俗话说,磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,帮助授课经验少的高中教师教学。那么如何写好我们的高中教案呢?下面的内容是小编为大家整理的正余弦定理的应用,欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!
课时5正弦定理,余弦定理的综合应用
一、课前演练:
1、ΔABC中,sin2A=sin2B则ΔABC的形状为
2、在中,各边分别为,且,
则外接圆的直径为
3、在中,,则=
4、在一幢20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为600,塔底的仰角为450,那么这座塔的高度是_________米.
5、在中,若则的面积为
6、三角形的两边分别是5和3,他们夹角的余弦是方程的
根,则三角形的面积
7、在中,满足条件,,,则,
的面积等于
8、在中,且,求和.
二、例题剖析:
例1:在中,分别是内角的对边,,求边。
例2:已知三角形的一个角为,面积为,周长为,求三角形的各边长。
例3:在中,角对边分别为,且,
(1).求的值.(2)若,且,求的面积.
例4:如图所示,在地面上有一旗杆,为测得它的高度,在地面上取一线段,,在处测得点的仰角,在处测得点的仰角,又测得。求旗杆的高度(精确到)。
例5:某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9海里/h的速度向某小岛B靠拢,我海军舰艇立即以21海里/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间()
例6:如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以PC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值
三、课后反馈:
1.在中,若,则
2.在中,已知,则.
3.在中,①;②;③;
④.其中恒为常数的是
4.若,则是
5.在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为
6.在中,的对应边分别为,且,则为
7、某人向正东方向走了km后向右转了,然后沿新方向走了km,结果离出发点恰好为km,那么的值为;
8、有一长为m的斜坡,它的倾斜角是,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改成,则坡底要延伸m;
9、甲船在B岛的正南A处,km,甲船以km/h的速度向正北航行,同时,乙船自B岛出发以km/h的速度向北偏东的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是h;
10、一艘船以km/h的速度沿着与水流方向成的方向航行,已知河水流速为km/h,则经过h,该船实际航程为;
11、海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成的视角,从B岛望C岛和A岛成的视角,那么B岛和C岛间的距离是海里;
12.已知中,,且,求.
13、如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船,奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜问:辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间?
14.某人坐在火车上看风景,他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成角的直线上,1分钟后,他看见宝塔在与火车前进方向成角的直线上,设火车的速度是100km/h,求宝塔离铁路线的垂直距离。
15、如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平内的两个测点C和D.现测得,CD=s,并在点C测得塔尖A的仰角为,求塔高AB.
作为优秀的教学工作者,在教学时能够胸有成竹,高中教师要准备好教案,这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助授课经验少的高中教师教学。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢?以下是小编为大家收集的“正、余弦定理的应用举例”欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!
2.2.2正、余弦定理的应用举例(2)
知识梳理
2.解斜三角形的应用问题,通常需根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量,从而得到实际问题的解,其中建立数学模型的方法是我们的归宿,用数学手段来解决实际问题,是学习数学的根本目的。
3.解题应根据已知合理选择正余弦定理,要求算法简洁、算式工整、计算准确。
典例剖析
题型一正、余弦定理在几何中的应用
例1如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值
解:设∠POB=θ,四边形面积为y,则在△POC中,由余弦定理得:?
PC2=OP2+OC2-2OPOCcosθ=5-4cosθ?
∴y=S△OPC+S△PCD=+(5-4cosθ)
=2sin(θ-)+
∴当θ-=即θ=时,ymax=2+
评述:本题中余弦定理为表示△PCD的面积,从而为表示四边形OPDC面积提供了可能,可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要认识到这两个定理的重要性另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的构造及逆用,应予以重视?
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2如图,有两条相交成角的直线、,交点是,甲、乙分别在、上,
起初甲离点千米,乙离点千米,后来两人同时用每小时千米的速度,甲沿方向,乙沿方向步行,
(1)起初,两人的距离是多少?
(2)用包含的式子表示小时后两人的距离;
(3)什么时候两人的距离最短?
解:(1)设甲、乙两人起初的位置是、,
则
,
∴起初,两人的距离是.
(2)设甲、乙两人小时后的位置分别是,
则,,
当时,;
当时,,
所以,.
