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九年级下册《二次函数》学案新人教版

学生们有一个生动有趣的课堂,离不开老师辛苦准备的教案,是认真规划好自己教案课件的时候了。认真做好教案课件的工作计划,才能更好的在接下来的工作轻装上阵!你们清楚有哪些教案课件范文呢?以下是小编为大家收集的“九年级下册《二次函数》学案新人教版”希望能为您提供更多的参考。

九年级下册《二次函数》学案新人教版

☆教材分析

“二次函数”是在对一次函数和反比例函数的基础上,知识深度的进一步扩展。激起学生思维的火花,揭示现实生活中的函数体系,并从本质上理解函数在实际中的应用。

☆学情分析

学生对函数已有初步的了解,掌握了一次函数和反比例函数的简单运用。但对九年级学生来讲,函数显得比较抽象,难以理解。

☆教学目标

1、认知目标:理解二次函数定义,并能判断是不是二次函数。

2、能力目标:⑴能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式。

⑵并求出函数的自变量的取值范围。

3、情感与思想目标:注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯。

☆教学重点和难点

重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式。

难点:求出函数的自变量的取值范围。

☆教学过程

教学环节教师活动预设学生行为设计意图

一、复习铺垫

1、复习提问一次函数的定义,举例。学生回顾思考

回答问题并小结复习旧知

引入概念

二、创设情境

问题导入悬念1:1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积y(m2)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出这个函数的关系式,

对于1,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况,提出问题:(1)从所填表格中,你能发现什么?(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见,达成共识:当AB的长为5cm,BC的长为10m时,围成的矩形面积最大;最大面积为50m2。

对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见。形成共识,x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0<x<10。

对于3,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20-2x)(0<x<10)就是所求的函数关系式.激发学生的

学习兴趣

三、新知探讨

(一)某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?

在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并回答:

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

[利润=(售价-进价)×销售量]

2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

[10-8=2(元),(10-8)×100=200(元)]

3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10-8-x);(100+100x)]

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取,请求出它的范围,

[x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2]

5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20-2x)(0<x<10=化为:

y=-2x2+20x(0<x<10)……………………………(1)

将函数关系式y=(10-8-x)(100+100x)(0≤x≤2)化为:

y=-100x2+100x+20D(0≤x≤2)……………………(2)

结合问题学生自习课本

四人小组讨论交流,学生汇报。培养学生的探究能力,

合作交流、形成良好的课堂氛围。

四、新知探讨(二)1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考回答;

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式?

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点

相关知识

二次函数全章教案(新人教版九年级数学下)


教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西,大家正在计划自己的教案课件了。教案课件工作计划写好了之后,这样接下来工作才会更上一层楼!你们清楚教案课件的范文有哪些呢?以下是小编收集整理的“二次函数全章教案(新人教版九年级数学下)”,希望能为您提供更多的参考。

第一单元(26章)二次函数

第一课时:26.1二次函数(1)

教学目标:

(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯

教学重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点:求出函数的自变量的取值范围。

教学过程:

一、问题引新

1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积y(m2)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出这个函数的关系式,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?y=x(20-2x)

二、提出问题,解决问题

1、引导学生看书第二页问题一、二

2、观察概括

y=6x2d=n/2(n-3)y=20(1-x)2

以上函数关系式有什么共同特点?(都是含有二次项)

3、二次函数定义:形如y=ax2+bx+c(a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.

4、课堂练习

(1)(口答)下列函数中,哪些是二次函数?

(1)y=5x+1(2)y=4x2-1

(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+1

(2).P3练习第1,2题。

五、小结叙述二次函数的定义.

六、作业:课本第14页习题1.2

七、板书

第二课时:26.1二次函数(2)

教学目标:

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。

教学重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象

教学难点:用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。

教学过程:

一、问题引新

1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是什么?

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?

3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?

二、学习新知

1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。(有学生自己完成)

解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:

(2)描点(3)连线

x…-3-2-10123…

y…9410149…

找一名学生板演画图

提问:观察这个函数的图象,它有什么特点?(让学生观察,思考、讨论、交流,)

2、归纳:

抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点坐标(0,0)

3、运用新知

(1).观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?

(2).课件出示:在同一直角坐标系中,y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较

(3).将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?(课件出示)

让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;

当a0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。

当X0时,函数值y随着x的增大而______,当XO时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2(a0)取得最小值,最小值y=______

三、总结:函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0)。

四、课堂练习:练习册P练习1、2、3、4。

五、作业:1.画出函数y=1/2x2的图象?

2.写出函数y=ax2具有哪些性质?

第三课时:二次函数(3)

教学目标:

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+b性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。

教学重点:会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。

教学难点:正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系。

教学过程:

一、提出问题导入新课

1.二次函数y=2x2的图象具有哪些性质?

