正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理:,其中为外接圆的半径。
利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)
2.余弦定理:
(1)余弦定理:
;;.
在余弦定理中,令C=90°,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.
(2)余弦定理的推论:
;;.
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式:==
4.三角形的性质:
①.A+B+C=,,
,
②.在中,>c,<c;A>B>,
A>BcosA<cosB,a>bA>B
③.若为锐角,则>,B+C>,A+C>;
>,>,+>
5.(1)若给出那么解的个数为:(A为锐角),几何作图时,存在多种情况.如已知a、b及A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数.
已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况:
(1)A为锐角
一解两解一解
若,则无解;
(2)当A≥90
若ab,则一解
若a≤b,则无解
典例剖析
题型一三角形多解情况的判断
例1.根据下列条件,判断有没有解?若有解,判断解的个数.
(1),,,求;
(2),,,求;
(3),,,求;
(4),,,求;
(5),,,求.
解:(1)∵,∴只能是锐角,因此仅有一解.
(2)∵,∴只能是锐角,因此仅有一解.
(3)由于为锐角,而,即,因此仅有一解.
(4)由于为锐角,而,即,因此有两解,易解得.
(5)由于为锐角,又,即,
∴无解.
评析:对于已知两边和其中一边的对角,解三角形问题,容易出错,一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,且AD=4,求BC边长.
分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC为x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点,所以BD、DC可表示为x2,然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解:设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC=x2,
在△ADB中,cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=42+(x2)2-522×4×x2
在△ADC中,cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=42+(x2)2-322×4×x2
又∠ADB+∠ADC=180°
∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC.
∴42+(x2)2-522×4×x2=-42+(x2)2-322×4×x2
解得,x=2
所以,BC边长为2.
评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.
备选题正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中,已知,求△ABC的面积.
解法1:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,
.
故所求面积
解法3:同解法1可得c=8.又由余弦定理可得
故所求面积
评析:本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
点击双基
一.选择题:
1.在中,,则A为()
解:
答案:A
2.在()
解:由题意及正弦定理可得
答案:B
3.以4、5、6为边长的三角形一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形
解::长为6的边所对角最大,设它为
则
答案A
4.在中,化简___________
解:利用余弦定理,得原式
答案:a
5.在中,,则_______,________
解:
又
答案:
课外作业
一、选择
1.在中,,则A等于()
解:由余弦定理及已知可得
答案:C
2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是()
A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定
解:bsinC=20c,无解
答案:C
3.在中,,则三角形为()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解:由余弦定理可将原等式化为
答案C
4.在中,,则是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.正三角形
解:原不等式可变形为
答案:C
5在△ABC中,若,则其面积等于()
ABCD
解:
答案:D
6在△ABC中,角均为锐角,且
则△ABC的形状是()
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
解:都是锐角,则
答案:C
7.在△ABC中,cos=,则△ABC的形状是()
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解:原式可化为=,cosA+1=cosA=
由余弦定理,得,a△ABC为直角三角形
答案:B
8.在△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()
A.4B.4
C.6D.6
解:,==2=2,b+c==2(sinB+sin())==2()=6
a+b+c=6
答案:D
二.填空题:
9.在中,已知,则___________
解:由正弦定理得
设1份为k,则
再由余弦定理得
答案:
10.在中,A、B均为锐角,且,则是_________
解:由得
A、B均为锐角,
而在上是增函数
即
答案:钝角三角形
11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为
解:由题意得或2(舍去)
答案:2
三.解答题:
12..根据下列条件,判断是否有解?有解的做出解答.
①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80
③b=10,c=5,C=60④a=2,b=6,A=30
解:①a=7,b=8,ab,A=10590本题无解
②a=10,b=20,ab,A=8090
bsinA=20sin8020sin60=10absinA
本题无解
③b=10,c=5,bc,C=6090,本题有一解
sinB==
B=45,A=180-(B+C)=75
a====5()
④a=2,b=6,ab,A=3090
又bsinA=6sin30=3,absinA本题有两解
由正弦定理得sinB===
B=60或120
当B=60时,C=90,c===4
当B=120时,C=30,c===2
B=60,C=90,c=4或B=120,C=30,c=2
13:在中,,,,求的值和的面积.
解,又
14.已知的外接圆半径是,且满足条件。
(1)求角C。
(2)求面积的最大值。
解:(1)
即
由正弦定理知
即
由余弦定理得
(2)
当A=B时,S有最大值
俗话说,磨刀不误砍柴工。教师要准备好教案,这是教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道怎么写具体的教案内容吗?下面是由小编为大家整理的“正余弦定理的应用举例”,仅供参考,大家一起来看看吧。
正、余弦定理的应用举例(1)
知识梳理
一、解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
二.测量的主要内容是求角和距离,教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念,将实际问题转化为解三角形问题.
三.解决有关测量、航海等问题时,首先要搞清题中有关术语的准确含义,再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系,最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
典例剖析
题型一距离问题
例1.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
解:如图,连结,由已知,
,
,又,是等边三角形,
,由已知,,,
在中,由余弦定理,..
因此,乙船的速度的大小为(海里/小时).答:乙船每小时航行海里.
