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八年级上与角有关的辅助线讲义随堂测试习题

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有制定教案课件工作计划,才能对工作更加有帮助!你们知道多少范文适合教案课件?考虑到您的需要,小编特地编辑了“八年级上与角有关的辅助线讲义随堂测试习题”,大家不妨来参考。希望您能喜欢!

与角有关的辅助线(讲义)
课前预习
1.如图,∠AOB=130°,OC⊥OB于点O,求∠AOC的度数.
解:如图,
∵OC⊥OB(已知)
∴____________(垂直的定义)
∵∠AOB=130°(已知)
∴∠AOC=____________
=____________
=______(等式的性质)

知识点睛
1.为了解决几何问题,在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助线通常画成________.
2.辅助线的原则:添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立______和______之间的桥梁,把问题转化成自己已经会解的情况.
3.辅助线的作用:
①________________________________________________;
②________________________________________________.
4.添加辅助线的注意事项:____________________________.

精讲精练
1.如图,AB∥CD,∠E=27°,∠C=52°,则∠EAB的度数为______________.
2.如图,∠BAF=46°,∠ACE=136°,CD⊥CE.
求证:AB∥CD.

3.已知:如图,直线AB∥CD,∠EFG=130°,∠DGH=40°.
你认为EF⊥AB吗?请说明理由.

4.已知:如图,AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点.
求证:∠EPF=∠AEP+∠CFP.

5.如图,l1∥l2,∠1=105°,∠2=40°,则∠3=___________.

6.已知:如图,AB∥EF,∠B=25°,∠D=30°,∠E=10°,则
∠BCD=________.

7.已知:如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.
求证:β=2α.

8.已知:如图,CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC.
求证:AB∥GF.

9.已知:如图,在四边形ABDC中.
求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C.

【参考答案】
课前预习
1.∠COB=90°
∠AOB-∠COB
130°-90°
40°
知识点睛
1.虚线
2.已知,未知
3.①把分散的条件转为集中
②把复杂的图形转化为基本图形
4.明确目的,多次尝试
精讲精练
1.79°
2.证明:如图,延长DC到点G.
∵CD⊥CE(已知)
∴∠ECG=90°(垂直的定义)
∵∠ACE=136°(已知)
∴∠ACG=∠ACE-∠ECG
=136°-90°
=46°(等式的性质)
∵∠BAF=46°(已知)
∴∠ACG=∠BAF(等量代换)
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
3.解:EF⊥AB,理由如下:
如图,延长EF交CD于点M.
∵∠DGH=40°(已知)
∠DGH=∠FGM(对顶角相等)
∴∠FGM=40°(等量代换)
∵∠EFG是△FGM的一个外角(外角的定义)
∴∠EFG=∠FGM+∠FMG(三角形的一个外角等于和它不相
邻的两个内角的和)
∵∠EFG=130°(已知)
∴∠FMG=∠EFG-∠FGM
=130°-40°
=90°(等式的性质)
∵AB∥CD(已知)
∴∠BNE=∠FMG=90°(两直线平行,同位角相等)
∴EF⊥AB(垂直的定义)
4.证明:如图,过点P作MN∥AB.
∵CD∥AB(已知)
∴AB∥MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠1=∠2,
∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)
∴∠2+∠4=∠1+∠3(等式的性质)
即∠EPF=∠AEP+∠CFP
5.115°
6.45°
7.证明:如图,过点C作MN∥ED.
∵AB∥ED(已知)
∴MN∥AB∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠1+∠D=180°,
∠2+∠B=180°,
∠A+∠E=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵α=∠A+∠E(已知)
∴α=180°(等量代换)
∵β=∠B+∠C+∠D(已知)
∴β=∠B+∠1+∠2+∠D
=180°+180°
=360°(等式的性质)
∴β=2α(等式的性质)
8.证明:
如图,延长CB交FG于点M,延长FE交CM于点N.
∵CD∥EF(已知)
∴∠2=∠FNM(两直线平行,同位角相等)
∵∠BMG是△FMN的一个外角(外角的定义)
∴∠BMG=∠1+∠FNM
=∠1+∠2(三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和)
∵∠1+∠2=∠ABC(已知)
∴∠BMG=∠ABC(等量代换)
∴AB∥GF(同位角相等,两直线平行)
9.证明:如图,延长BD交AC于点E.
∵∠1是△ABE的一个外角(外角的定义)
∴∠1=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和)
∵∠BDC是△CDE的一个外角(外角的定义)
∴∠BDC=∠1+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和)
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C(等量代换)

相关知识

有关作梯形的辅助线常用方法


有关作梯形的辅助线常用方法
教学目标1、进一步掌握梯形的判定和性质;
2、初步掌握梯形中常见的辅助线的添加方法;
教学重点辅助线的添加方法
教学难点辅助线的添加方法
教学过程设计思路
由于在解决梯形的问题时,时常要通过对梯形的分割拼接或图形变换,将问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决,因此在学习梯形时,应掌握作梯形的辅助线的常用方法。
【方法1】平移梯形的一腰
从梯形的一个顶点,作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.
例1、已知梯形ABCD中,AD//BC,AD=5cm,BC=8cm,AB=7cm,求另一腰CD的取值范围.
解:如图2,过D点作DE//AB,交BC于E点.
∵AD//BC,DE//AB,
∴四边形ABED是平行四边形
∴DE=AB=7cm,BE=AD=5cm,
CE=BC-BE=8cm-5cm=3cm
∵在△DEC中,DE-ECDCDE+EC
∴4cmDC10cm.

