一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

学案15导数的综合应用
导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．
自主梳理
1．函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件
如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；
②将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．
自我检测
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()
A．0≤a1B．0a1
C．－1a1D．0a12
2．(2011汕头月考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()
A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)
4．(2011新乡模拟)函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为______________．
5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
探究点一求含参数的函数的最值
例1已知函数f(x)＝x2e－ax(a0)，求函数在[1,2]上的最大值．

变式迁移1设a0，函数f(x)＝alnxx.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．

探究点二用导数证明不等式
例2(2011张家口模拟)已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.

变式迁移2(2010安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.

探究点三实际生活中的优化问题
例3(2011孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．

变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．
(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？

转化与化归思想的应用
例(12分)(2010全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
【答题模板】
(1)解∵f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x0，
∴xf′(x)＝xlnx＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，
得a≥lnx－x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1，[2分]
当0x1时，g′(x)0；
当x1时，g′(x)0，[4分]
∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，
∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分]
(2)证明由(1)知g(x)＝lnx－x≤g(1)＝－1，∴lnx－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[8分]
当0x1时，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋lnx－x＋1≤0，
∴(x－1)f(x)≥0.
当x≥1时，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1
＝lnx＋xlnx－x＋1
＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，
∴(x－1)f(x)≥0.[11分]
综上，(x－1)f(x)≥0.[12分]
【突破思维障碍】
本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．
1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；
(4)回到实际问题，作出解答．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011皖南模拟)已知曲线C：y＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为()
A．－1B．1C．－2D．2
2．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()
4．函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是()
A．t5B．t5
C．t≥5D．t≤5
5．(2011沧州模拟)若函数f(x)＝sinxx，且0x1x21，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是()
A．abB．ab
C．a＝bD．a、b的大小不能确定
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)
7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.
8．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[1e－1，e－1]时，f(x)m恒成立，求m的取值范围．

10．(12分)(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

11．(14分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线．
(1)求a、b的值；
(2)对任意x0，试比较f(x)与g(x)的大小．

答案自主梳理
1．(1)连续(2)①极值②端点值
自我检测
1．B2.D3.C
4.12，12eπ25.6
课堂活动区
例1解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．
解∵f(x)＝x2e－ax(a0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)0，即e－ax(－ax2＋2x)0，
得0x2a.
∴f(x)在(－∞，0)，2a，＋∞上是减函数，
在0，2a上是增函数．
①当02a1，即a2时，f(x)在[1,2]上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝e－a.
②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f(x)在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，
∴f(x)max＝f2a＝4a－2e－2.
③当2a2，即0a1时，f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，
当0a1时，f(x)的最大值为4e－2a；
当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2；
当a2时，f(x)的最大值为e－a.
变式迁移1解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a1－lnxx2(a0)，
由f′(x)＝a1－lnxx20，得0xe；
由f′(x)0，得xe.
故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝12lna2，
∴当0a≤2时，[f(x)]min＝lna；
当a2时，[f(x)]min＝ln2a2.
例2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．
(1)解f′(x)＝x－ax＝x2－ax(x0)，
若a≤0时，f′(x)0恒成立，
∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
若a0时，令f′(x)0，得xa，
∴函数f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．
(2)证明设F(x)＝23x3－(12x2＋lnx)，
故F′(x)＝2x2－x－1x.
∴F′(x)＝x－12x2＋x＋1x.
∵x1，∴F′(x)0.
∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数．
又F(x)在(1，＋∞)上连续，F(1)＝160，
∴F(x)16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)0.
∴当x1时，12x2＋lnx23x3.
变式迁移2(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，
单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为
f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当aln2－1时，
g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)0，
所以g(x)在R内单调递增，于是当aln2－1时，
对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0，
即ex－x2＋2ax－10，
故exx2－2ax＋1.
例3解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.
在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．
∴①当8≤6＋23a9，即3≤a92时，
Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5时，
Lmax＝L(6＋23a)＝(6＋23a－3－a)[12－(6＋23a)]2
＝4(3－13a)3.
所以Q(a)＝96－a，3≤a92，43－13a3，92≤a≤5.
综上，若3≤a92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；
若92≤a≤5，则当每件售价为(6＋23a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3(万元)．
变式迁移3解(1)因为赔付价格为S元/吨，
所以乙方的实际年利润为ω＝2000t－St.
由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，
令ω′＝0，得t＝t0＝(1000S)2.
当tt0时，ω′0；当tt0时，ω′0.
所以当t＝t0时，ω取得最大值．
因此乙方获得最大利润的年产量为(1000S)2吨．
(2)设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.
将t＝(1000S)2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：
v＝10002S－2×10003S4.
又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，
令v′＝0，得S＝20.
当S20时，v′0；
当S20时，v′0，
所以S＝20时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．
课后练习区
1．A2.D3.C4.C5.A
6.63d
解析如图所示，为圆木的横截面，
由b2＋h2＝d2，
∴bh2＝b(d2－b2)．
设f(b)＝b(d2－b2)，
∴f′(b)＝－3b2＋d2.
令f′(b)＝0，由b0，
∴b＝33d，且在(0，33d)上f′(b)0，在[33d，d]上f′(b)0.
∴函数f(b)在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.
7．300
解析设长为xm，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，则V＝x(20－x)3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，
令V′＝0得x＝10.
当0x10时，V′0；当x10时，V′0，
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
8．(－1,0]
解析f′(x)＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.
由已知得(m,2m＋1)[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m2m＋1，
解得－1m≤0.
9．解(1)∵f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)，
∴f′(x)＝(1＋x)－11＋x＝x2＋x1＋x(x－1)．
……………………………………………………………………………………………(4分)
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．…………………………………………………………………(6分)
(2)令f′(x)＝0，即x＝0，则
x(1e－1,0)
0(0，e－1)
f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?

