2.3.4平面向量共线的坐标表示
【学习目标】
1.理解平面向量共线的坐标表示;
2.掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式;
3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.
【新知自学】
知识回顾:
1.平面向量基本定理:
2.平面向量的坐标表示:
=x+y,=()
3.平面向量的坐标运算
(1)若=(),=(),
则,
(2)若,,
则
4.什么是共线向量?
新知梳理:
1、两个向量共线的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2)共线,其中.
由=λ得,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ即可
所以∥()的等价条件是
思考感悟:
(1)上式在消去λ时能不能两式相除?
(2)条件x1y2-x2y1=0能不能写成?
(3)向量共线的几种表示形式:∥()x1y2-x2y1=0
对点练习:
1.若=(2,3),=(4,-1+y),且∥,则y=()
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为()?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=+2,=(3-x)+(4-y)(其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x、y的值可能分别为()
A.1,2B.2,2
C.3,2D.2,4
【合作探究】
典例精析:
例1:已知=(4,2),=(6,y),且∥,求y.
变式1:若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,求x
变式2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗?
例2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.(你有几种方法)
变式3:已知:四点A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3),
如何求证:四边形ABCD是梯形.?
规律总结:要注意向量的平行与线段的平行之间的区别和联系
例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
思考探究:本例在(1)中P1P:PP2=;在(2)中P1P:PP2=;若P1P:PP2=,如何求点P的坐标?
【课堂小结】
1、知识2.方法3.思想
【当堂达标】
1.若=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同,则x=.
2.已知=(1,2),=(x,1),若与平行,则x的值为
3.设=(4,-3),=(x,5),=(-1,y),若+=,则(x,y)=.
4、若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则x=.
【课时作业】
1.已知=(5,-3),C(-1,3),=2,则点D坐标
A.(11,9)B.(4,0)
C.(9,3)D.(9,-3)
2、若向量=(1,-2),||=4||,且,共线,则可能是
A.(4,8)B.(-4,8)
C.(-4,-8)D.(8,4)
3*、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3).若点C(x,y)满足OC→=αOA→+βOB→,其中α,β∈R且α+β=1,则x,y所满足的关系式为()
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
4、已知=(3,2),=(-2,1),若λ+与+λ(λ∈R)平行,则λ=.
5、已知||=10,=(4,-3),且∥,则向量的坐标是.
*6.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?
(2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
7.如图所示,在你四边形ABCD中,已知,求直线AC与BD交点P的坐标。
【延伸探究】
1.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“”为mn=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为m⊕n=(a+c,b+d).设m=(p,q),若(1,2)m=(5,0),则(1,2)⊕m等于________.
2、如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,帮助高中教师提高自己的教学质量。那么,你知道高中教案要怎么写呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《平面向量的基本定理及坐标表示》,希望能对您有所帮助,请收藏。
平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1平面向量基本定理
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ|=|λ|||;(2)λ0时λ与方向相同;λ0时λ与方向相反;λ=0时λ=
2.运算定律
结合律:λ(μ)=(λμ);分配律:(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ
3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ.
二、讲解新课:
平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2.
探究:
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的数量
三、讲解范例:
例1已知向量,求作向量2.5+3.
例2如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,,和
例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+++=4
例4(1)如图,,不共线,=t(tR)用,表示.
(2)设不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且.求证:A、B、P三点共线.
例5已知a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习:
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系
A.不共线B.共线C.相等D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=.
5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结(略)
六、课后作业(略):
七、板书设计(略)
八、课后记:
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,减轻高中教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢?下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示导学案”,供大家借鉴和使用,希望大家分享!
2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念;
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
3.能够在具体问题中适当选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
【新知自学】
知识回顾:1.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2;
使得
给定基底,分解形式惟一.λ1,λ2由,,唯一确定.
2.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角,
当=,、同向;当=,、反向(同向、反向通称平行);
当=°,称与垂直,记作。
新知梳理:
由前面知识知道,平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示;当然也可以用两个互相垂直的向量来表示,这样能给我们研究向量带来许多方便。
1.平面向量的正交分解:把向量分解为两个的向量。
思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一个向量,如何表示呢?
2.平面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得=x+y………○1
我们把叫做向量的(直角)坐标,记作=(x,y)………○2
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地,=(1,0)=(0,1),=(0,0).
3.在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。
如图,在直角坐标平面内,以原点为起点作=,则点的位置由唯一确定.
设=x+y,则向量的坐标就是点的坐标;反过来,点的坐标也就是向量的坐标.