【方法2】作高法
从同一底的两个端点分别作梯形的高,把梯形分成一个矩形和两个直角三角形.
例2、在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,
∠ABC=60°,AD=3cm,BC=5cm,
求:(1)腰AB的长;(2)梯形ABCD的面积.
解:作AE⊥BC于E,
DF⊥BC于F,
又∵AD∥BC,
∴四边形AEFD是矩形,
EF=AD=3cm
∵AB=DC
∵在Rt△ABE中,∠B=60°,BE=1cm
∴AB=2BE=2cm,
∴.

【方法3】延长腰
延长梯形的两腰交于一点,得到两个三角形.
例3、已知:梯形ABCD中,AD//BC,∠B=∠C,
求证:四边形ABCD是等腰梯形.
证明:如图,分别延长BA、CD,设它们交于E点.
∵在△EBC中,∠B=∠C,
∴EB=EC
∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C,
而∠B=∠C,
∴在△EAD中,∠EAD=∠EDA
∴EA=ED
∴AB=DC,即四边形ABCD是等腰梯形.

【方法4】平移对角线
过底的一端作对角线的平行线,从而借助所得的平行四边形或三角形来研究梯形
例4、已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积.
解:如图,作DE∥AC,交BC的延长线于E点.
∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4
∵在△DBE中,BD=3,DE=4,BE=5
∴∠BDE=90°.
作DH⊥BC于H,则

【方法5】
以梯形一腰的中点为对称中心作某部分图形的对称图形.

例5、已知:梯形ABCD中,AD//BC,E为DC中点,EF⊥AB于F点,AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面积.
解:如图,过E点作MN∥AB,分别交AD的延长线于M点,交BC于N点.
∵DE=EC,AD∥BC
∴△DEM≌△CNE
四边形ABNM是平行四边形
∵EF⊥AB,
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2.

例6、已知:如图13,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中点,试问:线段AE和BE之间有怎样的大小关系?
解:AE=BE,理由如下:
延长AE,与BC延长线交于点F.
∵DE=CE,∠AED=∠CEF,
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC,∴BE=AE.

通过平移腰,得到两腰、上下底的差为边的三角形.

板书:
通过作高,得到以上下底的差、腰、高为三边的直角三角形.

板书:

得到含梯形的底和两角的三角形.

板书:

解决有关对角线、上下底和的问题.

板书:

八年级数学上三角形讲义随堂测试习题


尺规作图(讲义)
课前预习
1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图,其中“尺”指没有刻度的直尺,作用是作线;“规”指_________,作用是_______和_______.
2.读一读,背一背常见的几何语言,并在旁边画一画:
①连接AB;
②延长线段AB到点C,使BC=AB;
③延长线段AB交线段CD的延长线于点E;
④过点A作AB∥CD;
⑤过点A作AB⊥CD于点E.
知识点睛
1.基本作图:
①作一条线段等于已知线段;
②作一个角等于已知角;
③作已知角的角平分线.
书写作法时注意:________________,________________.
2.应用作图:
①______________________,设计作图方案;
②调用__________________完成图形.

精讲精练
1.作一条线段等于已知线段.
已知:如图,线段a.
求作:线段AB,使AB=a.
作法:(1)作射线AP;
(2)以_________为圆心,_______为半径作弧,交射线AP于点B.
___________即为所求.

2.已知线段a,b(),作一条线段,使它等于2a-b.

3.作一个角等于已知角.
已知:如图,∠ABC.
求作:∠DEF,使∠DEF=∠ABC.
作法:(1)作射线EF;
(2)以________为圆心,_______为半径作弧,交BA
于点M,交BC于点N;
(3)以____为圆心,____为半径作弧,交EF于点P;
(4)____________,__________作弧,交前弧于点D;
(5)作射线ED.
∠DEF______________.
证明:如图,连接________,________.
在___________和___________中,
∴____________________()
∴____________________
4.作一个已知角的倍角.

5.过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:如图,A是直线MN外一点.
求作:直线AB,使AB∥MN.
6.已知两边及夹角作三角形.
已知:如图,线段m,n,∠α.
求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n.

7.作已知角的角平分线.
已知:如图,∠AOB.
求作:射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB).
作法:(1)________________,__________________作弧,
交OA于点M,交OB于点N;
(2)分别以______,______为圆心,______________为半径作弧,两弧在________________交于点P;
(3)_________________________.
______________________________.

8.作已知角的四等分线.
已知:如图,∠AOB.
求作:射线OP,OQ,OM,使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB(即OP,OQ,OM四等分∠AOB).