……………………………………………………………………………………………(9分)
又∵f(1e－1)＝12e2＋1，f(e－1)＝12e2－112e2＋1，
又f(x)m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，
∴m12e2－1.………………………………………………………………………………(12分)
10．解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，
每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，(2分)
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，…………………………………………(4分)
而建造费用为C1(x)＝6x.…………………………………………………………………(5分)
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x
＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．………………………………………………………………(6分)
(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，
即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．…………………………………………(8分)
当0x5时，f′(x)0，
当5x10时，f′(x)0，………………………………………………………………(10分)
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝lnx的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，
依题意，得g(1)＝a＋b＝0.①……………………………………………………………(2分)
又f′(x)＝1x，g′(x)＝a－bx2，
且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②……………………………………………………(4分)
由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………(6分)
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则
F(x)＝lnx－(12x－12x)＝lnx－12x＋12x，
∴F′(x)＝1x－12－12x2＝－12(1x－1)2≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．………………………………………………………(10分)
当0x1时，F(x)F(1)＝0，即f(x)g(x)；
当x＝1时，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
当x1时，F(x)F(1)＝0，即f(x)g(x)．
综上，0x1时，f(x)g(x)；
x＝1时，f(x)＝g(x)；
x1时f(x)g(x)．…………………………………………………………………………(14分)

精选阅读

高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案（带答案）

学案16定积分及其简单的应用
导学目标：1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．
自主梳理
1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．
2．定积分的性质
(1)bakf(x)dx＝__________________(k为常数)；
(2)ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；
(3)baf(x)dx＝_______________________________________.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
4．定积分在几何中的应用
(1)当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(2)当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(3)当x∈[a，b]且f(x)g(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.
(4)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2a0f(x)dx；若f(x)是奇函数，则a－af(x)dx＝0.
5．定积分在物理中的应用
(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________.
自我检测
1．计算定积分503xdx的值为()
A.752B．75
C.252D．25
2．定积分10[1－x－12－x]dx等于()
A.π－24B.π2－1
C.π－14D.π－12
3．如右图所示，阴影部分的面积是()
A．23B．2－3
C.323D.353
4．(2010湖南)421xdx等于()
A．－2ln2B．2ln2
C．－ln2D．ln2
5．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.
探究点一求定积分的值
例1计算下列定积分：
(1)；
(2)；
(3)π0(2sinx－3ex＋2)dx；
(4)20|x2－1|dx.

变式迁移1计算下列定积分：
(1)2π0|sinx|dx；(2)π0sin2xdx.

探究点二求曲线围成的面积
例2计算由抛物线y＝12x2和y＝3－(x－1)2所围成的平面图形的面积S.

