一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。优秀有创意的教案要怎样写呢？小编经过搜集和处理，为您提供高一数学教案：《函数的概念和图象》优秀教学设计，仅供参考，希望能为您提供参考！

高一数学教案：《函数的概念和图象》优秀教学设计

教学目标：

1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；

2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；

3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：

用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：

一、问题情境

1．情境．

复述函数及函数的定义域的概念．

2．问题．

概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？

二、学生活动

1．理解函数的值域的概念；

2．能利用观察法求简单函数的值域；

3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．

三、数学建构

1．函数的值域：

（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之

为函数的值域；

（2）值域是集合B的子集．

2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；

四、数学运用

（一）例题．

例1　已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．

例2　根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．

（1）x∈{－1，0，1，2，3}；

（2）x∈R；

（3）x∈[－1，3]；

（4）x∈(－1，2]；

（5）x∈(－1，1)．

例3　求下列函数的值域：

①y＝；②y＝．

例4　已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：

MicrosoftInternetExplorer402DocumentNotSpecified7.8 磅Normal0

x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

f(x)

2

3

4

1

g(x)

2

1

4

3

分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．

（二）练习．

（1）求下列函数的值域：

①y＝2－x2； ②y＝3－|x|．

（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．

（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．

（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．

（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．

五、回顾小结

函数的对应本质，函数的定义域与值域；

利用分解的思想研究复合函数．

六、作业

课本P31-5，8，9．

延伸阅读

函数的概念和图象

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师能够更轻松的上课教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？下面的内容是小编为大家整理的函数的概念和图象，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

§2.1.1函数的概念和图象（2）
【学习目标】：
理解函数图象的概念，掌握一些简单函数的图象的作法，并能利用图象解决有关简单问题。
【教学过程】：
一、复习引入：
1．函数的的定义：
2．函数的概念涉及到哪几个要素？
3．我们已学过函数的图象，并能作出一次函数、反比例函数及二次函数的图象。在社会生活中还有许多函数图象的例子，如课本P25的例子。

二、新课讲授：
1、函数图象的概念：

练习：作出下列函数的图象：
（1），（）；（2），（{0，1，2，3，4}）；

（3），（.（4）

思考：设函数的定义域为，则集合与
相等吗？又设，则中元素个数怎样？

三、典例欣赏
例1．作出下列函数的图象，根据图象说出函数的值域，并指出最值及取最值时相应的x的值
（1）；（2），；（3）.

变题：（1）（2）为正实数

例2．试画出f(x)=x2+1图象，并根据图象回答问题：
(1)比较f(-2)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若0x1x2，试比较的大小。

变题：在（2）中，
（1）如果把“0x1x2”改为“x1x20”，那么哪个大？
（2）如果把“0x1x2”改为“|x1||x2|”，那么哪个大？

例3．在同一直角坐标系中作出函数的图象，并指出它们之间的相互联系。
归纳：
1．函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。
2．函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。
3．函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。
4．函数的图象是由函数的图象向平移个单位得到的。

练习：画出下列函数的图象
（1）（2）（3）y=（4）y=，

【反思小结】：
【针对训练】：班级姓名学号
1．已知函数，则集合中元素的个数为
2．已知函数的值域为，则
3．若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点
4．试写出一个函数使其定义域分别为下列集合
1）{x|x2,xR}2）(0,+)
3）4）[-1,3]
5．试写出一个函数使其值域分别为下列集合
1）R2）
3）(-,0)(0,+)4）
6．若函数的值域是[3，10]，则函数的值域是，函数的值域是，函数的值域是。
7．作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的值域：
(1)(2)y=|x2+2x-3|

(3)(4)y=
【拓展提高】
8．求函数的定义域和值域。

9．方程在[-1，1]上有实根，求k的范围。

10．m是什么实数时，方程|x2-4x+3|=m有三个互不相等的实数解。

高一数学教案：《基于APOS理论的函数概念》教学设计

高一数学教案：《基于APOS理论的函数概念》教学设计

一、 概念同化教学与APOS 理论

高中新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多教师仍然采取传统的概念同化教学方式，其教学步骤为[1]：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。

这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用十分有限。因为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由教师代替学生操作、思考、体验。

美国数学教育学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说,人们透过心智结构（mental structure）使所学的数学概念产生意义。如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段[2]：

二、基于APOS理论的函数教学设计

从数学教育的研究内容来看，关于代数内容已经逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心了[3]。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。 函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的研究表明了这一点——斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的研究，见文献[4].

