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高中数学必修四2.3平面向量基本定理及坐标表示小结导学案

作为杰出的教学工作者,能够保证教课的顺利开展,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,使高中教师有一个简单易懂的教学思路。高中教案的内容要写些什么更好呢?下面是由小编为大家整理的“高中数学必修四2.3平面向量基本定理及坐标表示小结导学案”,希望对您的工作和生活有所帮助。

2.3平面向量基本定理及坐标表示小结
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的线性运算;会用坐标表示的平面向量共线的条件.

【知识重温】
1.平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个______向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,,使=__________.向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴______的两个单位向量、作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x,y,使得=__________,则有序数对(x、y)叫做向量的坐标,记作__________,其中x,y分别叫做在x轴、y轴上的坐标,=(x,y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其______相同,______相同的向量是相等向量.

3.平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=__________________,

2)已知=(x1,y1),=(x2,y2),则
+=____________,
-=___________,
λ=___________;
∥(≠0)______________.

(3)=(x1,y1),=(x2,y2),=________________.

思考感悟
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,故基底的选取是不唯一。
平面内任意向量都可被这个平面的一组基底,线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.

2.向量坐标与点的坐标区别
在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量=,此时点A的坐标与的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点A(x,y),向量==(x,y).

当平面向量平行移动到时,向量不变即==(x,y),但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.

对点练习:
1.已知向量=(1,-2),=(-3,4),则12等于()
A.(-2,3)B.(2,-3)
C.(2,3)D.(-2,-3)

2.已知向量=(1,1),=(2,x),若+与4-2平行,则实数x的值是()
A.-2B.0
C.1D.2

3.已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ为实数,(+λ)∥,则λ=()
A.14B.12
C.1D.2

4.下列各组向量中,能作为基底的是()
①=(1,2),=(2,4)
②=(1,1),=(-1,-1)
③=(2,-3),=(-3,2)
④=(5,6),=(7,8).
A.①②B.②③
C.③④D.②④

【自学探究】
考点一平面向量基本定理
例1、如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=,=,试用,表示,.

规律总结:应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.解题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.

变式1:如图,在△ABC中,=13,P是BN上的一点,若=m+211,则实数m的值为__________.

考点二平面向量的坐标运算
例2、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=,=,=,且=3,=-2.
(1)求3+-3;
(2)求满足=m+n的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.

规律总结:若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.
变式2在ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=()
A.(-2,-4)B.(-3,-5)
C.(3,5)D.(2,4)

考点三平面向量共线的坐标表示
例3、平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1).回答下列问题:
(1)若(+k)∥(2-),求实数k;
(2)设=(x,y)满足(-)∥(+)且|-|=1,求.
规律总结:用坐标来表示向量平行,实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想,其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明,这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算.
变式3、
(1)(2013陕西卷)已知向量=(1,m),=(m,2),若∥,则实数m等于()
A.-2B.2
C.-2或2D.0

(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为__________.

【课堂小结】
1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.
2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理.
3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.
4.要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。
【当堂达标】
1.(2014北京卷)已知向量=(2,4),=(-1,1),则2-=()
A.(5,7)B.(5,9)
C.(3,7)D.(3,9)

2.(2014揭阳二模)已知点A(-1,5)和向量=(2,3),若=3,则点B的坐标为()
A.(7,4)B.(7,14)
C.(5,4)D.(5,14)

3.(2015许昌模拟)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()
A.(-2,7)B.(-6,21)
C.(2,-7)D.(6,-21)

4.已知两点在直线AB上,求一点P是。

【课时作业】
1、若向量=(x+3,x2-3x-4)与相等,已知A(1,2)和B(3,2),则x的值为()
A、-1B、-1或4
C、4D、1或-4

2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7),(-3,5),(3,4),则第四个顶点的坐标不可能是()
A、(-1,8)B,(-5,2)
C、(1l,6)D、(5,2)

3、己知P1(2,-1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,,则P点坐标为()
A、(-2,11)B、(
C、(,3)D、(2,-7)

4、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为()
A、3x+2y-11=0
B、(x-1)2+(y-2)2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

5、已知点A(-1,5),若向量与向量=(2,3)同向,且=3,则点B的坐标为_____________

6、平面上三个点,分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC的中点,则向量的坐标为_______________

7、已知点A(-1,2),B(2,8)及,,求点C、D和的坐标。

8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A(-2,1),一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标。
【延伸探究】
如图,中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC,BE交AD于G,求及的值。

延伸阅读

高中数学必修四2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案


2.3.4平面向量共线的坐标表示
【学习目标】
1.理解平面向量共线的坐标表示;
2.掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式;
3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