变式迁移2计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．

探究点三定积分在物理中的应用
例3一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．

变式迁移3A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点时速度达24m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离；
(3)电车从A站到B站所需的时间．

函数思想的应用
例(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
【答题模板】
解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝tt2－t0x2dx＝23t3.[2分]
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝1tx2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.[4分]
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．[6分]
令S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.[8分]
t＝0时，S＝13；t＝12时，S＝14；t＝1时，S＝23.[10分]
所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．
1．定积分baf(x)dx的几何意义就是表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如204－x2dx＝π(半径为2的14个圆的面积)，2－24－x2dx＝2π.
2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．
3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列值等于1的积分是()
A．10xdxB．10(x＋1)dx
C．1012dxD．101dx
2．(2011汕头模拟)设函数f(x)＝x2＋1，0≤x≤1，3－x，1x≤2，则20f(x)dx等于()
A.13B.176
C．6D．17
3．已知f(x)为偶函数且60f(x)dx＝8，则6－6f(x)dx等于()
A．0B．4C．8D．16
4．(2011深圳模拟)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()
A．π20(sinx－cosx)dx
B．2π40(sinx－cosx)dx
C．π20(cosx－sinx)dx
D．2π40(cosx－sinx)dx
5．(2011临渭区高三调研)函数f(x)＝x0t(t－4)dt在[－1,5]上()
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－323
C．有最小值－323，无最大值
D．既无最大值也无最小值
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若1N的力使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为__________J.
7．10(2xk＋1)dx＝2，则k＝________.
8．(2010山东实验中学高三三诊)若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则30f(x)dx＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)计算以下定积分：
(1)212x2－1xdx；(2)32x＋1x2dx；
(3)π30(sinx－sin2x)dx；(4)21|3－2x|dx.

