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平面向量的数量积

俗话说,凡事预则立,不预则废。高中教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”,仅供您在工作和学习中参考。

课题:2.4平面向量的数量积(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示;
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、(1)已知向量和的夹角是,||=2,||=1,则(+)2=,|+|=。
(2)已知:||=2,||=5,=-3,则|+|=,|-|=。
(3)已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为
2、设轴上的单位向量,轴上的单位向量,则=,=,=,=,若=,=,则=+.=+。
3、推导坐标公式:=。
4、(1)=,则||=___________;,则||=。
(2)=;(3)⊥;(4)//。
5、已知=,=,则||=,||=,=,
=;=。

【课堂研讨】
例1、已知=,=,求(3-)(-2),与的夹角。

例2、已知||=1,||=,+=,试求:
(1)|-|(2)+与-的夹角

例3、在中,设=,=,且是直角三角形,求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角:
(1)=,=(2)=,=
2、设,,,求证:是直角三角形。
3、若=,=,当为何值时:
(1)(2)(3)与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设,,是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有:
①()-()=②||-|||-
|③()-()不与垂直④(3+4)(3-4)=9||2-16||2
⑤若为非零向量,=,且≠,则⊥(-)
2、若=,=且与的夹角为钝角,则的取值范围是。
3、已知=,则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=,=,则+与-垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为,,,判断三角形的形状。

6、已知向量=,||=2,求满足下列条件的的坐标。
(1)⊥(2)

7、已知向量=,=。
(1)求|+|和|-|;(2)为何值时,向量+与-3垂直?
(3)为何值时,向量+与-3平行?

8、已知向量,,,其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
(1)若能构成三角形,求实数应满足的条件;
(2)是直角三角形,求实数的值。

课题:2.4平面向量的数量积(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示;
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、(1)已知向量和的夹角是,||=2,||=1,则(+)2=,|+|=。
(2)已知:||=2,||=5,=-3,则|+|=,|-|=。
(3)已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为
2、设轴上的单位向量,轴上的单位向量,则=,=,=,=,若=,=,则=+.=+。
3、推导坐标公式:=。
4、(1)=,则||=___________;,则||=。
(2)=;(3)⊥;(4)//。
5、已知=,=,则||=,||=,=,
=;=。

【课堂研讨】
例1、已知=,=,求(3-)(-2),与的夹角。

例2、已知||=1,||=,+=,试求:
(1)|-|(2)+与-的夹角

例3、在中,设=,=,且是直角三角形,求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案(2)
班级:姓名:学号:第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角:
(1)=,=(2)=,=

2、设,,,求证:是直角三角形。
3、若=,=,当为何值时:
(1)(2)(3)与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设,,是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有:
①()-()=②||-|||-
|③()-()不与垂直④(3+4)(3-4)=9||2-16||2
⑤若为非零向量,=,且≠,则⊥(-)
2、若=,=且与的夹角为钝角,则的取值范围是。
3、已知=,则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=,=,则+与-垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为,,,判断三角形的形状。

6、已知向量=,||=2,求满足下列条件的的坐标。
(1)⊥(2)

7、已知向量=,=。
(1)求|+|和|-|;(2)为何值时,向量+与-3垂直?
(3)为何值时,向量+与-3平行?

8、已知向量,,,其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
(1)若能构成三角形,求实数应满足的条件;
(2)是直角三角形,求实数的值。

