第二章分解因式
§2.1分解因式
知识与技能目标:
1.使学生了解因式分解的意义。
2.知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
过程与方法目标:
1.通过观察,发现分解因式与整式乘法的关系。
2.培养学生的观察能力和语言概括能力。
情感态度与价值观目标:
1.通过观察,推导分解因式与整式乘法的关系。
2.让学生了解事物间的因果联系
教学重点
1.理解因式分解的意义;
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
教学难点
通过观察,归纳分解因式与整式乘法的关系.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
有两个边长为1的正方形,剪刀.
投影片两张:
第一张:做一做(记作§2.1.1A);
第二张:补充练习(记作§2.1.1B).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
计算(a+b)(a-b)=a2-b2.
这是大家学过的平方差公式,我们是在整式乘法中学习的.从式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看,由等号左边可以推出等号右边,那么从等号右边能否推出等号左边呢?即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢?
a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的,那么如何去推导呢?这就是我们即将学习的内容:因式分解的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流.
93-99能被100整除.因为993-99=99×992-99=99×(992-1)=99×9800=99×98×100,其中有一个因数为100,所以993-99能被100整除.
993-99还能被哪些正整数整除?(99,98,980,990,9702)
从上面的推导过程看,等号左边是一个数,而等号右边是变成了几个数的积的形式.
2.议一议
你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.
大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式.
a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)
3.做一做
(1)计算下列各式:
①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________;
③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________;
⑤a(a+1)(a-1)=__________.
(2)根据上面的算式填空:
①3x2-3x=()();②m2-16=()();
③ma+mb+mc=()();④y2-6y+9=()2.
⑤a3-a=()().
能分析一下两个题中的形式变换吗?
在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
4.想一想
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?你还能举一些类似的例子加以说明吗?
总结一下:
联系:等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别:等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式,是乘法运算.
所以,因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.例题
下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解?
(1)4a(a+2b)=4a2+8ab;(2)6ax-3ax2=3ax(2-x);
(3)a2-4=(a+2)(a-2);(4)x2-3x+2=x(x-3)+2.
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义,即把一个多项式化成几个整式的积的形式;还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业
见作业本
六、活动与探究
已知a=2,b=3,c=5,求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.
VI板书设计
§2.1分解因式
一、1.讨论993-99能被100整除吗?
2.议一议3.做一做
4.想一想
5.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小结
§2.2.1提公因式法(一)
知识与技能目标:
1.让学生了解多项式公因式的意义。
2.初步会用提公因式法分解因式。
过程与方法目标:
1.通过找公因式,培养学生的观察能力。
情感态度与价值观目标:
1.在用提公因式法分解因式时,先让学生自己找公因式,然后大家讨论结果的正确性。
2.让学生养成独立思考的习惯,同时培养学生的合作交流意识。
3.还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.
教学重点
能观察出多项式的公因式,并根据分配律把公因式提出来.
教学难点
让学生识别多项式的公因式
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
一块场地由三个矩形组成,矩形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.
从两种不同的解答过程看,解法一是按运算顺序:先算乘,再算和进行的,解法二是先逆用分配律算和,再计算一次乘,由此可知解法二要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为积的形式,而提取公因式就是化积的一种方法.
Ⅱ.讲授新课
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
若将刚才的问题一般化,即三个矩形的长分别为a、b、c,宽都是m,则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m(a+b+c),可以用等号来连接.
从上面的等式中,大家注意观察等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?
由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式,因此m叫做这个多项式的各项的公因式.
由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
例1将下列各式分解因式:
(1)3x+6;(2)7x2-21x;(3)8a3b2-12ab3c+abc;(4)-24x3-12x2+28x.
分析:首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.
3.议一议
通过刚才的练习,下面大家互相交流,总结出找公因式的一般步骤.
首先找各项系数的最大公约数,如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母,如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.
4.想一想
从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系?
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
Ⅲ.课堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
(1)ma+mb;(2)4kx-8ky;(3)5y3+20y2;(4)a2b-2ab2+ab。
2.把下列各式分解因式
(1)8x-72=8(x-9)(2)a2b-5ab=ab(a-5)
(3)4m3-6m2=2m2(2m-3)(4)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)
(5)-a2+ab-ac=-(a2-ab+ac)=-a(a-b+c)
(6)-2x3+4x2-2x=-(2x3-4x2+2x)=-2x(x2-2x+1)
3.把3x2-6xy+x分解因式。3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)。
将x写成x1,这样可知提出一个因式x后,另一个因式是1.