10．(12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

11．(14分)求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．

答案自主梳理
1．x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)面积
2．(1)kbaf(x)dx(2)baf1(x)dx±baf2(x)dx(3)caf(x)dx＋bcf(x)dx(其中acb)
3.微积分基本定理F(x)|ba4.(1)baf(x)dx(2)－baf(x)dx(3)ba[f(x)－g(x)]dx
5.(1)s＝bav(t)dt(2)baF(x)dx
自我检测
1．A2.A3.C4.D
5．±3
解析由y＝x2＋k2，y＝2kx.
得(x－k)2＝0，
即x＝k，
所以直线与曲线相切，如图所示，
当k0时，S＝k0(x2＋k2－2kx)dx
＝k0(x－k)2dx＝13(x－k)3|k0＝0－13(－k)3＝k33，
由题意知k33＝9，∴k＝3.
由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.
课堂活动区
例1解题导引(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数．
①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则a－af(x)dx＝2a0f(x)dx.
解(1)e1x＋1x＋1x2dx
＝e1xdx＋e11xdx＋e11x2dx
＝12x2|e1＋lnx|e1－1x|e1
＝12(e2－1)＋(lne－ln1)－1e－11
＝12e2－1e＋32.
(2)π20(sinx－2cosx)dx
＝π20sinxdx－2π20cosxdx
＝(－cosx)|π20－2sinx|π20
＝－cosπ2－(－cos0)－2sinπ2－sin0
＝－1.
(3)π0(2sinx－3ex＋2)dx
＝2π0sinxdx－3π0exdx＋π02dx
＝2(－cosx)|π0－3ex|π0＋2x|π0
＝2[(－cosπ)－(－cos0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)
＝7－3eπ＋2π.
(4)∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝x2－1，1x≤2，1－x2，0≤x≤1，
∴20|x2－1|dx＝10(1－x2)dx＋21(x2－1)dx
＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.
变式迁移1解(1)∵(－cosx)′＝sinx，
∴2π0|sinx|dx＝π0|sinx|dx＋2ππ|sinx|dx
＝π0sinxdx－2ππsinxdx
＝－cosx|π0＋cosx|2ππ
＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ)＝4.
(2)π0sin2xdx＝π012－12cos2xdx
＝π012dx－12π0cos2xdx
＝12x|π0－1212sin2x|π0
＝π2－0－1212sin2π－12sin0
＝π2.
例2解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．
解作出函数y＝12x2和y＝3－(x－1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组y＝12x2，y＝3－x－12，得x＝－23，y＝29或x＝2，y＝2.
所以两曲线交点为A－23，29，B(2,2)．
所以S＝2－23[3－(x－1)2]dx－2－2312x2dx
＝2－23(－x2＋2x＋2)dx－2－2312x2dx
＝－13x3＋x2＋2x2－23－16x32－23
＝－83＋4＋4－881＋49－43－16×8＋827
＝42027.
变式迁移2解
如图，
设f(x)＝x＋3，
g(x)＝x2－2x＋3，
两函数图象的交点为A，B，
由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3.
得x＝0，y＝3或x＝3，y＝6.
∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积
S＝30[f(x)－g(x)]dx
＝30[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]
＝30(－x2＋3x)dx
＝－13x3＋32x2|30＝92.
故曲线与直线所围图形的面积为92.
例3解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程．
解方法一由速度—时间曲线易知．
v(t)＝3t，t∈[0，10，30，t∈[10，40，－1.5t＋90，t∈[40，60]，
由变速直线运动的路程公式可得
s＝1003tdt＋401030dt＋6040(－1.5t＋90)dt
＝32t2|100＋30t|4010＋－34t2＋90t|6040＝1350(m)．
答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.
方法二由定积分的物理意义知，汽车1min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，
∴s＝12(AB＋OC)×30＝12×(30＋60)×30＝1350(m)．
答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.
变式迁移3解(1)设v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20.
∴A、C间距离|AC|＝2001.2tdt
＝(0.6t2)|200＝0.6×202＝240(m)．
(2)由D到B时段的速度公式为
v(t)＝(24－1.2t)m/s，可知|BD|＝|AC|＝240(m)．
(3)∵|AC|＝|BD|＝240(m)，
∴|CD|＝7200－240×2＝6720(m)．
∴C、D段用时672024＝280(s)．
又A、C段与B、D段用时均为20s，
∴共用时280＋20＋20＝320(s)．
课后练习区
1．D2.B3.D4.D5.B
6．0.36
解析设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F＝kx，
则1＝k×0.02，∴k＝50，
∴F＝50x，伸长12cm时克服弹力做的功
W＝0.12050xdx＝502x2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)．
7．1
解析∵10(2xk＋1)dx＝2k＋1xk＋1＋x10
＝2k＋1＋1＝2，∴k＝1.
8．－18
解析∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，
即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，
∴30f(x)dx＝13×33－4×32＋3×3＝－18.
9．解(1)函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，
所以212x2－1xdx＝23x3－lnx21
＝163－ln2－23＝143－ln2.………………………………………………………………(3分)
(2)32x＋1x2dx＝32x＋1x＋2dx
＝12x2＋lnx＋2x32
＝92＋ln3＋6－(2＋ln2＋4)
＝ln32＋92.…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函数y＝sinx－sin2x的一个原函数为
y＝－cosx＋12cos2x，所以π30(sinx－sin2x)dx
＝－cosx＋12cos2xπ30
＝－12－14－－1＋12＝－14.……………………………………………………………(9分)
＝(3x－x2)|321＋(x2－3x)|232＝12.…………………………………………………………(12分)
10．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分)
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)
(2)依题意，所求面积S＝10(x2－2x＋1)dx
＝13x3－x2＋x|10＝13.……………………………………………………………………(12分)
11．解画出直线x＝－ln2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．
由y＝e－1，y＝ex－1，解得B(1，e－1)．
由x＝－ln2，y＝ex－1，解得A－ln2，－12.…………………………………………………(4分)
此时，C(－ln2，e－1)，D(－ln2,0)．
所以S＝S曲边梯形BCDO＋S曲边三角形OAD
＝1－ln2(e－1)dx－10(ex－1)dx＋?0－ln2ex－1dx………………………………………(7分)
＝(e－1)x|1－ln2－(ex－x)|10＋|(ex－x)|0－ln2|………………………………………………(10分)
＝(e－1)(1＋ln2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln2＋ln2)|
＝(e－1)(1＋ln2)－(e－2)＋ln2－12
＝eln2＋12.……………………………………………………………………………(14分)