2.猜想二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、学习新知

1、问题1:画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象,并加以比较

问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗?

同学试一试,教师点评。

问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?

让学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,顶点坐标,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)。

师:你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗?

小组相互说说(一人记录,其余组员补充)

2、小组汇报:分组讨论这个函数的性质并归纳:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得最小值,最小值y=1。

3、做一做

在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别?

三、小结1、在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系?2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质?

四、作业:在同一直角坐标系中,画出(1)y=-2x2与y=-2x2-2;的图像

五:板书

第四课时26.1二次函数(4)

教学目标:

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解其性质,理解二次函数

y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。

重点:会用画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解其性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。

难点:理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。

教学过程:

一、提出问题导入新课

1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-12x2,y=-12x2-1的图象,并回答:

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?

二、学习新知

1、探究新知:学生画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象,并加以观察

教师巡视、指导。分组讨论,交流合作

2.、学生汇报:函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象,开口方向、对称轴和顶点坐标;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象怎样平移得到的。

师:由函数y=2x2的性质总结函数y=2(x-1)2的性质

3.让学生完成以下填空:

当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。

4、做一做

在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗?

让学生讨论、交流,举手发言,归纳:在y=2(x+1)2中,当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。

4、课堂练习:P11练习1、2、3。

三、小结:谈谈本节课的收获和体会。

四、作业

1.P19习题26.21(2)。

五、板书

第五课时26.1二次函数(5)

教学目标:

1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。

重点:,理解函数y=a(x-h)2+k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系,

难点:正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质

一、提出问题导入新课

1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系?函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?这就是本节要学习得内容。

二、学习新知

1、画图:在同一直角坐标系中画出函数y=2(x-1)2与y=2x2y=2(x-1)2+1的图象,看看它们之间有何的关系?在学生画函数图象时,教师巡视指导;

出示例3:你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?

教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,

函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x<1时,函数值y随x的增大而减小,当x>1时,函数值y随x的增大而增大;当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。

2:出示4(P10)

3、课堂练习:不画图像说说函数y=2(x-1)2-2与y=2(x-1)2的异同点

三、小结

1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?还存在什么困惑?

2.谈谈你的学习体会。

四、作业:

1.巳知函数y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象;

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=-12x2得到抛物线y=-12x2-1和抛物线y=12(x+1)2-1;

思考:函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

五、板书:

第六课时26.1二次函数(6)

教学目标:

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

重点:用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。

难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-b2a、(-b2a,4ac-b24a)是教学的难点。

教学过程:

一、提出问题导入新课

1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?具有哪些性质?

2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?

3.不画出图象,你能直接说出函数y=-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了

二、学习新知

1、思考:像函数y=-4(x-2)2+1很容易说出图像的顶点坐标,函数y=-1/2x2-6x+21能画成y=a(x-h)2+k这样的形式吗?

2、师生合作探索:y=-1/2x2-6x+21变成y=a(x-h)2+k的过程

3、做一做

(1).通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

在学生做题时,教师巡视、指导;让学生总结配方的方法;思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?

以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,汇报结果:

y=ax2+bx+c(配方变形的过程略)

当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。

对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a)

(2)、P12练习第1、2、3、4题

4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)

5、练一练P13练习第1、2

三、小结:通过本节课的学习,你学到了什么知识?有何体会?

四、作业:

1.填空:

(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;

(2)抛物线y=2x2-2x-52的开口_______,对称轴是_______;

(3)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______.

2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x2+2x;(2)y=-x2-2x

(3)y=-2x2+8x-8(4)y=12x2-4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质

五:板书

第七课时26.2用函数的观点看一元二次方程(1)

教学目标:

1.通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。

3.进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。

重点:使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。

难点:进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想。.

教学过程:

一、引导学生看书16页导入新课

像书中这样的问题,我们常常会遇到,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。本节课,我和同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。

二、探索问题,学习新知

1、问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。

根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是

y=-x2+2x+45。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?

思路如下:

(1).让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+45最大值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标;

(2)学生解答,教师巡视指导;一两位同学板演,教师点评。

2、出示例题:画出函数y=x2-x-34的图象。如图(4)所示。

教师引导学生观察函数图象,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-12,0)和(32,0)。

让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。

教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,从“形”的方面看,函数y=x2-x-34的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-34=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-34的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-34=0的解。更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

3、应用新知

根据图(4)象回答下列问题。

(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时y>0,?

(当-12<x<32时,;当x<-12或x>32时,y>0)

y<0即x2-x-34<0的解集是什么?y>0即x2-x-34>0的解集是什么?)

想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系?

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流:

(1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。

(2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。

三、小结:

1.通过本节课的学习,你有什么收获?有什么困惑?