Ⅳ.课时小结
1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式,关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
(1)若各项系数是整系数,取系数的最大公约数;
(2)取相同的字母,字母的指数取较低的;
(3)取相同的多项式,多项式的指数取较低的.
(4)所有这些因式的乘积即为公因式.
4.初学提公因式法分解因式,最好先在各项中将公因式分解出来,如果这项就是公因式,也要将它写成乘1的形式,这样可以防范错误,即漏项的错误发生.
5.公因式相差符号的,如(x-y)与(y-x)要先统一公因式,同时要防止出现符号问题.
Ⅴ.课后作业
利用分解因式计算:(1)32004-32003;(2)(-2)101+(-2)100.
VI板书设计
§2.2.1提公因式法(一)
一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念
2.例题讲解(例1)
3.议一议(找公因式的一般步骤)4.想一想
二、课堂练习(1.随堂练习,2.补充练习)
三、课时小结
§2.2.2提公因式法(二)
知识与技能目标:
1.进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。
过程与方法目标:
1.进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。
情感态度与价值观目标:
通过观察能合理地进行分解因式的推导,并能清晰地阐述自己的观点.
教学重点
能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.
教学难点
准确找出公因式,并能正确进行分解因式.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.
Ⅱ.讲授新课
1.例题讲解
例2把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.
分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来.
例3把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
分析:虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,如y-x=-(x-y)(m-n)3与(n-m)2也是如此.
2.做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:
(1)2-a=________(a-2);(2)y-x=________(x-y);
(3)b+a=________(a+b);(4)(b-a)2=________(a-b)2;
(5)-m-n=________-(m+n);(6)-s2+t2=________(s2-t2).
Ⅲ.课堂练习
1.把下列各式分解因式:
(1)x(a+b)+y(a+b);(2)3a(x-y)-(x-y);
(3)6(p+q)2-12(q+p);(4)a(m-2)+b(2-m);
(5)2(y-x)2+3(x-y);(6)mn(m-n)-m(n-m)2.
2.补充练习
把下列各式分解因式
5(x-y)3+10(y-x)2;m(a-b)-n(b-a)
m(m-n)+n(n-m);m(m-n)-n(m-n)
m(m-n)(p-q)-n(n-m)(p-q);(b-a)2+a(a-b)+b(b-a)
Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.
Ⅴ.课后作业
见作业本
把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)(b-a-c)分解因式.
参考练习
把下列各式分解因式:
1.a(x-y)-b(y-x)+c(x-y);2.x2y-3xy2+y3;
3.2(x-y)2+3(y-x);4.5(m-n)2+2(n-m)3.
参考答案:
1.(x-y)(a+b+c);2.y(x2-3xy+y2);
3.(x-y)(2x-2y-3);4.(m-n)2(5-2m+2n).
VI板书设计
§2.2.2提公因式法(二)
一、1.例题讲解
2.做一做
二、课堂练习
三、课时小结
§2.3.1运用公式法(一)
知识与技能目标:
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义。
2.使学生掌握用平方差公式分解因式。
3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法目标:
1.通过对平方差公式特点的辨析,培养学生的观察能力。
2.训练学生对平方差公式的运用能力。
情感态度与价值观目标:
1.在引导学生逆用乘法公式的过程中,培养学生逆向思维的意识。
2.同时让学生了解换元的思想方法。
教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
教学难点
将某些单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项,不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.讲授新课
1.请看乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2(1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是
a2-b2=(a+b)(a-b)(2)
左边是一个多项式,右边是整式的乘积.判断,第二个式子从左边到右边是否是因式分解?
2.公式讲解
观察式子a2-b2,找出它的特点.
是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.
如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4);9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)。
3.例题讲解
例1把下列各式分解因式:
(1)25-16x2;(2)9a2-b2.
例2把下列各式分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x.
说明:例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.
补充例题:判断下列分解因式是否正确.
(1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2;(2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)(a2-1).
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.判断正误
(1)x2+y2=(x+y)(x-y);(2)x2-y2=(x+y)(x-y);
(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y);(4)-x2-y2=-(x+y)(x-y).