高考数学（理科）一轮复习数列的综合应用学案（有答案）

学案32数列的综合应用
导学目标：1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．
自主梳理
1．数列的综合应用
数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．
(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．
(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．
(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．
(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求an时，要对______________进行分类讨论．
2．数列的实际应用
数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．
(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求an还是求Sn.
(2)分期付款中的有关规定
①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；
②在分期付款中规定每期所付款额相同；
③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；
④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．
自我检测
1．(原创题)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为()
A．12B．18
C．22D．44
2．(2011汕头模拟)在等比数列{an}中，anan＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16等于()
A.23B.32
C．－16D．－56
3．若{an}是首项为1，公比为3的等比数列，把{an}的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，设{bn}的前n项和为Sn，对于任意的n∈N*，下列结论正确的是()
A．bn＋1＝3bn，且Sn＝12(3n－1)
B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝12(3n－1)
C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝12(3n－1)－2n
D．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝12(3n－1)－2n
4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()
A．10秒钟B．13秒钟
C．15秒钟D．20秒钟
5．(2011台州月考)已知数列{an}的通项为an＝nn2＋58，则数列{an}的最大项为()
A．第7项B．第8项
C．第7项或第8项D．不存在
6．(2011南京模拟)设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且SnTn＝n2n＋1，则logb5a5＝________.
探究点一等差、等比数列的综合问题
例1设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

变式迁移1假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0a12，a3＝4.若bn＝2an(n＝1,2,3,4)．给出以下命题：
①数列{bn}是等比数列；②b24；③b432；④b2b4＝256.其中正确命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4
探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题
例2(2011温州月考)已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；
(3)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Snm－20012对一切n∈N*成立，求最小正整数m.

变式迁移2已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋10恒成立，试求m的取值范围．

探究点三数列在实际问题中的应用
例3(2011福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？

变式迁移3假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然
后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．
2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010湖北)已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8的值为()
A．1＋2B．1－2
C．3＋22D．3－22
2．(2011漳州模拟)数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()
A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定
3．有限数列A：a1，a2，…，an，Sn为其前n项和，定义S1＋S2＋…＋Snn为A的“凯森和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1，a2，…，a99的“凯森和”为()
A．1001B．991C．999D．990
4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()
A．6秒B．7秒C．8秒D．9秒
5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于()
A．24B．32C．48D．64
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011丽水月考)若数列{an}的通项公式an＝5252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y＝________.
7．(2010江苏)函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为________．
1
24
357
681012
911131517
141618202224
……………………………………
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011湘潭模拟)已知点(1，13)是函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{1bnbn＋1}的前n项和为Tn，问满足Tn10002009的最小正整数n是多少？

10．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？

11．(14分)(2011广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝12.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝nf(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an2；
(3)设bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．