【新知自学】
知识回顾:
1.平面向量基本定理:

2.平面向量的坐标表示:
=x+y,=()

3.平面向量的坐标运算
(1)若=(),=(),
则,
(2)若,,

4.什么是共线向量?
新知梳理:
1、两个向量共线的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2)共线,其中.
由=λ得,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ即可
所以∥()的等价条件是
思考感悟:
(1)上式在消去λ时能不能两式相除?
(2)条件x1y2-x2y1=0能不能写成?
(3)向量共线的几种表示形式:∥()x1y2-x2y1=0

对点练习:
1.若=(2,3),=(4,-1+y),且∥,则y=()
A.6B.5C.7D.8

2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为()?
A.-3B.-1C.1D.3

3.若=+2,=(3-x)+(4-y)(其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x、y的值可能分别为()
A.1,2B.2,2
C.3,2D.2,4

【合作探究】
典例精析:
例1:已知=(4,2),=(6,y),且∥,求y.

变式1:若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,求x

变式2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗?

例2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.(你有几种方法)

变式3:已知:四点A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3),
如何求证:四边形ABCD是梯形.?

规律总结:要注意向量的平行与线段的平行之间的区别和联系

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.

思考探究:本例在(1)中P1P:PP2=;在(2)中P1P:PP2=;若P1P:PP2=,如何求点P的坐标?

【课堂小结】
1、知识2.方法3.思想
【当堂达标】
1.若=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,则x=.

2.已知=(1,2),=(x,1),若与平行,则x的值为

3.设=(4,-3),=(x,5),=(-1,y),若+=,则(x,y)=.

4、若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则x=.
【课时作业】
1.已知=(5,-3),C(-1,3),=2,则点D坐标
A.(11,9)B.(4,0)
C.(9,3)D.(9,-3)

2、若向量=(1,-2),||=4||,且,共线,则可能是
A.(4,8)B.(-4,8)
C.(-4,-8)D.(8,4)
3*、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3).若点C(x,y)满足OC→=αOA→+βOB→,其中α,β∈R且α+β=1,则x,y所满足的关系式为()
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0

4、已知=(3,2),=(-2,1),若λ+与+λ(λ∈R)平行,则λ=.

5、已知||=10,=(4,-3),且∥,则向量的坐标是.

*6.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?
(2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.

7.如图所示,在你四边形ABCD中,已知,求直线AC与BD交点P的坐标。

【延伸探究】
1.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“”为mn=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为m⊕n=(a+c,b+d).设m=(p,q),若(1,2)m=(5,0),则(1,2)⊕m等于________.
2、如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.

平面向量的基本定理及坐标表示


一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,帮助高中教师提高自己的教学质量。那么,你知道高中教案要怎么写呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《平面向量的基本定理及坐标表示》,希望能对您有所帮助,请收藏。

平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1平面向量基本定理
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ|=|λ|||;(2)λ0时λ与方向相同;λ0时λ与方向相反;λ=0时λ=
2.运算定律
结合律:λ(μ)=(λμ);分配律:(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ
3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ.
二、讲解新课:
平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2.
探究:
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的数量
三、讲解范例:
例1已知向量,求作向量2.5+3.
例2如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,,和
例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+++=4
例4(1)如图,,不共线,=t(tR)用,表示.
(2)设不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且.求证:A、B、P三点共线.
例5已知a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习:
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系
A.不共线B.共线C.相等D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=.
5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结(略)
六、课后作业(略):
七、板书设计(略)
八、课后记:

高中数学必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示导学案


一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,减轻高中教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢?下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示导学案”,供大家借鉴和使用,希望大家分享!

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念;
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
3.能够在具体问题中适当选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
【新知自学】
知识回顾:1.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2;
使得
给定基底,分解形式惟一.λ1,λ2由,,唯一确定.
2.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角,
当=,、同向;当=,、反向(同向、反向通称平行);
当=°,称与垂直,记作。
新知梳理:
由前面知识知道,平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示;当然也可以用两个互相垂直的向量来表示,这样能给我们研究向量带来许多方便。
1.平面向量的正交分解:把向量分解为两个的向量。
思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一个向量,如何表示呢?
2.平面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得=x+y………○1
我们把叫做向量的(直角)坐标,记作=(x,y)………○2
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地,=(1,0)=(0,1),=(0,0).
3.在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。
如图,在直角坐标平面内,以原点为起点作=,则点的位置由唯一确定.
设=x+y,则向量的坐标就是点的坐标;反过来,点的坐标也就是向量的坐标.
对点练习:
1.如图,向量、是两个互相垂直的单位向量,向量与的夹角是30°,且||=4,以向量、为基底,向量=_________

2.在平面直角坐标系下,起点是坐标原点,终点A落在直线上,且模长为1的向量的坐标是___________

【合作探究】
典例精析:
例1:请写出图中向量,,的坐标

变式1:请在平面直角坐标系中作出向量、,其中=(1,-3)、=(-3,-1).