2.把下列各式分解因式
(1)a2b2-m2;(2)(m-a)2-(n+b)2;
(3)x2-(a+b-c)2;(4)-16x4+81y4。
3.见课本。
(二)补充练习
把下列各式分解因式
(1)36(x+y)2-49(x-y)2;(2)(x-1)+b2(1-x);(3)(x2+x+1)2-1.
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,则第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.
第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.
Ⅴ.课后作业
把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式
见作业本
VI板书设计
§2.3.1运用公式法(一)
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
3.例题讲解补充例题
二、课堂练习
三、课时小结
§2.3.2运用公式法(二)
知识与技能目标:
1.使学生会用完全平方公式分解因式。
2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式。
过程与方法目标:
1.在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中,培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。
情感态度与价值观目标:
1.通过综合运用提公因式法、完全平方公式,分解因式,进一步培养学生的观察和联想能力.
教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
教学难点
让学生学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
因式分解是整式乘法的反过程,倒用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提取公因式法、运用平方差公式法.现在,大家自然会想,还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?
在前面我们不仅学习了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,而且还学习了完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2。本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?
将完全平方公式倒写:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢?互相交流,找出这个多项式的特点.
左边的特点有:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点:这两数或两式和(差)的平方.
用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
练一练:下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4;(2)x2+4x+4y2;(3)4a2+2ab+b2;
(4)a2-ab+b2;(5)x2-6x-9;(6)a2+a+0.25.
2.例题讲解
例1把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.
分析:大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
例2把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.
分析:对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.
Ⅲ.课堂练习
a.随堂练习
b.补充练习
把下列各式分解因式:
(1)4a2-4ab+b2;(2)a2b2+8abc+16c2;
(3)(x+y)2+6(x+y)+9;(4)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;
(5)-+n2;(6)x2y-x4-。
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是:
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符号可正可负.
同时,我们还学习了若一个多项式有公因式时,应先提取公因式,再用公式分解因式.
Ⅴ.课后作业
写出一个三项式,再把它分解因式(要求三项式含有字母a和b,分数、次数不限,并能先用提公因式法,再用公式法分解因式.
见作业本
VI板书设计
§2.3.2运用公式法(二)
一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
2.例题讲解(例1、例2)
二、课堂练习
a.随堂练习
b.补充练习
§2.4回顾与思考
知识与技能目标:
1.复习因式分解的概念,以及提公因式法,运用公式法分解因式的方法,使学生进一步理解有关概念,能灵活运用上述方法分解因式。
2.熟悉本章的知识结构图。
过程与方法目标:
1.通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力。
2.在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
情感态度与价值观目标:
1.通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力。
2.通过应用因式分解方法进行简便运算,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
教学重点
复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
教学难点
利用分解因式进行计算及讨论.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.
Ⅱ.讲授新课
(一)讨论推导本章知识结构图
请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
(1)有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.(2)分解因式与整式乘法的关系.(3)分解因式的方法.
能否把本章的知识结构图绘出来呢?(若学生有困难,给予帮助)
(二)重点知识讲解
1.举例说明什么是分解因式.
如15x3y2+5x2y-20x2y3=5x2y(3xy+1-4y2)
把多项式15x3y2+5x2y-20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1-4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y-20x2y3分解因式.
学习因式分解的概念应注意以下几点:
(1)因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
(2)把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m(a+b+c),从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.
3.分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和运用公式法.
4.例题讲解
例1下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
(1)x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2;(2)6x2y3=3xy2xy2;
(3)(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2;(4)4ab+2ac=2a(2b+c)。
例2将下列各式分解因式.
(1)8a4b3-4a3b4+2a2b5;(2)-9ab+18a2b2-27a3b3;
(3)-x2;(4)9(x+y)2-4(x-y)2;
(5)x4-25x2y2;(6)4x2-20xy+25y2;
(7)(a+b)2+10c(a+b)+25c2.
例3把下列各式分解因式:
(1)x7y3-x3y3;(2)16x4-72x2y2+81y4。
从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
分解因式的一般步骤为:
(1)若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习
1.把下列各式分解因式
(1)16a2-9b2;(2)(x2+4)2-(x+3)2;
(3)-4a2-9b2+12ab;(4)(x+y)2+25-10(x+y)
2.利用因式分解进行计算
(1)9x2+12xy+4y2,其中x=,y=-;
(2)()2-()2,其中a=-,b=2.