2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明,元二次方程

ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。

四、作业:

1.二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点,求两交点间的距离。

2.已知函数y=x2-x-2。

(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,再画出图象

(2)观察图象确定:x取什么值时,①y=0,②y>0;③y<0。

五、板书:

第八课时:26.2用函数的观点看一元二次方程(2)

教学目标:

1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。

2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。

3.提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想。

重点;用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。

难点:提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点。

教学过程:

一、复习巩固导入新课

1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解?

2.画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。

学生练习的同时,教师巡视指导,根据学生情况进行讲评。(解:略)

二、探索问题学习新知

1、问题1:初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2=12x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0,画出函数y=x2-12x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解.

思考:

(1).这两种解法的结果一样吗?小刘解法的理由是什么?

(让学生讨论,交流,发表不同意见,并进行归纳。)

(2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?

(3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗?

(4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样?

2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确)

利用图像解下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。

(1)x2+x-1=0(精确到0.1);(2)2x2-3x-2=0。

注意:①要把(1)的方程转化为x2=-x+1,画函数y=x2和y=-x+1的图象;

②要把(2)的方程转化为x2=32x+1,画函数y=x2和y=32x+1的图象;

3、运用新知

已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。

(1)求这两个函数的关系式;

(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。

解:(1)因为点P(3,4m)在直线y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1

所以y1=x+1,P(3,4)。因为点P(3,4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上,所以有

4=18-24+k+8解得k=2所以y1=2x2-8x+10

(2)依题意,得y=x+1y=2x2-8x+10解这个方程组,得x1=3y1=4,x2=1.5y2=2.5

所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5)。

三、小结:1.如何用画函数图象的方法求方程韵解?

2.你能根据方程组:y=x2y=bx+c的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗?请说说你的看法。

四、作业:

1.利用函数的图象求下列方程的解:

(1)x2+x-6=0;,(2)y=x2+xy=5x-4

2.填空。

(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______。

(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______。

4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。

(1)求抛物线的关系式;

(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标.

五、板书:

第九课时26.1实际问题与二次函数

教学目标:

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。

重点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,应用函数的性质解答数学问题

难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,

教学过程:

一、复习旧知导入新课

1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10

以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。

二、学习新知

1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题

出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地,矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化,当L是多少时,围成的矩形面积S最大?

解:设矩形的一边为Lm,则矩形的另一边为(30-L)m,由于L>0,且30-L>O,所以O<L<30。

围成的矩形面积S与L的函数关系式是

S=L(30-L)

即S=-L2+30L

(有学生自己完成,老师点评)

2、引导学生自学P23页例2质疑点评

3、练一练:

(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?

请同学们完成解答;教师巡视、指导;师生共同完成解答过程:

解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是:y=(10-x-8)(100+1OOx)

即y=-1OOx2+1OOx+200配方得y=-100(x-12)2+225

因为x=12时,满足0≤x≤2。所以当x=12时,函数取得最大值,最大值y=225。

所以将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润最大。

小结:让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:

(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;

(2)研究自变量的取值范围;

(3)研究所得的函数;

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:

(5)解决提出的实际问题。

4、综合练习:P26习题第1、2、3题。

三、小结:1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?

2.谈谈你的收获和体会。

四、作业:

1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时,S最大?

2.填空:

(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x的值是______;

(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是______。

3.如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?

(3)比较(1)、(2)的结果,你能得到什么结论?

选做题:用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?

五、板书

第十课时26.1实际问题与二次函数

教学目标:

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。

重点:根据实际问题建立二次函数不同的数学模型,应用函数的性质解答数学问题

难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,

教学过程:

一、复习旧知导入新课

(1)建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32,请回答下列问题:

(1)花形柱子OA的高度;

(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?

(2).如图(7),一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-15x2+3.5

二、学习新知

1、引导学生自学P24页例2(既探究2)质疑点评

出示例3P25引导学生应用不同的方法去构建数学模型

重点讲解例3

2、练一练:

(1).如图是抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽46米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽43米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

三、小结:

1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?

2.谈谈你的收获和体会。

四、作业:

一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

五、板书

第十一课时《二次函数》小结与复习1

教学目标:

1、理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;

2、会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向;

3、能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。

重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。

难点:二次函数图象的平移。

教学过程:

一、结合例题,强化练习,梳理知识点

1.二次函数的概念,二次函数y=ax2(a≠0)的图象性质。

例1:已知函数是关于x的二次函数,

求:(1)满足条件的m值;

(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?

(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?

