一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？以下是小编为大家收集的“正弦定理”欢迎大家与身边的朋友分享吧！

课题:1.1正弦定理（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
【课前预习】
1．在中，若，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．在中，若，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形
3．在中，若，，则________________．
4．在中，，则是________________三角形．

5．在中，计算的值．
【课堂研讨】
例1.如图，海中小岛周围海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行海里后，在处测得小岛在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？

例2.在中，已知，试判断的形状．

例3.在中，是的平分线，用正弦定理证明：．

【学后反思】
课题:1.1正弦定理（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．根据下列条件，判断的形状：
（1）；（2）．

2．已知的外接圆的面积是，求的值．

3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩，，要测算出，两点间的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，，试计算的长．

【课后巩固】
1．在中，已知，则的形状是________________．
2．在中，已知，，则的取值范围是________________．
3．在中，已知，，且最长边为，则最短边的长为_______．
4．在中，已知，求．

5．为了测量校园里旗杆的高度，学生们在两处测得点的仰角分别为和，测得的距离为，那么旗杆的高度是多少米？

6．海上有两个小岛相距海里，从岛观测岛与岛成的视角，从岛观测岛和岛成的视角，那么岛与岛之间的距离是多少海里？

7．在中，的外角平分线交的延长线于，用正弦定理证明：

8．在中，设，，，已知，
证明为正三角形．

相关知识

正弦定理教案

教学设计
整体设计
教学分析
本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．
在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．
本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．
本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．
三维目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．
2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．
重点难点
教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．
教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．
思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处．现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC与BC的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．
推进新课
新知探究
提出问题
1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？
2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？
3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？
4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？
5什么叫做解三角形？
6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？
活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．
关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，则asinA＝bsinB＝csinC＝c.从而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.
那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．
如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.从而asinA＝bsinB＝csinC.
(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)
通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
asinA＝bsinB＝csinC
上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a＜b.当∠A、∠B都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA＜sinB.当∠A是锐角，∠B是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.
正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．
讨论结果：
(1)～(4)略．
(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．
(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．
应用示例
例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9cm，解此三角形．
活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.
此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可．
解：根据三角形内角和定理，得
∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根据正弦定理，得
b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；
c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．
点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．

变式训练
在△ABC中(结果保留两个有效数字)，
(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
bsinB＝csinC，
∴b＝csinBsinC＝3sin60°sin75°≈1.6.
(2)∵asinA＝bsinB，
∴a＝bsinAsinB＝12sin30°sin120°≈6.9.

例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：
(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a＝10；
(2)a＝3，b＝4，∠A＝30°；
(3)b＝36，c＝6，∠B＝120°.
活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．
解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c＝asinCsinA＝10sin75°sin60°≈11.2(如图1所示)．
图1
(2)由正弦定理，得
sinB＝bsinAa＝4sin30°3＝23，
因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．
图2
当∠B≈41.8°时，
∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；
当∠B≈138.2°时，
∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，
c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如图2所示)．
(3)由正弦定理，得
sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，
因此∠C＝45°或∠C＝135°.
因为∠B＝120°，所以∠C＜60°.
因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.
再由正弦定理，得
a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如图3所示)．
图3
点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会．
变式训练
在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)
解：∵b＜a，∴B＜A，因此B也是锐角．
∵sinB＝bsinAa＝50sin38°60≈0.5131，
∴B≈31°.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝asinCsinA＝60sin111°sin38°≈91.