Ⅳ.课时小结
1.共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业
复习题A组
求满足4x2-9y2=31的正整数解.
VI板书设计
2.6回顾与思考
一、1.讨论推导本章知识结构图
2.重点知识讲解
(1)举例说明什么是因式分解.
(2)分解因式与整式乘法有什么关系?
(3)分解因式常用的方法有哪些?
(4)例题讲解(例1、例2、例3)
(5)分解因式的一般步骤
二、课堂练习
四、课后作业
《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(提高)知识讲解
【学习目标】
1.了解平移、旋转、中心对称,探索它们的基本性质;
2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形,能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形;
3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计;
4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1.平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.
要点诠释:
(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换;
(2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离;
(3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小.
2.平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
要点诠释:
(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征;
(2)“对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.
3.平移与坐标变换:
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律:在平面直角坐标中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).
要点诠释:上述结论反之亦成立,即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换.
(2)图形的平移
平移是图形的整体运动.在平面直角坐标系内,一个图形进行了平移变化,则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化,其变化规律遵循:“右加左减,纵不变;上加下减,横不变”.
要点诠释:
(1)上述结论反之亦成立,即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
(2)一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形,可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
要点二、旋转变换
1.旋转概念:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
要点诠释:
(1)旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同,但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.
(2)旋转的角度一般小于360°.
(3)旋转的三个要素:旋转中心、旋转角度和旋转方向(即顺时针或逆时针方向)
2.旋转变换的性质:
一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
3.旋转作图步骤:
①分析题目要求,找出旋转中心,确定旋转角.
②分析所作图形,找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向,按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④按原图形连结方式顺次连结各对应点.
要点三、中心对称与图案设计
1.中心对称:
把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心,这两个图形称为成中心对称的.
要点诠释:中心对称的性质:
成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.
2.中心对称图形:
把一个图形绕着某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.
要点诠释:中心对称作图步骤:
①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心,并且延长至2倍,得到各点的对称点.
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
3.图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求;
②分析设计图案所给定的基本图案;
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换,实现由基本图案到各部分图案的有机组合;
④对图案进行修饰,完成图案.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系:
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后,虽然对应位置改变了,但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的.
【典型例题】
类型一、平移变换
1.阅读理解题.
(1)两条直线a,b相交于一点O,如图①,有两对不同的对顶角;
(2)三条直线a,b,c相交于点O,如图②,则把直线平移成如图③所示的图形,可数出6对不同的对顶角;
(3)四条直线a,b,c,d相交于一点O,如图④,用(2)的方法把直线c平移,可数出对不同的对顶角;
(4)n条直线相交于一点O,用同样的方法把直线平移后,有对不同的对顶角;
(5)2013条直线相交于一点O,用同样的方法把直线平移后,有对不同的对顶角.
【思路点拨】
(3)画出图形,根据图形得出即可;
(4)根据以上能得出规律,有n(n-1)对不同的对顶角;
(5)把n=2013代入求出即可.
【答案与解析】
解:(3)
如图有12对不同的对顶角,
故答案为:12.
(4)有n(n-1)对不同的对顶角,
故答案为:n(n-1);
(5)把n=2013代入得:2013×(2013-1)=4050156,
故答案为:4050156.
【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用,关键是能根据题意得出规律.
举一反三:
【变式】(2017莒县模拟)如图,△ABC的面积为2,将△ABC沿AC方向平移至△DFE,且AC=CD,则四边形AEFB的面积为().
A.6B.8C.10D.12
【答案】C
2.(2015春召陵区期中)如图①,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分),在图②中,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).
(1)在图③中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用阴影表示;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b):S1=,S2=,S3=;
(3)如图④,在一块长方形草地上,有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位),请你求出空白部分表示的草地面积是多少?
(4)如图⑤,若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的度都是1个单位),请你求出空白部分表示的草地的面积是多少?
【思路点拨】(1)根据题意,直接画图即可,注意答案不唯一,只要画一条有两个折点的折线,得到一个封闭图形即可.
(2)结合图形,根据平移的性质可知,①②③中阴影部分的面积都可看作是以a﹣1为长,b为宽的长方形的面积.
(3)结合图形,通过平移,阴影部分可平移为以a﹣2米为长,b米为宽的长方形,根据长方形的面积可得小路部分所占的面积.