答案自主梳理
1．(4)n＝1或n≥2
自我检测
1．C2.B3.C4.C5.B
6.919
课堂活动区
例1解题导引1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．
解(1)由已知得
a1＋a2＋a3＝7(a1＋3)＋(a3＋4)2＝3a2，解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，
可得a1＝2q，a3＝2q.
又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.
由题意得q1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由(1)得a3n＋1＝23n，
∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2.
又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝n(b1＋bn)2＝3n(n＋1)2ln2.
故Tn＝3n(n＋1)2ln2.
变式迁移1D[设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a1＋2d＝4，又0a12，所以1d2.易知数列{bn}是等比数列，故(1)正确；a2＝a3－d∈(2,3)，所以b2＝2a24，故(2)正确；a4＝a3＋d5，所以b4＝2a432，故(3)正确；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正确．]
例2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.
解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，
∴{an}是以23为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝23n＋13.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43n53＋4n3＋132
＝－49(2n2＋3n)．
(3)当n≥2时，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13
＝9212n－1－12n＋1，
又b1＝3＝92×1－13，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝92×1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1
＝921－12n＋1＝9n2n＋1，
∵Snm－20012对一切n∈N*成立．
即9n2n＋1m－20012，
又∵9n2n＋1＝921－12n＋1递增，
且9n2n＋192.∴m－20012≥92，
即m≥2010.∴最小正整数m＝2010.
变式迁移2解(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20.∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，
解之，得q＝2，a1＝2或q＝12，a1＝32.
又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2.∴an＝2n.
(2)bn＝2nlog122n＝－n2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②
∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1
＝2(1－2n)1－2－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2.
由Sn＋(n＋m)an＋10，
即2n＋1－n2n＋1－2＋n2n＋1＋m2n＋10对任意正整数n恒成立，
∴m2n＋12－2n＋1对任意正整数n，m12n－1恒成立．
∵12n－1－1，∴m≤－1，
即m的取值范围是(－∞，－1]．
例3解依题意，第1个月月余款为
a1＝10000(1＋20%)－10000×20%×10%－300
＝11500，
第2个月月底余款为a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300，
依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，
第n＋1个月月底的余款为an＋1元，则an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300.
下面构造一等比数列．
设an＋1＋xan＋x＝1.18，则an＋1＋x＝1.18an＋1.18x，
∴an＋1＝1.18an＋0.18x.
∴0.18x＝－300.
∴x＝－50003，即an＋1－50003an－50003＝1.18.
∴数列{an－50003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a1－50003＝11500－50003＝295003.
∴an－50003＝295003×1.18n－1，
∴a12－50003＝295003×1.1811，
∴a12＝50003＋295003×1.1811≈62396.6(元)，
即到年底该职工共有资金62396.6元．
纯收入有a12－10000(1＋25%)
＝62396.6－12500＝49896.6(元)．
变式迁移3解(1)设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则an＝250＋(n－1)50＝50n＋200，
Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4750，
即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，
由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400(1.08)n－1.
由题意可知an0.85bn，
即50n＋200400(1.08)n－10.85.
当n＝5时，a50.85b5，
当n＝6时，a60.85b6，
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
课后练习区
1．C2.B3.B4.B5.D
6．37.218.107
9．解(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝13x.…………………………………………………(1分)
a1＝f(1)－c＝13－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227；
又数列{an}成等比数列，a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，
∴c＝1；……………………………………………………………………………………(2分)
公比q＝a2a1＝13，an＝－23×13n－1＝－2×13n，n∈N*；………………………………(3分)
∵Sn－Sn－1＝Sn－Sn－1Sn＋Sn－1
＝Sn＋Sn－1(n2)，……………………………………………………………………(4分)
又bn0，Sn0，∴Sn－Sn－1＝1.
数列{Sn}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.
当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；
又当n＝1时，也适合上式，
∴bn＝2n－1，n∈N*.……………………………………………………………………(6分)
(2)Tn＝1b1b2＋1b2b3＋1b3b4＋…＋1bnbn＋1
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n－1)×(2n＋1)
＝121－13＋1213－15＋1215－17＋…＋
1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.……………………………………………(10分)
由Tn＝n2n＋110002009，得n10009，
∴满足Tn10002009的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)
10．解设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An(万元)，技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn(万元)．依题意得
An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)]
＝43n－n2，………………………………………………………………………………(4分)
当n≥5时，Bn＝16325－132－1＋
16324(n－5)－400＝81n－594，…………………………………………………………(8分)
∴当n≥5时，Bn－An＝n2＋38n－594，
令n2＋38n－5940，即(n＋19)2955，解得n≥12，
∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)令x＝n，y＝1，
得到f(n＋1)＝f(n)f(1)＝12f(n)，……………………………………………………………(2分)
∴{f(n)}是首项为12，公比为12的等比数列，
即f(n)＝(12)n.………………………………………………………………………………(5分)
(2)记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
∵an＝nf(n)＝n(12)n，……………………………………………………………………(6分)
∴Sn＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n×(12)n，
12Sn＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n－1)×(12)n＋n×(12)n＋1，
两式相减得12Sn＝12＋(12)2＋…＋(12)n－n×(12)n＋1，
整理得Sn＝2－(12)n－1－n(12)n2.…………………………………………………………(9分)
(3)∵f(n)＝(12)n，而bn＝(9－n)f(n＋1)f(n)
＝(9－n)(12)n＋1(12)n＝9－n2.…………………………………………………………………(11分)
当n≤8时，bn0；
当n＝9时，bn＝0；
当n9时，bn0，
∴n＝8或9时，Sn取到最大值．……………………………………………………(14分)