9.为打造“宜居城市”,某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M在广场的两个入口P,Q的连线上(P,Q的位置如图所示),且到广场两边AB,AC的距离相等.请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置(不写作法,保留作图痕迹).

10.请画出草图,解决下列问题:
(1)在△ABC中,点D是AC边的中点,连接BD,若AB=5,BC=3,则△ABD和△BCD的周长的差是____________.

(2)在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过D作DE∥BC交AB于点E,则∠AED和∠EDB的数量关系是________________________.

(3)已知:在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,BO与CO交于点O,过点O作DE∥BC交AB于D,交AC于E,则DE_____BD+CE(选填“”、“”或“=”).

(4)已知:在△ABC中,CE平分∠ACB交AB于E,过点E作ED∥AC交BC于D,过D作DF∥CE交AB于F,则∠EDF和∠BDF的数量关系是_____________________.

(5)已知:在△ABC中,∠A=80°,AB=AC,BD平分ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD延长线于点E,则∠ECD=_______.

(6)若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为40°,则此等腰三角形的顶角为______________.

【参考答案】
课前预习
1.圆规、度量、截取
2.略
知识点睛
1.点线取名称,作弧说心径
2.①画出草图
②基本作图
精讲精练
1.点A长线段AB图略
2.略
3.作法:(1)作射线EF;
(2)以点B为圆心,任意长为半径作弧,交BA于点
M,交BC于点N;
(3)以点E为圆心,BM长为半径作弧,交EF于点P;
(4)以点P为圆心,MN长为半径作弧,交前弧于点D;
(5)作射线ED.
即为所求.
证明:连接MN,DP.
在和中
4.略
5.略
6.略
7.(1)以点为圆心任意长为半径
(2)点M点N大于长内部
(3)作射线OP
射线OP即为所求
8.略
9.略
10.(1)2(2)(3)=
(4)(5)15°(6)50°或130°

2017八年级数学上特殊三角形讲义随堂测试习题(人教版)


特殊三角形(讲义)
课前预习
1.对几何图形,我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究,以等腰三角形为例:
(1)边和角:等边对________、等角对________.
(2)特殊的线:(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高)____________________.
(3)面积:
h1+h2_____h(填“”、“”或“=”).
(4)对称性:等腰三角形的对称轴是__________________.
2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
求证:.
知识点睛
1.等边三角形
①定义:_________________的三角形是等边三角形.
②性质:
边:等边三角形______________.
角:等边三角形______________.
线:等边三角形______________.
③判定:_________________的等腰三角形是等边三角形.
_________________的三角形是等边三角形.
2.直角三角形
性质:30°角所对的直角边___________________________.
直角三角形斜边的中线等于_____________________.
3.等腰直角三角形
①定义:有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形.
②性质:
边:等腰直角三角形_____________.
角:等腰直角三角形_____________.
线:等腰直角三角形____________,____________________
__________________________.
③判定:_______________的三角形是等腰直角三角形.

精讲精练
1.如图,以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC,连接AP,DP,则∠PAD=_____________.
第1题图第2题图
2.如图,在△ABC中,D,E在BC上,且BD=DE=AD=AE=EC,则∠BAC的度数为_______________.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=________.
第3题图第4题图
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,若BD=2,则AD的长是()
A.4B.6C.8D.10
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
求证:AE=2CE.

6.如图,∠BAC=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE=5cm,则BC=______cm,DE=_______cm.
7.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.
求证:MN⊥BD.

8.如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,BN,CM为高,P为BC的中点,连接MN,MP,NP,下列结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:AB=AM:AC.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知:如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.E,F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF.
求证:△DEF为等腰直角三角形.

10.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC按如图所示方式放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.

【参考答案】
课前预习
1.(1)等角、等边
(2)三线合一
(3)=
(4)顶角的角平分线(底边上的中线或底边上的高)所在直线
2.提示:见到线段的和差倍分,考虑截长补短.
证明:如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
∴BC=BD
∵∠ACB=90°,BC=CD
∴AB=AD
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°
∴∠B=60°
∴∠D=60°
∴∠BAD=60°
∴BA=BD
∴BC=AB
知识点睛
1.三边都相等
②三边都相等,三个内角都是60°,三线合一
③有一个角是60°;有两个角是60°
2.30°角所对的直角边是斜边的一半
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
3.①直角
②两直角边相等,两底角都是45°,三线合一,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
③有两个角是45°
精讲精练
1.15°
2.120°
3.8cm
4.B
5.证明略(提示,连接BE,由DE垂直平分AB得AE=BE,转移角可得∠EBC=30°,利用直角三角形性质可得AE=2CE)
6.10,5
7.证明略(提示:利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB,由三线合一可得MN⊥BD)
8.C
9.证明略(提示:连接AD,证明△ADF≌△BDE,转移边转移角证明△DEF为等腰直角三角形)
10.△EMC为等腰直角三角形
证明略(提示:连接AM,证明△MDE≌△MAC,转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形)

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