例2:如图所示,用基底、分别表示向量、、、并求出它们的坐标。

变式2:已知O为坐标原点,点A在第一象限,,,求向量的坐标

【课堂小结】
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系,它使得向量具有代数意义。
将向量的起点平移到坐标原点,则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。
【当堂达标】
1、已知力在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3,则力的实际大小是__________,若水平方向为x轴的正方向,竖直方向为y轴的正方向,则力的坐标表示是______________

2、若,(,为单位向量),则的坐标(x,y)就是____的坐标,即若=(x,y),则点A的坐标就是_______________。

3、如右图:|OA|=4,B(1,2),求向量的坐标。

【课时作业】
1.设、是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且,,则△OAB的面积等于()
A、15B、10C、7.5D、5
2、在平面直角坐标系中,A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴,y轴上的两个单位向量分别是和,则下列说法正确的是__________
①2+3;②3+4;
③-5+;④5-.

3、如图所示的直角坐标系中,四边形OABC为等腰梯形,BC‖OA,OC=6,,则用坐标表示下列向量:_______________;
______________;______________;
______________;

4.在直角坐标系xoy中,向量的方向如图所示,且,分别写出他们的坐标。

5.如图,已知O为坐标原点,点A在第一象限,,,求向量的坐标。

【延伸探究】
在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-2,4),则向量的坐标是_________

高中数学必修四2.3.3平面向量的坐标运算导学案


2.3.3平面向量的坐标运算

【学习目标】
1.理解平面向量的坐标的概念;掌握平面向量的坐标运算;
2.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

【新知自学】
知识回顾:
1.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=______________
(1)不共线向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组;
(2)由定理可将任一向量在给出基底,的条件下进行分解;分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的实数对;
2.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角,当=,、同向,当=,
、反向,当=,与垂直,记作⊥。
3.向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,取=(1,0),=(0,1)作为一组基底,设=x+y,则向量的坐标就是点的坐标。
新知梳理:
1.平面向量的坐标运算
已知:=(),=(),我们考虑如何得出、、的坐标。
设基底为、,
则=
=
即=,
同理可得=
结论:(1)若=(),=(),
则,
即:两个向量和与差的坐标分别等于.
(2)若=(x,y)和实数,则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考感悟:
已知,,怎样来求的坐标?
若,,==
则=
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的

对点练习:
1.设向量,坐标分别是(-1,2),(3,-5)则+=__________,
-=________,3=_______,2+5=___________
2.如右图所示,平面向量的坐标是()
A.B.
C.D.

3.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),则2=.

【合作探究】
典例精析:
例1:已知=(2,1),=(-3,4),求+,-,3+4的坐标.

变式1:已知,求:
(1)
(2)
(3)

例2:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标。

*变式2:设,,,用表示

【课堂小结】

【当堂达标】
1、设则=___________
2、已知M(3,-2)N(-5,-1),且,则=()
A.(-8,1)B.
C.(-16,2)D.(8,-1)
3、若点A的坐标是,向量=,则点B的坐标为()
A.
B.
C.
D.
4、已知
则=()
A.(6,-2)B.(5,0)
C.(-5,0)D.(0,5)

【课时作业】
1.如图,已知,,
点是的三等分点,则()
A.B.
C.D.

2.若M(3,-2)N(-5,-1)且,则P点的坐标

*3.已知

*4.在△ABC中,点P在BC上,且BP→=2PC→,点Q是AC的中点,若PA→=(4,3),PQ→=(1,5),则BC→=________.

5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()
A.(1,5)或(5,5)
B.(1,5)或(-3,-5)
C.(5,-5)或(-3,-5)
D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)

6.已知=(1,2),=(-2,3),=(-1,2),以,为基底,试将分解为的形式.

7.已知三个力=(3,4),=(2,5),=(x,y)的合力++=,求的坐标.

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,求第四个顶点的坐标。

9.已知点,若,
(1)试求为何值时,点P在第一、三象限的交平分线上?
(2)试求为何值时,点P在第三象限?

【延伸探究】
已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP→=OA→+tAB→,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上,P在y轴上,P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.

文章来源:http://m.jab88.com/j/44941.html

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