高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案）

第五章解三角形与平面向量
学案23正弦定理和余弦定理
导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
自主梳理
1．三角形的有关性质
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；
(2)a＋b____c，a－bc；
(3)absinA____sinBA____B；
(4)三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12absinC＝12acsinB＝_________________；
(5)在三角形中有：sin2A＝sin2BA＝B或________________三角形为等腰或直角三角形；
sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2.
2．正弦定理和余弦定理
定理正弦定理余弦定理
内容________________
＝2Ra2＝____________，
b2＝____________，
c2＝____________.
变形
形式①a＝__________，
b＝__________，
c＝__________；
②sinA＝________，
sinB＝________，
sinC＝________；
③a∶b∶c＝__________；
④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA
cosA＝________________；
cosB＝________________；
cosC＝_______________.
解决
的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
自我检测
1．(2010上海)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2．(2010天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．(2011烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为()
A．27B.21
C.13D．3
4．(2010山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，
sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．
5．(2010北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.
探究点一正弦定理的应用
例1(1)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C和边c；
(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.

变式迁移1(1)在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________；
(2)在△ABC中，若a＝50，b＝256，A＝45°，则B＝________.
探究点二余弦定理的应用
例2(2011咸宁月考)已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tanA的值．

变式迁移2在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝2π3，b＝13，a＋c＝4，求a.

探究点三正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

变式迁移3(2010天津)在△ABC中，ACAB＝cosBcosC.
(1)证明：B＝C；
(2)若cosA＝－13，求sin4B＋π3的值．

1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．
2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()
A．－223B.223C．－63D.63
2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则AB→AC→等于()
A．－32B．－23C.23D.32
3．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
4．(2011聊城模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝43，AC＝42，则角B的大小为()
A．30°B．45°
C．135°D．45°或135°
5．(2010湖南)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝2a，则()
A．abB．ab
C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________________．
7．(2010广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinC＝________.
8．(2011龙岩模拟)在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，则∠BAC的大小为________．
三、解答题(共38分)
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，AB→AC→=3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．

10．(12分)(2010陕西)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

11．(14分)(2010重庆)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.
(1)求sinA的值；
(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．