例3如图，在△ABC中，∠A的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：BDDC＝ABAC.
活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．
证明：如图，在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得
BDsinβ＝ABsinα，①
DCsinβ＝ACsin180°－α＝ACsinα，②
①÷②，得BDDC＝ABAC.
点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．
例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B、C，外接圆半径R及面积S.
活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可设B＝4k，C＝5k，
则9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，
由面积公式S＝12bcsinA＝12c2RsinBsinA＝75－253.
点评：求面积时，b未知但可转化为b＝2RsinB，从而解决问题．
1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：运用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及结论sin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)sinC.
若sin(A－B)＝0，则A＝B.
若sin(A－B)≠0，则sin2A＋sin2B＝sin2C?a2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.
2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于()
A．1∶2∶3B．3∶2∶1
C．1∶3∶2D．2∶3∶1
答案：C
知能训练
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S的值是()
A.2B.3＋1C.12(3＋1)D．22
2．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边长为__________．
3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝__________.
答案：
1．B解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，
∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.
2.532＋66解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.
∴b为△ABC的最长边．
由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.
3.33解析：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径)．
∴(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
化简，得3sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∵0＜sinB≤1，
∴cosA＝33.
课堂小结
1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．
2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．
3．通过例3引入了三角形外接圆半径R与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R的引入能给我们解题带来极大的方便．
作业
习题1—1A组1、2、3.
设计感想
本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．
本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．
备课资料
一、知识扩展
1．判断三角形解的方法
“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．
设已知a、b、A，则利用正弦定理
sinB＝bsinAa，
如果sinB＞1，则问题无解；
如果sinB＝1，则问题有一解；
如果求出的sinB＜1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．
2．利用正弦定理进行边角互换
对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．
这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用．
3．正弦定理的其他几种证明方法
(1)三角形面积法
如图，已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D.
则Rt△ADB中，sinB＝ADAB，
∴AD＝ABsinB＝csinB.
∴S△ABC＝12aAD＝12acsinB.
同理，可得S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴acsinB＝absinC＝bcsinA.
∴sinBb＝sinCc＝sinAa，即asinA＝bsinB＝csinC.
(2)平面几何法
如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连结BO并延长交圆于C′点，设BC′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
∴sinC＝sinC′＝c2R.∴csinC＝2R.
同理，可得asinA＝2R，bsinB＝2R.
∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.
这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式asinA＝bsinB＝csinC.
这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R这一等式，其变式为a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．
(3)向量法
①如图，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC→，则j与AB→的夹角为90°－A，j与CB→的夹角为90°－C.
由向量的加法原则可得AC→＋CB→＝AB→，
为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j(AC→＋CB→)＝jAB→，
由分配律可得jAC→＋jCB→＝jAB→.
∴|j||AC→|cos90°＋|j||CB→|cos(90°－C)＝|j||AB→|cos(90°－A)．
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得csinC＝bsinB.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
②如图，△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°，过点A作与AC→垂直的单位向量j，则j与AB→的夹角为A－90°，j与CB→的夹角为90°－C.
由AC→＋CB→＝AB→，得jAC→＋jCB→＝jAB→，
即acos(90°－C)＝ccos(A－90°)，
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.
③当△ABC为直角三角形时，asinA＝bsinB＝csinC显然成立．
综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立．
二、备用习题
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b等于()
A．52B．102C.1063D．56
2．△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinB＝12，sinC＝32，则a∶b∶c等于…()
A．1∶3∶2B．1∶1∶3
C．1∶2∶3D．2∶1∶3或1∶1∶3
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于…()
A.6B．2C.3D.2
4．在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且B＝2A，则ba的取值范围是…()
A．(－2,2)B．(0,2)C．(1，3)D．(2，3)
5．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，
(1)求sinC的值；
(2)设BC＝5，求△ABC的面积．
参考答案：
1．D解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即bsin60°＝10sin45°，解得b＝56.
2．D解析：由题意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故选D.
3．D解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合题意，舍去)．从而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝2.
4．D解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，
∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.
∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，
∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴2＜2cosA＜3，
即2＜ba＜3.故选D.
5.1534解析：由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，即5sinC＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314.
因此sinB＝3314，
所以S△ABC＝12×5×7×3314＝1534.
6.839解析：由正弦定理，得4sinB＝334sin30°，解得sinB＝839.
7．解：(1)由cosA＝－513，得sinA＝1213.
由cosB＝35，得sinB＝45，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝1665.
(2)由正弦定理，得
AC＝BC×sinBsinA＝5×451213＝133，
∴△ABC的面积S＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.