(4)结合图形可知,小路部分所占的面积=a米为长,b米为宽的长方形的面积﹣a米为长,1米为宽的长方形的面积﹣2米为长,b米为宽的长方形的面积+2米为长,1米为宽的长方形的面积.
【答案与解析】
解:(1)画图如下:
(2)S1=ab﹣b,S=ab﹣b,S2=ab﹣b,S3=ab﹣b
猜想:依据前面的有关计算,可以猜想草地的面积仍然是ab﹣b
方案:1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;
2、将左侧的草地向右平移一个单位;
3、得到一个新的矩形
理由:在新得到的矩形中,其纵向宽仍然是b.其水平方向的长变成了a﹣1,
所以草地的面积就是:b(a﹣1)=ab﹣b.
(3)∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位,
∴空白部分表示的草地面积是(a﹣2)b;
(4)∵小路任何地方的宽度都是1个单位,
∴空白部分表示的草地面积是ab﹣a﹣2b+2.
【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案,用到的知识点是矩形的性质和平移的性质,能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键.
举一反三:
【变式】如图,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移距离是边BC长的两倍,则图中四边形ACED的面积为().
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.无法确定
【答案】B.
四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD,而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC.
类型二、旋转变换
3.正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,回答下列问题:
(1)在图中1,可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使△OAF变到△OBE的位置.请说出其变化过程.
(2)指出图(1)中AF和BE之间的关系,并证明你的结论.
(3)若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上,且OE=OF(如图2),则(2)中的结论仍然成立吗?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明你的理由.
【思路点拨】
(1)根据图形特点即可得到答案;
(2)延长AF交BE于M,根据正方形性质求出AB=BC,∠AOB=∠BOC,证△AOF≌△BOE,推出AF=BE,∠FAO=∠EBO,根据三角形内角和定理证出即可;
(3)延长EB交AF于N,根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,得到∠ABF=∠BCE,同法可证△ABF≌△BCE,推出AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可.
【答案与解析】
解:(1)旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度.
(2)图(1)中AF和BE之间的关系:AF=BE;AF⊥BE.
证明:延长AF交BE于M,
∵正方形ABCD,
∴AC⊥BD,OA=OB,
∴∠AOB=∠BOC=90°,
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE(SAS),
∴AF=BE,∠FAO=∠EBO,
∵∠EBO+∠OEB=90°,
∴∠FAO+∠OEB=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
(3)成立;
证明:延长EB交AF于N,
∵正方形ABCD,
∴∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,
∵∠ABF+∠ABD=180°,∠BCE+∠ACB=180°,
∴∠ABF=∠BCE,
∵AB=BC,BF=CE,
∴△ABF≌△BCE,
∴AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°,
∴∠E+∠FAB=45°,
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°,
∴∠ANE=180°-90°=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,旋转的性质等知识点的连接和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
4.如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接
EF.将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2).
(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;
(2)当=30°时,求证:△AOE1为直角三角形.
【思路点拨】(1)要证AE1=BF1,就要首先考虑它们是全等三角形的对应边;
(2)要证△AOE1为直角三角形,就要考虑证∠E1AO=90°.
【答案与解析】
解:(1)AE1=BF1,证明如下:
∵O为正方形ABCD的中心,∴OA=OB=OD.∴OE=OF.
∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到,∴OE1=OF1.
∵∠AOB=∠EOF=900,∴∠E1OA=900-∠F1OA=∠F1OB.
在△E1OA和△F1OB中,,
∴△E1OA≌△F1OB(SAS).
∴AE1=BF1.
(2)取OE1中点G,连接AG.
∵∠AOD=900,=30°,
∴∠E1OA=900-=60°.
∵OE1=2OA,∴OA=OG,∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°.
∴AG=GE1,∴∠GAE1=∠GE1A=30°.
∴∠E1AO=90°.
∴△AOE1为直角三角形.
【总结升华】正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的判定.
举一反三:
【变式】在等边三角形ABC中有一点P,已知PC=2,PA=4,PB=,则∠APB=.
【答案】90°
类型三、中心对称与图形设计
5.如图,方格纸中四边形ABCD的四个顶点均在格点上,将四边形ABCD向右平移5格得到四边形A1B1C1D1.再将四边形A1B1C1D1,绕点A逆时针旋转180°,得到四边形A1B2C2D2.
