
解析∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.
7．－1m23
解析∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．
∵f(x)为奇函数，且f(1)1，
∴f(－1)＝－f(1)－1，∴2m－3m＋1－1.
解得：－1m23.
8．2
解析由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，
又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴f(－x－1)＝－f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(－x－1)，
用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)．
又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2)．
∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.
∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.
9．解由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5)2＋3，
∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3(3≤x≤6)．…………………………………………………………(3分)
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．
∴f(x)＝－13x(0≤x≤3)．…………………………………………………………………(6分)
当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，
∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.
∴f(x)＝－13x(－3≤x≤3)．………………………………………………………………(9分)
当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，
∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x＋5)2－3.
∴f(x)＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3x3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.
10．解(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(2分)
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝x－12－2，x≥0，x＋12－2，x0.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
……………………………………(6分)
(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分)
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；
故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分)
11．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)
当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)，
若x＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；
∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)
综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)
(2)设2≤x1x2，
f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2
＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，………………………………………………………………(10分)
要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)0恒成立．
∵x1－x20，x1x24，即ax1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)
又∵x1＋x24，∴x1x2(x1＋x2)16，
∴a的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/52197.html

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