俗话说,磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,帮助授课经验少的高中教师教学。那么如何写好我们的高中教案呢?下面的内容是小编为大家整理的正余弦定理的应用,欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!
课时5正弦定理,余弦定理的综合应用
一、课前演练:
1、ΔABC中,sin2A=sin2B则ΔABC的形状为
2、在中,各边分别为,且,
则外接圆的直径为
3、在中,,则=
4、在一幢20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为600,塔底的仰角为450,那么这座塔的高度是_________米.
5、在中,若则的面积为
6、三角形的两边分别是5和3,他们夹角的余弦是方程的
根,则三角形的面积
7、在中,满足条件,,,则,
的面积等于
8、在中,且,求和.
二、例题剖析:
例1:在中,分别是内角的对边,,求边。
例2:已知三角形的一个角为,面积为,周长为,求三角形的各边长。
例3:在中,角对边分别为,且,
(1).求的值.(2)若,且,求的面积.
例4:如图所示,在地面上有一旗杆,为测得它的高度,在地面上取一线段,,在处测得点的仰角,在处测得点的仰角,又测得。求旗杆的高度(精确到)。
例5:某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9海里/h的速度向某小岛B靠拢,我海军舰艇立即以21海里/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间()
例6:如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以PC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值
三、课后反馈:
1.在中,若,则
2.在中,已知,则.
3.在中,①;②;③;
④.其中恒为常数的是
4.若,则是
5.在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为
6.在中,的对应边分别为,且,则为
7、某人向正东方向走了km后向右转了,然后沿新方向走了km,结果离出发点恰好为km,那么的值为;
8、有一长为m的斜坡,它的倾斜角是,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改成,则坡底要延伸m;
9、甲船在B岛的正南A处,km,甲船以km/h的速度向正北航行,同时,乙船自B岛出发以km/h的速度向北偏东的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是h;
10、一艘船以km/h的速度沿着与水流方向成的方向航行,已知河水流速为km/h,则经过h,该船实际航程为;
11、海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成的视角,从B岛望C岛和A岛成的视角,那么B岛和C岛间的距离是海里;
12.已知中,,且,求.
13、如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船,奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜问:辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间?
14.某人坐在火车上看风景,他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成角的直线上,1分钟后,他看见宝塔在与火车前进方向成角的直线上,设火车的速度是100km/h,求宝塔离铁路线的垂直距离。
15、如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平内的两个测点C和D.现测得,CD=s,并在点C测得塔尖A的仰角为,求塔高AB.
正余弦定理的综合应用
正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理:,其中为外接圆的半径。
利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)
2.余弦定理:
(1)余弦定理:
;;.
在余弦定理中,令C=90°,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.
(2)余弦定理的推论:
;;.
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式:==
4.三角形的性质:
①.A+B+C=,,
,
②.在中,>c,<c;A>B>,
A>BcosA<cosB,a>bA>B
③.若为锐角,则>,B+C>,A+C>;
>,>,+>
5.(1)若给出那么解的个数为:(A为锐角),几何作图时,存在多种情况.如已知a、b及A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数.
已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况:
(1)A为锐角
一解两解一解
若,则无解;
(2)当A≥90
若ab,则一解
若a≤b,则无解
典例剖析
题型一三角形多解情况的判断
例1.根据下列条件,判断有没有解?若有解,判断解的个数.
(1),,,求;
(2),,,求;
(3),,,求;
(4),,,求;
(5),,,求.
解:(1)∵,∴只能是锐角,因此仅有一解.
(2)∵,∴只能是锐角,因此仅有一解.
(3)由于为锐角,而,即,因此仅有一解.
(4)由于为锐角,而,即,因此有两解,易解得.
(5)由于为锐角,又,即,
∴无解.
评析:对于已知两边和其中一边的对角,解三角形问题,容易出错,一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,且AD=4,求BC边长.
分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC为x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点,所以BD、DC可表示为x2,然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解:设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC=x2,
在△ADB中,cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=42+(x2)2-522×4×x2
在△ADC中,cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=42+(x2)2-322×4×x2
又∠ADB+∠ADC=180°
∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC.
∴42+(x2)2-522×4×x2=-42+(x2)2-322×4×x2
解得,x=2
所以,BC边长为2.
评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.
备选题正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中,已知,求△ABC的面积.
解法1:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,
.