(1)在方格纸中画出四边形A1B1C1D1和四边形A1B2C2D2.
(2)四边形ABCD与四边形A1B2C2D2.是否成中心对称?若成中心对称,请画出对称中心;若不成中心对称,请说明理由.
【思路点拨】
(1)首先把各个顶点平移,以及作出对称点,然后顺次连接各个对称点即可作出对称图形;
(2)观察所作图形,对称点连线的交点就是对称中心.
【答案与解析】
解:(1)
(2)两个图形关于点O对称中心.
【总结升华】本题考查旋转变换作图,在找旋转中心时,要抓住“动”与“不动”,看图是关键.
举一反三:
【变式】(罗平县校级期末)每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,
①写出A、B、C的坐标.
②以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出A1、B1、C1.
【答案】
解:①A(1,﹣4),B(5,﹣4),C(4,﹣1);
②A1(﹣1,4),B1(﹣5,4),C1(﹣4,1),如图所示:
6.如图,这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的?你能依照其中的图案自己设计一个图案吗?
【答案与解析】
解:(1)答案不惟一,可以看作是一个小正方形图案连续平移48次,平移前后所有的图形共同组成的图案.
(2)答案不唯一,可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形,以直角顶点为中心、按同一个方向分别旋转,旋转前后的四个图形共同组成的图案.
【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识,基本图案的寻找较为灵活,对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同.
举一反三:
【变式】下列图形中,能通过某个基本图形平移得到的是().
A.B.C.D.
【答案】D.
老师职责的一部分是要弄自己的教案课件,是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划,接下来的工作才会更顺利!你们到底知道多少优秀的教案课件呢?下面是小编为大家整理的“八年级数学下第七章数据的收集、整理、描述期中复习导学案”,希望能对您有所帮助,请收藏。
2014/2015学年度第二学期期中复习导学案
第七章数据的收集、整理、描述
复习目标:
1、能正确说出数据收集及整理描述的方法及知识要点。
2、能应用相关的方法和知识解决相关问题。3、能根据数据的整理描述进行决策和获取信息。
学习重点:应用学习的方法和知识解决相关问题;
学习难点:根据数据的整理描述决策。
学习过程:
【课前准备】知识点回顾:
1、普查和抽样调查:
普查:为了特定目的而对所有考察对象进行的___________调查,称为普查。
抽查:从所有考察对象中___________________________进行调查,这种调查称为抽样调查。
简称抽查。
2、总体、个体、样本、样本容量:
总体:_________________________________________为总体。
个体:组成总体的_______________________________称为个体。
样本:从总体中_________________________________叫做总体的一个样本。
样本容量:样本中的个体的_________________叫做样本容量。
3、普查和抽查的优缺点?
普查是通过调查总体来收集数据,调查的结果准确,但往往工作量大,难度大,而且有些抽查对象不宜使用普查。抽样调查是通过调查样本来收集数据,抽查的工作量较小,便于进行。但样本的抽取是否恰当,直接关系到对总体的估计的准确程度,为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意所选取样本的__________性和___________性。
4、代表性、广泛性分别指什么?