对点练习:
1.如图,向量、是两个互相垂直的单位向量,向量与的夹角是30°,且||=4,以向量、为基底,向量=_________
2.在平面直角坐标系下,起点是坐标原点,终点A落在直线上,且模长为1的向量的坐标是___________
【合作探究】
典例精析:
例1:请写出图中向量,,的坐标
变式1:请在平面直角坐标系中作出向量、,其中=(1,-3)、=(-3,-1).
例2:如图所示,用基底、分别表示向量、、、并求出它们的坐标。
变式2:已知O为坐标原点,点A在第一象限,,,求向量的坐标
【课堂小结】
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系,它使得向量具有代数意义。
将向量的起点平移到坐标原点,则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。
【当堂达标】
1、已知力在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3,则力的实际大小是__________,若水平方向为x轴的正方向,竖直方向为y轴的正方向,则力的坐标表示是______________
2、若,(,为单位向量),则的坐标(x,y)就是____的坐标,即若=(x,y),则点A的坐标就是_______________。
3、如右图:|OA|=4,B(1,2),求向量的坐标。
【课时作业】
1.设、是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且,,则△OAB的面积等于()
A、15B、10C、7.5D、5
2、在平面直角坐标系中,A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴,y轴上的两个单位向量分别是和,则下列说法正确的是__________
①2+3;②3+4;
③-5+;④5-.
3、如图所示的直角坐标系中,四边形OABC为等腰梯形,BC‖OA,OC=6,,则用坐标表示下列向量:_______________;
______________;______________;
______________;
4.在直角坐标系xoy中,向量的方向如图所示,且,分别写出他们的坐标。
5.如图,已知O为坐标原点,点A在第一象限,,,求向量的坐标。
【延伸探究】
在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-2,4),则向量的坐标是_________
2.3.3平面向量的坐标运算
【学习目标】
1.理解平面向量的坐标的概念;掌握平面向量的坐标运算;
2.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.
【新知自学】
知识回顾:
1.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=______________
(1)不共线向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组;
(2)由定理可将任一向量在给出基底,的条件下进行分解;分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的实数对;
2.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角,当=,、同向,当=,
、反向,当=,与垂直,记作⊥。
3.向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,取=(1,0),=(0,1)作为一组基底,设=x+y,则向量的坐标就是点的坐标。
新知梳理:
1.平面向量的坐标运算
已知:=(),=(),我们考虑如何得出、、的坐标。
设基底为、,
则=
=
即=,
同理可得=
结论:(1)若=(),=(),
则,
即:两个向量和与差的坐标分别等于.
(2)若=(x,y)和实数,则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
思考感悟:
已知,,怎样来求的坐标?
若,,==
则=
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
对点练习:
1.设向量,坐标分别是(-1,2),(3,-5)则+=__________,
-=________,3=_______,2+5=___________
2.如右图所示,平面向量的坐标是()
A.B.
C.D.
3.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),则2=.
【合作探究】
典例精析:
例1:已知=(2,1),=(-3,4),求+,-,3+4的坐标.
变式1:已知,求:
(1)
(2)
(3)
例2:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标。
*变式2:设,,,用表示
【课堂小结】
【当堂达标】
1、设则=___________
2、已知M(3,-2)N(-5,-1),且,则=()
A.(-8,1)B.
C.(-16,2)D.(8,-1)
3、若点A的坐标是,向量=,则点B的坐标为()
A.
B.
C.
D.
4、已知
则=()
A.(6,-2)B.(5,0)
C.(-5,0)D.(0,5)
【课时作业】
1.如图,已知,,
点是的三等分点,则()
A.B.
C.D.
2.若M(3,-2)N(-5,-1)且,则P点的坐标
*3.已知
,
则
*4.在△ABC中,点P在BC上,且BP→=2PC→,点Q是AC的中点,若PA→=(4,3),PQ→=(1,5),则BC→=________.
5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()
A.(1,5)或(5,5)
B.(1,5)或(-3,-5)
C.(5,-5)或(-3,-5)
D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)
6.已知=(1,2),=(-2,3),=(-1,2),以,为基底,试将分解为的形式.
7.已知三个力=(3,4),=(2,5),=(x,y)的合力++=,求的坐标.
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,求第四个顶点的坐标。
9.已知点,若,
(1)试求为何值时,点P在第一、三象限的交平分线上?
(2)试求为何值时,点P在第三象限?
【延伸探究】
已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP→=OA→+tAB→,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上,P在y轴上,P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
文章来源:http://m.jab88.com/j/44941.html
更多