故所求面积
解法3:同解法1可得c=8.又由余弦定理可得
故所求面积
评析:本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
点击双基
一.选择题:
1.在中,,则A为()
解:
答案:A
2.在()
解:由题意及正弦定理可得
答案:B
3.以4、5、6为边长的三角形一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形
解::长为6的边所对角最大,设它为
则
答案A
4.在中,化简___________
解:利用余弦定理,得原式
答案:a
5.在中,,则_______,________
解:
又
答案:
课外作业
一、选择
1.在中,,则A等于()
解:由余弦定理及已知可得
答案:C
2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是()
A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定
解:bsinC=20c,无解
答案:C
3.在中,,则三角形为()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解:由余弦定理可将原等式化为
答案C
4.在中,,则是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.正三角形
解:原不等式可变形为
答案:C
5在△ABC中,若,则其面积等于()
ABCD
解:
答案:D
6在△ABC中,角均为锐角,且
则△ABC的形状是()
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
解:都是锐角,则
答案:C
7.在△ABC中,cos=,则△ABC的形状是()
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解:原式可化为=,cosA+1=cosA=
由余弦定理,得,a△ABC为直角三角形
答案:B
8.在△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()
A.4B.4
C.6D.6
解:,==2=2,b+c==2(sinB+sin())==2()=6
a+b+c=6
答案:D
二.填空题:
9.在中,已知,则___________
解:由正弦定理得
设1份为k,则
再由余弦定理得
答案:
10.在中,A、B均为锐角,且,则是_________
解:由得
A、B均为锐角,
而在上是增函数
即
答案:钝角三角形
11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为
解:由题意得或2(舍去)
答案:2
三.解答题:
12..根据下列条件,判断是否有解?有解的做出解答.
①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80
③b=10,c=5,C=60④a=2,b=6,A=30
解:①a=7,b=8,ab,A=10590本题无解
②a=10,b=20,ab,A=8090
bsinA=20sin8020sin60=10absinA
本题无解
③b=10,c=5,bc,C=6090,本题有一解
sinB==
B=45,A=180-(B+C)=75
a====5()
④a=2,b=6,ab,A=3090
又bsinA=6sin30=3,absinA本题有两解
由正弦定理得sinB===
B=60或120
当B=60时,C=90,c===4
当B=120时,C=30,c===2
B=60,C=90,c=4或B=120,C=30,c=2
13:在中,,,,求的值和的面积.
解,又
14.已知的外接圆半径是,且满足条件。
(1)求角C。
(2)求面积的最大值。
解:(1)
即
由正弦定理知
即
由余弦定理得
(2)
当A=B时,S有最大值正、余弦定理的综合应用
2.1.5正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理:,其中为外接圆的半径。
利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)
2.余弦定理:
(1)余弦定理:
;;.
在余弦定理中,令C=90°,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.
(2)余弦定理的推论:
;;.
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式:==
4.三角形的性质:
①.A+B+C=,,
,
②.在中,>c,<c;A>B>,
A>BcosA<cosB,a>bA>B
③.若为锐角,则>,B+C>,A+C>;
>,>,+>
5.(1)若给出那么解的个数为:(A为锐角),几何作图时,存在多种情况.如已知a、b及A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数.
已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况:
(1)A为锐角
一解两解一解
若,则无解;
(2)当A≥90
若ab,则一解
若a≤b,则无解
典例剖析
题型一三角形多解情况的判断
例1.根据下列条件,判断有没有解?若有解,判断解的个数.
(1),,,求;
(2),,,求;
(3),,,求;
(4),,,求;
(5),,,求.
解:(1)∵,∴只能是锐角,因此仅有一解.
(2)∵,∴只能是锐角,因此仅有一解.
(3)由于为锐角,而,即,因此仅有一解.
(4)由于为锐角,而,即,因此有两解,易解得.
(5)由于为锐角,又,即,
∴无解.
评析:对于已知两边和其中一边的对角,解三角形问题,容易出错,一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,且AD=4,求BC边长.
分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC为x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点,所以BD、DC可表示为x2,然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解:设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC=x2,
在△ADB中,cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=42+(x2)2-522×4×x2
在△ADC中,cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=42+(x2)2-322×4×x2
又∠ADB+∠ADC=180°
∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC.
∴42+(x2)2-522×4×x2=-42+(x2)2-322×4×x2
解得,x=2
所以,BC边长为2.
评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.
备选题正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中,已知,求△ABC的面积.