在现实生活中,当我们所要考察的总体中包含的个体数很多,有时总体中个数较多且总体有明显差异的几个部分组成时,我们应注意抽出的样本就必须有较强的代表性.每个部分都应抽取到,而且应注意各部分的比例.广泛性是指总体中的每个个体均有被选的可能。
5、统计图的选用:
①统计图的特点:
扇形统计图:能够清晰地表示各部分在总体中所占的_________以及各部分之间的大小关系。
条形统计图:能够清晰地反映每个项目的_________________及其之间的大小关系。
折线统计图:能够清晰地反映同一事物在不同时期的____________________。
②统计图的作用:
可以清晰明确地表达数据;可以对数据进行分析;可以从中获得很多信息;
可以帮助人们作出合理的决策。
6、频数和频率:
某个对象出现的________称为频数;频数与_______________的比值称为频率。
7、绘制频数分布直方图的一般步骤:
①计算最____值和最____值的差;②决定组距和组数;③决定分点;④列频数分布表;
⑤绘制频数分布直方图。
注意点:⑴组距一般取6~12组较确当;⑵组数取进一法;⑶分点的数据有两种方法决
定:所有数据减去0.5或指定在前一组(或后一组);⑷直方图中小正方形面积要准确。
基础演练:
1.下列调查中,适合进行普查的是()
A.《新闻联播》电视栏目的收视率B.我国中小学生喜欢上数学课的人数
C.一批灯泡的使用寿命D.一个班级学生的体重
2.学校以年级为单位开展广播操比赛,全年级有个班级,每个班级有名学生,规定每班抽名学生参加比赛,这时样本容量是()
A.13B.50C.650D.325
3.某市有名学生参加考试,为了了解考试情况,从中抽取名学生的成绩进行统计分析,在这个问题中,有下列三种说法:
①名考生是总体的一个样本;②名考生是总体;③样本容量是
其中正确的说法有()A.0种B.1种C.2种D.3种
4.某校七班的全体同学最喜欢的球类运动用如图所示的统计图来表示,下面说法正确的是()
A.从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数
B.从图中可以直接看出全班的总人数
C.从图中可以直接看出全班同学一学期来喜欢各种球类的变化情况
D.从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类的人数的大小关系
5.妈妈做了一份美味可口的菜品,为了了解菜品的咸淡是否合适,于是妈妈取了一点品尝,这应该属于________.(填“普查”或“抽样调查”)
6.学校团委会为了举办“庆祝五四”活动,调查了本校所有学生,调查结果如图所示,根据图中给出的信息,这次学校赞成举办郊游活动的学生有人.
7.下列调查中,哪些用的是普查方式,哪些用的是抽样调查方式?
(1)了解一批空调的使用寿命;
(2)出版社审查书稿的错别字的个数;
(3)调查全省全民健身情况.
8.请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性:
(1)在大学生中调查我国青年业余时间娱乐的主要方式;
(2)在公园里调查老年人的健康状况;
(3)调查一个班级里学号为3的倍数的学生,以了解学生们对班主任老师某一新举措的意见和建议.
9.请指出下列抽样调查的总体、个体、样本、样本容量分别是什么?
(1)为了了解某种家用空调工作1小时的用电量,调查10台该种空调每台工作1小时的用电量;
(2)为了了解某校八年级名学生的视力情况,从中抽取名学生进行视力检查.
典型例题:
1、某市今年有9068名初中毕业生参加升学考试,从中抽出300名考生的成绩进行分析。在这个问题中,总体是_____________________________;个体是______________________________;样本是____________________________________;样本容量是__________.
2、为了了解本校九年级学生的体能情况,随机抽查了其中30名学生,测试了1分钟仰卧起坐的次数,并绘制成如图所示的频数分布直方图,请根据图示计算,仰卧起坐次数在25~30次的频率是()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
3、某校志愿者协会对报名参加区田径运动会志愿者选拔活动的学生进行了一次与田径运动有关的知识测试,小亮对自己班报名参加测试的同学的测试成绩作了适当的处理,将成绩分成三个等级:一般、良好、优秀,并将统计结果绘成了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中所给信息解答下列问题:
(1)请将两幅统计图补充完整;
(2)小亮班共有名学生参加了这次测试,如果志愿者协会决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试,那么小亮班有人将参加下轮测试;
(3)若某校共有600名学生报名参加了这次志愿者选拔活动的测试,请以小亮班的测试成绩的统计结果来估算全校共有多少名学生可以参加下一轮的测试.
4、为了让学生增强环保意识,某中学举行一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛,为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取50名学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计,请你根据下面尚未完成的频数分布表和频数分布直方图,解答下列问题:
分组频数频率
50.5-60.540.08
60.5-70.580.16
70.5-80.5100.20
80.5-90.5160.32
90.5-100.5
合计
(1)填充频数分布表中的空格;
(2)补全频数分布直方图;
(3)全体参赛学生中,竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多?若成绩在90以上(不含90)为优秀,则请你估计一下该校成绩优秀学生约为多少人?