可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的《函数的概念》基础上进行思考，尝试用APOS理论来设计高中函数概念的教学。

（一）创设问题情境，引出课题

教师提出问题1：

我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）

我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的问题：

问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数表示同一个函数吗？

学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。

（二）生活实例演示，操作练习[活动（A）]

问题3：下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事．

(1)我离开家不久，发现自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学；

(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

活动小结：每一个时刻，按照图像，都有唯一确定的距离与它对应。

（三）借助信息技术，讨论归纳[过程（P）]

师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度关于炮弹发射时间的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在的变化范围内，任给一个，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。

生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师：（实例2）引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。

生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。

（四）从特殊到一般，引出函数概念[对象（O）]

问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？

生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。

师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：

对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作

教师强调指出“”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，教师提出下一个问题：

问题5：一定就是函数的解析式吗？

师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。

问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）

补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是（ ）

教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

追问：如何判断两个函数是否相同？

以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身基础上的“再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。

例2．下列函数中哪个与函数相等？

思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？

启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：

1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；

2．函数的核心是对应法则，通常用记号表示函数的对应法则，在不同的函数中，的具体含义不一样。函数记号表明，对于定义域的任意一个在“对应法则”的作用下，即在中可得唯一的. 当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元素和它对应；值域；

3．函数符号的说明：

（1）“”即为“是的函数”的符号表示；（2）不一定能用解析式表示；（3）与是不同的，通常，表示函数当时的函数值；（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、、等符号来表示。

4．定义域是函数的重要组成部分，如与是不同的两个函数。

（五）借助熟悉的函数，加深对函数概念的理解[图式（S）]

问题8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：: A→B，使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？

教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

函数

一次函数

反比例函数

二次函数

对应关系

a＞0

a＜0

定义域

值域

用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

（六）再创情境，引导探究函数概念的新认识[图式（S）]

问题9：比较函数的近代定义与传统定义（即初中课本函数的定义）的异同点，你对函数有什么新的认识？

学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

问题10：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。

师生：是函数；与不是同一个函数。

引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。

（七）举例应用，深化目标[图式（S）]

例3．已知函数

（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发现了什么结论？（4）求函数的值域。

为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质（奇函数）作准备。

教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：

变式1：已知，① 当时，求函数的值域；② 当时，求函数的值域。

变式2：已知，① 当函数值域为时，求函数定义域；② 当函数值域为时，求函数定义域。

变式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函数.

变式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。

以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就自然形成了。

（八）练习交流，反馈巩固

以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。

（九）学生归纳小结，教师评价

以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1．函数的近代定义与传统定义的异同点；2．集合与函数的联系、区别；3．函数的三要素；4．数形结合的思想。

三、几点启示

APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。

教学中教师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学教师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立, 有时既困难又漫长, 需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。

学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要教师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立, 即加强知识间的联系和应用,如在讲解具体的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。

当然，APOS 理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必须遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是需要一个长期实践与反思。有些学生需要在接触了大量的具体的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能渐渐地实现从“过程”到“对象”的理解，再由“对象”到“图式”的发展。作为老师，我们应该理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。

高一数学教案：《函数的表示方法》优秀教学设计

高一数学教案：《函数的表示方法》优秀教学设计

教学目标：

1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；

2．能较为准确地作出分段函数的图象；

3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：

分段函数的图象、定义域和值域．

教学过程：

一、问题情境

1．情境．

复习函数的表示方法；

已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．

2．问题．

函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？

二、学生活动

1．画出函数f(x)＝|x|的图象；

2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．

三、数学建构

1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．

（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；

（2）分段函数的定义域是几部分的并；

（3）定义域的不同部分不能有相交部分；

（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；

（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；

（6）分段函数是生活中最常见的函数．

四、数学运用

1．例题．

例1　某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．

例2　如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点为M，OM＝x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域．

例3　将函数f(x)＝ | x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f(x)的值域．

2．练习：

练习1：课本35页第7题，36页第9题．

（3）试比较函数f(x)＝|x＋1|＋|x|与g(x)＝|2x＋1|是否为同一函数．

（4）定义[x]表示不大于x的最大整数，试作出函数f(x)＝[x] (x∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．

练习3：如图，点P在边长为2的正方形边上按A→B→C→D→A的方向移动，试将AP表示成移动的距离x的函数．

五、回顾小结

分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；

含绝对值的函数常与分段函数有关；

利用对称变换构造函数的图象．

六、作业

课堂作业：课本35页习题第3题，36页第10，12题；

课后探究：已知函数f(x)＝2x－1（x∈R），试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．

2.1.1　函数的概念和图象（2）

2.1.1函数的概念和图象（2）
教学目标：
1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；
2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；
3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：
用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复述函数及函数的定义域的概念．
2．问题．
概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？
二、学生活动
1．理解函数的值域的概念；
2．能利用观察法求简单函数的值域；
3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．
三、数学建构
1．函数的值域：
（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之
为函数的值域；
（2）值域是集合B的子集．
2．xg(x)f(x)f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；
四、数学运用
（一）例题．
例1已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(－2)，f(－1)，f(0)，f(1)．
例2根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．
（1）x∈{－1，0，1，2，3}；
（2）x∈R；
（3）x∈[－1，3]；
（4）x∈(－1，2]；
（5）x∈(－1，1)．
例3求下列函数的值域：
①y＝；②y＝．
例4已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x1234x1234
f(x)2341g(x)2143
分别求f(f(1))，f(g(2))，g(f(3))，g(g(4))的值．
（二）练习．
（1）求下列函数的值域：
①y＝2－x2；②y＝3－|x|．
（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．
（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．
（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．
（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．
五、回顾小结
函数的对应本质，函数的定义域与值域；
利用分解的思想研究复合函数．
六、作业
课本P31-5，8，9．

文章来源：http://m.jab88.com/j/107685.html

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