题型二高度问题
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大小和建筑物AE的高。
解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中,
AC=BC=30,AD=DC=10,ADC=180-4,
=。sin4=2sin2cos2
cos2=,得2=30=15,在RtADE中,AE=ADsin60=15
答:所求角为15,建筑物高度为15m
解法二:(设方程来求解)设DE=x,AE=h
在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)
两式相减,得x=5,h=15在RtACE中,tan2==
2=30,=15
答:所求角为15,建筑物高度为15m
解法三:(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=x,由题意,得
BAC=,CAD=2,AC=BC=30m,AD=CD=10m
在RtACE中,sin2=------①在RtADE中,sin4=,----②
②①得cos2=,2=30,=15,AE=ADsin60=15
答:所求角为15,建筑物高度为15m
评析:根据题意正确画出图形是解题的关键,同时要把题意中的数据在图形中体现出来。
备选题角度问题
例3.如图1-3-2,某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在处获悉后,测出该渔轮在方位角为,距离为的处,并测得渔轮正沿方位角为的方向,以的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到,时间精确到).
解:设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮,则,,又,.
由余弦定理,得
,
即
.
化简,得
,
解得(负值舍去).
由正弦定理,得
,
所以,方位角为.
答舰艇应沿着方向角的方向航行,经过就可靠近渔轮.
评析:本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际,找出等量关系,在画示意图时,要注意方向角的画法。
点击双基
一.选择题:
1.在△ABC中,下列各式正确的是()
A.ab=sinBsinAB.asinC=csinB
C.asin(A+B)=csinAD.c2=a2+b2-2abcos(A+B)
解:根据正弦定理得,又sinC=sin(A+B),asin(A+B)=csinA
答案:C
2.海上有A、B两个小岛相距10nmile,从A岛望B岛和C岛成60°的视角,从B岛望A岛和C岛成75°角的视角,则B、C间的距离是()
A.52nmileB.103nmileC.1036nmileD.56nmile
解:根据题意知:AB=10,A=60°,B=75°则C=45°,
a===56
答案:D
3.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为()
?A.米?B.米C.200米D.200米
解:如图,设塔高AB为h,
Rt△CDB中,CD=200,∠BCD=90°-60°=30°
在△ABC中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°
∴∠BAC=120°
∴
∴(m)
答案:A
4.某人以时速akm向东行走,此时正刮着时速akm的南风,那么此人感到的风向为,风速为.
答案:东南2a
5.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行30nmile后看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是.
解:103
课后作业
1.已知三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2,则这个三角形的最大角是()
A.135°B.120°C.60°D.90°
解:根据三角形中大边对大角,可知a2+ab+b2所对的角为最大角,设为,则
cos==-,120°
答案:B
2.如下图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量应当用数据
A.、a、bB.、β、a
C.a、b、γD.α、β、γ
解:根据正弦定理和余弦定理知,测量a、b、γ,利用余弦定理
可求AB的长度。
答案:C
3.海上有A、B、C三个小岛,已知A、B之间相距8nmile,A、C之间相距5nmile,在A岛测得B岛和C岛的视角为60°,则B岛与C岛相距的nmile数为()
A.7B.6C.5D.4
解:根据题意知:AB=8,AC=5,∠A=60°,根据余弦定理有BC=8=49,BC=7
答案:A
4.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,则等于()
A.15°B.10°
C.5°D.20°
解:如图,BC=CA,CD=DA,
设AE=h,则
∴2cos2=,∴cos2=
∴2=30°,∴=15°.
答案:A
5.某人朝正东方向走xkm后,向左转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点正好是km,那么x的值为()
A.B.2C.2或D.3
解:如图,设出发点为A,则由已知可得
AB=x千米,BC=3千米
∠ABC=180°-150°=30°
AC=,∴,
∴,
∴∠CAB=60°或∠CAB=120°
当∠CAB=60°时,∠ACB=180°-30°-60°=90°
x=2千米
当∠CAB=120°,∠ACB=180°-120°-30°=30°
∴x=AC=千米
答案:C
6.已知一塔高80m,分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60°和30°,则山高为()
A.240mB.180mC.140mD.120m
解:D
7.如图,建造一幢宽为,房顶横截面为等腰三角形的住房,则∠ABC=,则等于()时,可使雨水从房顶最快流下.
A.300B.450C.600D.任意角
解:根据题意知s=AB=,加速度a=gsin.
由s=得t=,=45时t最小
答案:B
8.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过,该船的实际航程为()
A.B.C.D.
解:船的实际速度是v==2,则经过,该船的实际航程为2=6
答案:B
二.填空题
9.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点,那么x=________.
解:如图,
∠ABC=180°-105°=75°
∠BCA=180°-135°=45°,
BC=10cm
∴∠A=180°-75°-45°=60°
∴
10.坡度为45°的斜坡长为100m,现在要把坡度改为30°,则坡底要伸长________.
解:如图,DB=100m
∠BDA=45°,∠BCA=30°
设CD=x
∴(x+DA)tan30°=DAtan45°
又DA=BDcos45°=100×
∴x=-DA
=50(-1)
=50()(m)
答案:50()m
11.如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在
同一水平面内的两个测点与.测得∠BCD=15°,
∠BDC=30°,CD=30米,并在点测得塔顶的
仰角为60°,则BC=米,塔高AB=米。
解:在,,
∵
∴
在中,
∴
答案:,
三.解答题
12.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?
解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10。∵,∴sin∠ACB=,
∵∠ACB90°,∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东41°方向沿直线前往B处救援。
13.如图,某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处,时分测得轮船在海岛北偏西的处,时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进,求船速.
解:设,船的速度为,则,.
在中,,.
在中,,
.
在中,,
,,
船的速度.
14.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)解:在中,=30°,
=60°-=30°,
所以CD=AC=0.1
又=180°-60°-60°=60°,
故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA5分
在中,,
即AB=
因此,
故B、D的距离约为0.33km。
文章来源:http://m.jab88.com/j/37717.html
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