巩固提升:
一、选择题:
1.下列调查中,适合用全面调查方式的是()
A.了解我市百岁以上老人的健康情况B.了解某市中学生课外阅读的情况
C.了解一批炮弹的杀伤半径D.了解一批袋装食品是否含有防腐剂
2.今年我市有近4万名考生参加中考,为了解这些考生的数学成绩,从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是()
A.这1000名考生是总体的一个样本B.近4万名考生是总体
C.每位考生的数学成绩是个体D.1000名学生是样本容量
3.统计得到的一组数据有80个,其中最大值为141,最小值为50,取组距为10,可以分成()A.10组B.9组C.8组D.7组
4.在频数分布直方图中,各小长方形的高等于相应组的()
A.组距B.组数C.频数D.频率
5.某单位有职工100名,按他们的年龄分成8组,在40~42(岁)组内有职工32名,那么这个小组的频率是()A.0.12B.0.38C.0.32D.32
6.已知样本:14、8、10、7、9、7、12、11、13、8、10、10、8、11、10、11、13、9、12、9,那么样本数据落在范围8.5~11.5内的频率()
A.0.52B.0.4C.0.25D.0.5
7.如图为某市第一季度用电量的扇形统计图,则2月份用电量占
第一季度用电量的百分比为()
A.60%B.64%C.54%D.74%
8.一个扇形统计图中,扇形A、B、C、D的面积之比为2∶3∶3∶4,
则最大扇形的圆心角为()A.80°B.100°C.120D.150°
9.如图,下列说法正确的是()
A.步行人数最少只为90人B.步行人数为50人
C.坐公共汽车的人数占总数的50%D.步行与骑自行车的人数和比坐公共汽车的人数要少
10.某公司的生产量在七个月之内的增长变化情况如图所示,从图上看,下列结论不正确的是()A.2~6月生产量增长率逐月减少B.7月份生产量的增长率开始回升
C.这七个月中,每月生产量不断上涨D.这七个月中,生产量有上涨有下跌
11.为保障人民群众的身体健康,在预防“非典”期间,有关部门加强对市场的监督力度在对某商店检查,抽检5包口罩(每包10只),5包口罩中合格的罩的只数分别是9,10,9,10,10,则估计该商店出售的这批口罩的合格率为()
A.95℅B.96℅C.97℅D.98℅
12.为了解中学生获取资讯的主要渠道,设置“A:报纸,B:电视,C:网络,D:身边的人,E:其他”五个选项(五项中必选且只能选一项)的调查问卷,先随机抽取50名中学生进行该问卷调查,根据调查的结果绘制条形图如图,该调查的方式是(),图1中的a的值是()
A.全面调查,26B.全面调查,24C.抽样调查,26D.抽样调查,24
二、填空题:
13.近几年,人们的环保意识逐渐增加,“白色污染”现象越来越受到人们的重视.小颖同学想了解班上同学家里在一年内丢弃废塑料袋的个数,你认为采用______调查方式合适一些.
14.某超市对今年前两个季度每月销售总量进行统计,为了更清楚地看出销售总量的总趋势是上升还是下降,应选用统计图来描述数据.
15.为了考查某市5万名初中数学调研考试的成绩情况,从中抽取600人的数学成绩进行检查,在这个问题中总体是,样本是,
个体是__,样本容量是。
16.在一个扇形统计图中,有一个扇形占整个圆的30%,则这个扇形圆心角是°.
17.有一些乒乓球,不知其数量,先取6个作了标记,把它们放回袋中,混合均匀后又取了20个,发现含有两个做标记的,可以估计这袋乒乓球有个.
18.将收集到的40个数据进行整理分组,已知落在某一区间内的频数是5,则该组的频率是.
19.将一批数据分成4组,列出频率分布表,其中第一组的频率是0.27,第二与第四组的频率之和是0.54,那么第三组的频率是.
20.某商场为了解本商场的服务质量,随机调查了来本商场
购物的100名顾客,调查的结果如图所示,根据图中给出的
信息可知,这100名顾客中对该商场的服务质量表示不满意
的有人.
21.小亮一天的时间安排如图所示,请根据图中
的信息计算:小亮一天中,上学、做家庭作业
和体育锻炼的总时间占全天时间的%.
22.为了了解初三毕业学生一分钟跳绳次数的情况,某校抽取
一部分初三毕业生行一分钟跳绳次数的测试,将所得的数据
进行处理,可得频率分布表.
组别分组频数频率
189.5~99.540.04
299.5~109.530.03
3109.5~119.5460.46
4119.5~129.5be
5129.5~139.560.06
6139.5~149.520.02
合计a1.00
(1)在这个问题中,总体是
(2)b=e=.
(3)若次数在110次(含110次)以上为达标,试估计该校初三毕业一分钟跳绳的
达标率为。
文章来源:http://m.jab88.com/j/62755.html
更多