解法1:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,
.
故所求面积
解法3:同解法1可得c=8.又由余弦定理可得
故所求面积
评析:本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
点击双基
一.选择题:
1.在中,,则A为()
解:
答案:A
2.在()
解:由题意及正弦定理可得
答案:B
3.以4、5、6为边长的三角形一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形
解::长为6的边所对角最大,设它为
则
答案A
4.在中,化简___________
解:利用余弦定理,得原式
答案:a
5.在中,,则_______,________
解:
又
答案:
课外作业
一、选择
1.在中,,则A等于()
解:由余弦定理及已知可得
答案:C
2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是()
A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定
解:bsinC=20c,无解
答案:C
3.在中,,则三角形为()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解:由余弦定理可将原等式化为
答案C
4.在中,,则是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.正三角形
解:原不等式可变形为
答案:C
5在△ABC中,若,则其面积等于()
ABCD
解:
答案:D
6在△ABC中,角均为锐角,且
则△ABC的形状是()
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
解:都是锐角,则
答案:C
7.在△ABC中,cos=,则△ABC的形状是()
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解:原式可化为=,cosA+1=cosA=
由余弦定理,得,a△ABC为直角三角形
答案:B
8.在△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()
A.4B.4
C.6D.6
解:,==2=2,b+c==2(sinB+sin())==2()=6
a+b+c=6
答案:D
二.填空题:
9.在中,已知,则___________
解:由正弦定理得
设1份为k,则
再由余弦定理得
答案:
10.在中,A、B均为锐角,且,则是_________
解:由得
A、B均为锐角,
而在上是增函数
即
答案:钝角三角形
11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为
解:由题意得或2(舍去)
答案:2
三.解答题:
12..根据下列条件,判断是否有解?有解的做出解答.
①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80
③b=10,c=5,C=60④a=2,b=6,A=30
解:①a=7,b=8,ab,A=10590本题无解
②a=10,b=20,ab,A=8090
bsinA=20sin8020sin60=10absinA
本题无解
③b=10,c=5,bc,C=6090,本题有一解
sinB==
B=45,A=180-(B+C)=75
a====5()
④a=2,b=6,ab,A=3090
又bsinA=6sin30=3,absinA本题有两解
由正弦定理得sinB===
B=60或120
当B=60时,C=90,c===4
当B=120时,C=30,c===2
B=60,C=90,c=4或B=120,C=30,c=2
13:在中,,,,求的值和的面积.
解,又
14.已知的外接圆半径是,且满足条件。
(1)求角C。
(2)求面积的最大值。
解:(1)
即
由正弦定理知
即
由余弦定理得
(2)
当A=B时,S有最大值正余弦定理应用举例导学案及练习题
一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“正余弦定理应用举例导学案及练习题”,仅供参考,欢迎大家阅读。
【学习目标】
1.复习巩固正弦定理、余弦定理.
2.能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题.
【学习重难点】
能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题.
【复习巩固】(课前完成)
1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asinA=______=csinC=2R(在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,R是△ABC的外接圆半径).
2.应用:利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题:
①已知两角与一边,解三角形;
②已知两边与其中一边的对角,解三角形.
做一做:在△ABC中,a=4,b=3,A=30°,则sinB等于()
A.1B.12C.38D.34
2.余弦定理:三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍.即:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=____________,c2=a2+b2-2abcosC.(2)推论:cosA=b2+c2-a22bc,cosB=______________,cosC=a2+b2-c22ab.
应用:利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题:
①已知三边,解三角形;
②已知两边及其夹角,解三角形.
做一做:在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则A=__________.
【典例分析】
题型一测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题
例题1:如图,在河岸边有一点A,河对岸有一点B,要测量A,B两点之间的距离,先在岸边取基线AC,测得AC=120m,∠BAC=45°,∠BCA=75°,求A,B两点间的距离.
题型二测量两个不可到达的点之间的距离问题
例题2:如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距3km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.
【课堂达标】
1已知A,B两地相距10km,B,C两地相距20km,且∠ABC=120°,则A,C两地相距()
A.10kmB.C.D.
2设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出A,C的距离是100m,∠BAC=60°,∠ACB=30°,则A,B两点的距离为__________m.
3(2011北京朝阳二模)如图,一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午8:30到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距nmile,则此船的航行速度是__________nmile/h. 文章来源:http://m.jab88.com/j/52009.html
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