《正弦定理》导学案

《正弦定理》导学案

教学目标：
1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程：
（一）结合实例，激发动机
师生活动：
师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？
生：当然熟悉。
师：那大家知道科技楼有多高吗？
学生不知道。激起学生兴趣！
师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？
学生思考片刻，教师引导。
生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。
师：方法可行吗？
生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。
师：你有什么想法？
生2：可以再取一个观测点D.
师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？
生2：向前或向后
师：好，模型如图（2）：我们设正弦定理教学设计，正弦定理教学设计,CD=10m,那么我们能计算出AB吗？
生3：由正弦定理教学设计求出AB。
师：很好，我们可否换个角度，在正弦定理教学设计中，能求出AD,也就求出了AB。在正弦定理教学设计中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD，就需要我们来研究三角形中的边角关系。
师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！
生4：直角三角形。
师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？
生5：思考交流得出，如图4，在Rt正弦定理教学设计ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，又正弦定理教学设计,
则正弦定理教学设计
从而在直角三角形ABC中，正弦定理教学设计
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：那么，在斜三角形中也成立吗？
用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！
但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？
学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？
学生要思考一下。
师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？
生7：向量的数量积
师：那向量的数量积的表达式是什么？
生8：正弦定理教学设计
师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦。
生：利用诱导公式。
师：式子变形为：正弦定理教学设计,再
师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！
学生讨论合作，就可以解决这个问题
教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索。
设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（三）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：马上得出
在正弦定理教学设计中，正弦定理教学设计
正弦定理教学设计
（四）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：一般地，把三角形的三个角正弦定理教学设计、正弦定理教学设计、正弦定理教学设计和它们的对边正弦定理教学设计、正弦定理教学设计、正弦定理教学设计叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（五）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如正弦定理教学设计；
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如正弦定理教学设计。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在正弦定理教学设计中，已知正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为正弦定理教学设计求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在正弦定理教学设计中，已知正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流
（七）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（正弦定理教学设计）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

正弦定理、余弦定理的应用

1.1.3正弦定理、余弦定理的应用
教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
==0=右边
例2在△ABC中，已知，，B=45求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=4590即ba∴A=60或120
当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：当时
从而A=60，C=75当时同理可求得：A=120，C=15
例3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22ACBCosC
即AB=
（3）S△ABC=
例4如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：解之：（舍去）
由余弦定理：∴
例5△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边且
∵C为钝角∴解得
∵∴或3但时不能构成三角形应舍去
当时
2设夹C角的两边为
S当时S最大=
例6在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC?
∴
解得，ｘ＝2?,所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积?
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴,∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值?
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°,∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符∴0°＜B＜30°cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB＝
又C＝180°－（A＋B）?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较?
四、小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
课后记：1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0?∴cosΒ＝－∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，∴sin2C＝sin2B?∴B＝C故△ABC是等腰三角形?
2一题多证:［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosCsinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形?
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2?∴b＝c∴△ABC是等腰三角形?

《正弦定理》知识点

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。高中教案的内容要写些什么更好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“《正弦定理》知识点”，仅供参考，希望能为您提供参考！

《正弦定理》知识点

首先,我们要了解下正弦定理的应用领域
在解三角形中,有以下的应用领域:
(1)已知三角形的两角与一边,解三角形
(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形
(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦
正弦定理
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)
其次,余弦的应用领域
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
(3)相关结论:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)
(4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a

正弦、余弦典型例题
1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA的值为
2.已知α为锐角,且
,则α的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在△ABC中,若
,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是()A.75°B.90°C.105°D.120°
4.若∠A为锐角,且
,则A=()A.15°B.30°C.45°D.60°
5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点,EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。
正弦、余弦解题诀窍
1、已知两角及一边,或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理
2、已知三边,或两边及其夹角用余弦定理
3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用,只需要知道最大角的余弦值为正,为负,还是为零,就可以确定是钝角。直角还是锐角。

文章来源：http://m.jab88.com/j/3199.html

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