学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。

抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。

2.强化练习;已知函数是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。

3.用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,

例2:用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。

学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。

4.教师归纳点评:

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系:y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a

(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。

5.综合应用。

例3:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。

(1)求直线和抛物线的解析式;

(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。

6.强化练习:

(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。

(2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。

(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:

a和b的值

抛物线y=ax2的顶点和对称轴;

x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,

求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结

1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。

三、作业:

填空。

1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。

2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。

3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。

4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。

第十二课时《二次函数》小结与复习2

教学目标:

1、会用待定系数法求二次函数的解析式,

2、能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,

3、能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。

重点;用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。

难点:会运用二次函数知识解决有关综合问题。

教学过程:

一、结合例题,强化练习,梳理知识点

1、用待定系数法确定二次函数解析式.

例1:根据下列条件,求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。

(2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。

(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。

(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。

学生活动:学生讨论,四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。分组完成,点评解题要点。

教师归纳:二次函数解析式常用的有三种形式:

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)

(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

2、强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。

(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;

(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。

二、综合练习

1、出示例2:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。

(1)求抛物线的解析式;

(2)求抛物线的顶点坐标,

(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。

学生活动:学生小组讨论交流。

教师归纳:

2、强化练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。

(1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。

(2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。

(3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。

三、课堂小结

同位同学相互说说二次函数有哪些性质

归纳二次函数三种解析式的实际应用。

四、作业:

一、填空。

1.如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是_____。

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。

二、选择。

1.如图(1),二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,则下列结论成立的是()

A.a>0,bc>0B.a<0,bc<0C.a>O,bc<OD.a<0,bc>0

2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示,那么函数解析式为()

A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x-3

C.y=-x2-2x+3D.y=-x2-2x-3

3.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为()

A.a+cB.a-cC.-cD.c

4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示,下列结论中:①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正确的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

三、解答题。

已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。

(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点,

(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)

(3)设△ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧,求抛物线的解析式。

九年级上册《二次函数应用》导学案


为了促进学生掌握上课知识点,老师需要提前准备教案,大家在仔细规划教案课件。将教案课件的工作计划制定好,未来工作才会更有干劲!你们会写一段优秀的教案课件吗?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“九年级上册《二次函数应用》导学案”,仅供参考,欢迎大家阅读。

《二次函数应用》导学案

学习目标
1.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题
2.将实际问题转化为数学问题,并运用二次函数的知识解决实际问题。
学习重点和难点
运用二次函数的知识解决实际问题
课前准备:
学习过程:
一、自主尝试
1.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是()
A.B.C.D.
2.九年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的线路为抛物线,建立如图的平面直角坐标系,设篮球出手后离地的水平距离为xm,高度为ym,求y关于x的函数解析式。
二、互动探究
例1如图,某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m,如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.
求:(1)二次函数的解析式
(2)水流落地点D与喷头底部A的距离(精确到0.1)
例2:某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)建立如图的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
练习:
1.小明是学校田径队的运动员,根据测试资料分析,他掷铅球的出手高度为2米,如果出手后铅球在空中飞行的水平距离与高度之间的关系式为,那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离大约是多少?
2.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
三、反馈检测:评价手册
四、课外作业:同步练习

九年级上册《二次函数的应用》导学案


九年级上册《二次函数的应用》导学案

第49课时6.4二次函数的应用(1)

一、自主尝试

预习课本P25—26页,尝试解决下列问题:

问题1:某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划多承租100—150亩稻田.预计原360亩稻田今年每亩可收益440元,新增稻田x今年每亩的收益为元.试问:该种粮大户今年要多承租多少亩稻田,才能使总收益最大?最大收益是多少?

二、例题讲评

例1将进货为40元的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个.已知这时商品每涨价一元,其销售数就要减少20个.为了获得最大利益,售价应定为多少?

例2室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积.如果计划用一段长12m的铝合金型材,制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框(如图),那么当矩形的长、宽分别为多少时,才能使该窗户的透光面积最大(精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度)?

例3如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q两点同时出发,分别到达B、C两点后停止移动.

(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形APQCD的面积为S,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.

(2)t为何值时,S最小?最小值是多少?

巩固练习:

1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。问:每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?

2.如图,已知△ABC,矩形GDEF的DE边在BC边上.G、F分别在AB、AC边上,BC=5cm,

S△ABC为30cm2,AH为△ABC在BC边上的高,求△ABC的内接长方形的最大面积。

智者加速:

1.有一经销商,按市场价收购了一种活蟹1000千克,放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后每千克活蟹的市场价,每天可上升1元,但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元(放养期间蟹的重量不变)。

⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元,写出P关于x的函数关系式.

⑵如果放养x天将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式。

⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润,(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?

2.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:

x(元)

15

20

30

y(件)

25

20

10

若日销售量y是销售价x的一次函数。

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;

(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

三、我的心得

文章来源:http://m.jab88.com/j/76389.html

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