答案自主梳理
1．(1)π(2)(3)(4)12bcsinA(5)A＋B＝π22.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC①2RsinA2RsinB2RsinC②a2Rb2Rc2R③sinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab
自我检测
1．C2.A3.C
4.π65.1
课堂活动区
例1解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；②当a＝bsinA时，有一解；③当bsinAab时，有两解；④当absinA时，无解．若A为直角或钝角，①当ab时，有一解；②当a≤b时，无解．
解(1)由正弦定理asinA＝bsinB得，sinA＝32.
∵ab，∴AB，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bsinCsinB＝6＋22；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bsinCsinB＝6－22.
综上，A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，
或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.
(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.
由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，
得b＝asinBsinA＝46，c＝asinCsinA＝43＋4.
∴b＝46，c＝43＋4.
变式迁移1(1)102(2)60°或120°
解析(1)∵在△ABC中，tanA＝13，C＝150°，
∴A为锐角，∴sinA＝110.
又∵BC＝1.
∴根据正弦定理得AB＝BCsinCsinA＝102.
(2)由ba，得BA，由asinA＝bsinB，
得sinB＝bsinAa＝25650×22＝32，
∵0°B180°
∴B＝60°或B＝120°.
例2解(1)∵a2＋c2－b2＝ac，
∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.
∵0Bπ，∴B＝π3.
(2)方法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.
由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝5714.
∵0Aπ，
∴sinA＝1－cos2A＝2114，
∴tanA＝sinAcosA＝35.
方法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，
得b＝7a.
由正弦定理，得sinB＝7sinA.
由(1)知，B＝π3，∴sinA＝2114.
又b＝7aa，∴BA，
∴cosA＝1－sin2A＝5714.
∴tanA＝sinAcosA＝35.
方法三∵c＝3a，由正弦定理，得sinC＝3sinA.
∵B＝π3，∴C＝π－(A＋B)＝2π3－A，
∴sin(2π3－A)＝3sinA，
∴sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3sinA，
∴32cosA＋12sinA＝3sinA，
∴5sinA＝3cosA，
∴tanA＝sinAcosA＝35.
变式迁移2解由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋c2－2accos23π
＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又∵a＋c＝4，b＝13，∴ac＝3，
联立a＋c＝4ac＝3，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.
∴a等于1或3.
例3解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．
解方法一∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，
由正弦定理，得
sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，
∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，
∴sin2A＝sin2B，由02A2π，02B2π，
得2A＝2B或2A＝π－2B，
即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，
由正、余弦定理，即得
a2b×b2＋c2－a22bc＝b2a×a2＋c2－b22ac，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，
∴a＝b或c2＝a2＋b2，
∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
变式迁移3解题导引在正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R中，2R是指什么？a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC的作用是什么？
(1)证明在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinBsinC＝cosBcosC.
于是sinBcosC－cosBsinC＝0，
即sin(B－C)＝0.
因为－πB－Cπ，从而B－C＝0.
所以B＝C.
(2)解由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，
故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝13.
又02Bπ，于是sin2B＝1－cos22B＝223.
从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝429，
cos4B＝cos22B－sin22B＝－79.
所以sin4B＋π3
＝sin4Bcosπ3＋cos4Bsinπ3
＝42－7318.
课后练习区
1．D2.D3.B4.B5.A
6．等边三角形
解析∵b2＝a2＋c2－2accosB，
∴ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，
∴a＝c，又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
7．1
解析由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°知，B＝60°.
由正弦定理知，1sinA＝3sin60°，
即sinA＝12.
由ab知，AB，∴A＝30°，
C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°，
∴sinC＝sin90°＝1.
8.π4
解析设∠BAD＝α，∠DAC＝β，
则tanα＝13，tanβ＝12，
∴tan∠BAC＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ
＝13＋121－13×12＝1.
∵∠BAC为锐角，∴∠BAC的大小为π4.
9．解(1)因为cosA2＝255，
所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.……………………………………………………(4分)
又由AB→AC→＝3得bccosA＝3，所以bc＝5，
因此S△ABC＝12bcsinA＝2.…………………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－165bc＝20，所以a＝25.………(12分)
10．解
在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得，
cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22ADDC
＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………(8分)
在△ABD中，AD＝10，B＝45°，
∠ADB＝60°，
由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，
∴AB＝ADsin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°
＝10×3222＝56.…………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)∵3b2＋3c2－3a2＝42bc，
∴b2＋c2－a2＝423bc.
由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝223，……………………………………………(4分)
又0Aπ，故sinA＝1－cos2A＝13.……………………………………………………(6分)
(2)原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－cos2A………………………………………………………(8分)
＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A
＝222sinA＋22cosA22sinA－22cosA2sin2A…………………………………………(11分)
＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.
所以2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A＝－72.……………………………………………………(14分)

高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）

学案22简单的三角恒等变换
导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝________________；
(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向变换及有关变形
(1)sinαcosα＝____________________cosα＝sin2α2sinα；
(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我检测
1．(2010陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是()
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinAsinB()
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值12，无最小值
探究点一三角函数式的化简
例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

变式迁移1(2011泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
(1)求f－11π12的值；
(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．

探究点二三角函数式的求值
例2已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．

变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．

探究点三三角恒等式的证明
例3(2011苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．

变式迁移3求证：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1
＝1＋cosxsinx.

转化与化归思想的应用
例(12分)(2010江西)已知函数f(x)＝
1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；
(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．
【答题模板】
解(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011平顶山月考)已知0απ，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)等于()
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011石家庄模拟)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为()
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是()
A.12B.22C.32D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；
(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.

10．(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．

11．(14分)(2010北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案自主梳理
1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2
自我检测
1．C2.C3.B4.D
课堂活动区
例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1解(1)f(x)
＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴当x＝π8时，g(x)max＝2，
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α
＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α
＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22(cos2α－sin2α)，
∵π2≤α32π，
∴3π4≤α＋π474π.
又cos(α＋π4)＝350，
故可知32πα＋π474π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
从而cos2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0α≤π3，0x≤3，
设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，24]．
变式迁移3证明因为左边＝
2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]
＝2sinxcosxsin2x－cosx－12
＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1
＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx
＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx
＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D[∵0απ，3sin2α＝sinα，
∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.]
2．C[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B[f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴fπ12＝4sinπ6＝8.]
5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析因为α为第二象限的角，又sinα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－2.
8.12
解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα
＝－2(sinα＋cosα)＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin40°2sin20°sin80°2sin40°12sin160°2sin80°
＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分)
＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/52011.html

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