(3),
∴当时,即在第分钟末,最短。
答:在第分钟末,两人的距离最短。
评析:(2)中,分0t和t两种情况进行讨论,但对两种情形的结果进行比较后发现,目标函数有统一的表达式,从而(3)中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。
备选题正、余弦定理的综合应用
例3如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设MGA=()
(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2);表示为的函数,
(2)求y=的最大值与最小值。
解析:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心,
所以AG=,MAG=,由正弦定理
得,
则S1=GMGAsin=。同理可求得S2=。
(2)y===72(3+cot2)
因为,
所以当=或=时,y取得最大值ymax=240,当=时,y取得最小值ymin=216。
点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的符号语言,再通过局部的换元,又将问题转化为我们熟知的函数,这些解题思维的拐点。
点击双基
1.在△ABC中,,则△ABC的面积为()
A.B.C.D.1
解:S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案:C
2.如图所示:在一幢20m高的楼顶A测得对面一塔顶C的仰角为60,塔基D的俯角为45,则这座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解:可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以这座塔的高CD=(20+20)m
答案:D
3.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是()
A.b=10,A=45°,B=70°B.a=60,c=48,B=100°
C.a=7,b=5,A=80°D.a=14,b=16,A=45°
解:A,B可根据余弦定理求解,只有一解,选项C中,A为锐角,且ab,只有一解.
选项D中所以有两个解。
答案:D
4.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西600,另一灯塔在船的南偏西750,则这艘船是每小时航行____。
解:10海里
5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为()
A.B.
C.D.不能确定大小
解:依题意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案:C
课后作业
1.有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要伸长()
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案:A
2.边长分别为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()
A.90B.120C.135D.150
解:用余弦定理算出中间的角为60.
答案:B
3.下列条件中,△ABC是锐角三角形的是()
A.sinA+cosA=B.>0C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,c=3,B=30°
解:由sinA+cosA=得2sinAcosA=-<0,∴A为钝角.
由>0,得<0,∴cos〈,〉<0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC>0,得tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC>0.
∴tanAtanBtanC>0,A、B、C都为锐角.
由=,得sinC=,∴C=或.
答案:C
4、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是()
A.B.C.D.
解:a
答案:B
5.某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮至少要()
A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元
解:S==150购买这种草皮至少要150a元
答案:C
6.甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()
A.分钟B.分钟C.21.5分钟D.2.15分钟
解:设航行时间为t小时,则两船相距
=
t=-小时=分钟
答案:A
7.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°,向前飞行10000米,到达B处,此时测得目标C的俯角为60°,这时飞机与地面目标的水平距离为()
A.5000米B.5000米C.4000米D.米
解:=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案:A
8如图,△ABC是简易遮阳棚,A、B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为
A75°B60°C50°D45°
解:作CE⊥平面ABD于E,则∠CDE是太阳光线与地面所成的角,即∠CDE=40°,延长DE交直线AB于F,连结CF,则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角,设为α要使S△ABD最大,只需DF最大
在△CFD中,=
∴DF=
∵CF为定值,∴当α=50°时,DF最大
答案:C
二.填空题
9.某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里,且在北偏东方向;测得灯塔B与A相距海里,且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D处,测得灯塔B在南偏西方向。这时灯塔C与D相距海里
答案:
10.在△ABC中,已知60°,如果△ABC两组解,则x的取值范围是
解:asinBba,即xsin602x
答案:
11.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东,这时船与灯塔的距离为
km
答案:
三.解答题
12.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?
解:由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得
cosC==,
则sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中,由正弦定理得MC===35
从而有MB=MC-BC=15
答:汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
13.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值。
解:作交BE于N,交CF于M.
,
,
.
在中,由余弦定理,
14.在中,角A、B、C的对边分别为、、,
,又的面积为.(1)求角C的大小;(2)求的值.
解:(1)由已知得,所以,;
(2)因为,所以,
又因为,所以
所以,===5
●思悟小结
1.三角形中的边角问题的求解,或三角形的形状的判定,及其与三角形有关的问题的求解,通常是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角恒等变形去解决。
2.判断三角形的形状,一般是从题设条件出发,根据正弦定理、余弦定理及三角变换将已知的边角关系全转化为边的关系或全转化为角的关系,导出边或角的某种特殊关系,然后判定三角形的形状。注意变换过程中等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能。
3.正确理解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡脚、坡比等名词术语。
文章来源:http://m.jab88.com/j/44943.html
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