精选阅读

平面向量数量积的坐标表示


平面向量数量积的坐标表示
教学目标
1.正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法,能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积.
2.掌握两个向量垂直的坐标条件,能运用这一条件去判断两个向量垂直.
3.能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题.
重点:两个向量数量积的坐标表示,向量的长度公式,两个向量垂直的充要条件.
难点:对向量的长度公式,两个向量垂直的充要条件的灵活运用.
教学过程设计
(一)学生复习思考,教师指导.
1.A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2).
=________=________
2.A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)
=________
3.向量的数量积满足那些运算律?
(二)教师讲述新课.
前面我们已经学过了两个向量的数量积,如果已知两个向量的坐标,如何用这些坐标来表示两个向量的数量积,这是一个很有价值的问题.
设两个非零向量为=(x1,y1),=(x2,y2).为x轴上的单位向量,为y轴上的单位向量,则=x1+y1,=x2+y2
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
引入向量的数量积的坐标表示,我们得到下面一些重要结论:
(1)向量模的坐标表示:
(2)平面上两点间的距离公式:
向量的起点和终点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),=
(3)两向量的夹角公式
设=(x1,y1),=(x2,y2),=θ.
4.两向量垂直的充要条件的坐标表示
=(x1,y1),=(x2,y2).
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零.
(三)学生练习,教师指导.
练习1:课本练习1.
已知a(-3,4),(5,2)
练习2:课本练习2.
已知=(2,3),=(-2,4),=(-1,-2).
=2×(-2)+3×4=8,(+)(-)=-7.
(+)=0,(a+b)2=(0,7)(0,7)=49.
练习3:已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5).
求证:△ABC是直角三角形.
证:∵=(1,1),=(-3,3),=(-4,2).
经检验,=1×(-3)+1×3=0.
∴⊥,△ABC是直角三角形.
(四)师生共同研究例题.
例1:已知向量=(3,4),=(2,-1).
(1)求与的夹角θ,
(2)若+x与-垂直,求实数x的值.
解:(1)=(3,4),=(2,-1).
(2)+x与-垂直,
(+x)(-)=0,+x=(3,4)+x(2,-1)=(2x+3,4-x)
-=(3,4)-(2,-1)=(1,5).
例2:求证:三角形的三条高线交于一点.
证:设△ABC的BC、AC边上的高交于P点,现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系,设有关各点的坐标为B(x1,0),C(x2,0),A(0,y1),P(0,y).
∵⊥,=(-x1,y),=(-x2,y1).
(-x1)×(-x2)+y×y1=0.
即x1x2+yy1=0.
又=(-x2,y),=(-x1,y1).
=(-x1)×(-x2)+y×y1=x1x2+yy1=0.
∴⊥,CP是AB边上的高.
故三角形的三条高线交于一点.
(五)作业.习题5.71,2,3,4,5.

平面向量数量积的运算律


一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣,帮助高中教师能够井然有序的进行教学。高中教案的内容要写些什么更好呢?为满足您的需求,小编特地编辑了“平面向量数量积的运算律”,希望对您的工作和生活有所帮助。

平面向量数量积的运算律
教学目的:
1.掌握平面向量数量积运算规律;
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.
教学重点:平面向量数量积及运算规律.
教学难点:平面向量数量积的应用
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质.?
教学过程:
一、复习引入:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=|a||b|cos,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.
3.“投影”的概念:作图
定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|.
4.向量的数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos;2abab=0
3当a与b同向时,ab=|a||b|;当a与b反向时,ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=;5|ab|≤|a||b|
二、讲解新课:
平面向量数量积的运算律
1.交换律:ab=ba
证:设a,b夹角为,则ab=|a||b|cos,ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2.数乘结合律:(a)b=(ab)=a(b)
证:若0,(a)b=|a||b|cos,(ab)=|a||b|cos,a(b)=|a||b|cos,
若0,(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos,(ab)=|a||b|cos,
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3.分配律:(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O,作=a,=b,=c,∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2,∴c(a+b)=ca+cb即:(a+b)c=ac+bc
说明:(1)一般地,(ab)с≠a(bс)
(2)aс=bс,с≠0a=b
(3)有如下常用性质:a2=|a|2,
(a+b)(с+d)=aс+ad+bс+bd
(a+b)2=a2+2ab+b2
三、讲解范例:
例1已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a5b垂直,a4b与7a2b垂直,求a与b的夹角.
解:由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
两式相减:2ab=b2
代入①或②得:a2=b2
设a、b的夹角为,则cos=∴=60
例2求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解:如图:平行四边形ABCD中,,,=
∴||2=
而=,
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且ab=bс=сd=da,试问四边形ABCD是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解:四边形ABCD是矩形,这是因为:
一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2
即|a|2+2ab+|b|2=|с|2+2сd+|d|2
由于ab=сd,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2①
同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2②
由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面,由ab=bс,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-с,代入上式得b(2a)=0,即ab=0,∴a⊥b也即AB⊥BC.
综上所述,四边形ABCD是矩形.
评述:(1)在四边形中,,,,是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用;
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习:
1.下列叙述不正确的是()
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
2.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(a+2b)(a-3b)等于()
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为()
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°,则(a+b)2=.
5.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|=______,|a-b|=.
6.设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a-λb垂直,则λ=.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
七、板书设计(略)
八、课后记:

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的:
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点:平面向量数量积的坐标表示
教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=|a||b|cos,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.
3.向量的数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos;2abab=0
3当a与b同向时,ab=|a||b|;当a与b反向时,ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=;5|ab|≤|a||b|

5.平面向量数量积的运算律
交换律:ab=ba
数乘结合律:(a)b=(ab)=a(b)
分配律:(a+b)c=ac+bc
二、讲解新课:
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量,,试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量,是轴上的单位向量,那么,
所以
又,,,所以
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2.平面内两点间的距离公式
一、设,则或.
(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)
二、向量垂直的判定
设,,则
三、两向量夹角的余弦()
cos=
四、讲解范例:
五、设a=(5,7),b=(6,4),求ab及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2已知A(1,2),B(2,3),C(2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
例3已知a=(3,1),b=(1,2),求满足xa=9与xb=4的向量x.
解:设x=(t,s),
由∴x=(2,3)
例4已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少?
分析:为求a与b夹角,需先求ab及|a||b|,再结合夹角θ的范围确定其值.
解:由a=(1,),b=(+1,-1)
有ab=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.
记a与b的夹角为θ,则cosθ=
又∵0≤θ≤π,∴θ=
评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.
例5如图,以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB,使B=90,求点B和向量的坐标.
解:设B点坐标(x,y),则=(x,y),=(x5,y2)
∵∴x(x5)+y(y2)=0即:x2+y25x2y=0
又∵||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即:10x+4y=29

∴B点坐标或;=或
例6在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,
求k值.
解:当A=90时,=0,∴2×1+3×k=0∴k=
当B=90时,=0,==(12,k3)=(1,k3)
∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=
当C=90时,=0,∴1+k(k3)=0∴k=
六、课堂练习:
1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4ab=()
A.23B.57C.63D.83
2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形
3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量,则b等于()
A.或?B.或
C.或?D.或
4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)(a-b)=.
5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB的中垂线上,则x=.
6.已知A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=,b=,则a与b的夹角为.
七、小结(略)
八、课后作业(略)
九、板书设计(略)
十、课后记:

平面向量数量积的坐标表示教案、学案


古人云,工欲善其事,必先利其器。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助授课经验少的高中教师教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?经过搜索和整理,小编为大家呈现“平面向量数量积的坐标表示教案、学案”,仅供参考,欢迎大家阅读。

平面向量数量积的坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量数量积的坐标表示
授课时间
学习重点在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式(夹角公式)
学习难点在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式及应用
学习目标
1.在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式(夹角公式);
2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

教学过程
一自主学习
⑴向量数量积的交换律:.
⑵==.
⑶向量的数量积的分配律:
.
⑷=..
5已知两个非零向量.

结论:⑴若,则,或.

⑵若,,
则.

⑶若,
则.

⑷设是与的夹角,

二师生互动
例1已知,,,试判断的形状,并给出证明.

变式:已知四点,,,求证:四边形是直角梯形.
例2设,,求及之间的夹角余弦值.

练1.已知,,若,试求的值.

三巩固练习
1.已知,,则等于()
A.B.C.D.
2.若,,则与夹角的余弦为()
A.B.C.D.
3.若,,则等于()
A.B.C.D.
4.,,则=.
5.已知向量,,若,则.
6.下列各组向量中,可以作为基底的是()
A.
B.
C.
D.
7.若平面向量与向量的夹角是,且,则()
A.B.C.D.
8.已知向量,,,若,则与的夹角为()
A.B.C.D.
9.已知向量,,若与垂直,则实数.
10.已知向量,,若不超过,则的取值范围是.

11已知向量,求
⑴求与的夹角;
⑵若向量与垂直,求的值.

四课后反思

五课后巩固练习
1.已知,,,且,,求⑴;⑵、的夹角.

2.已知点和,问能否在轴上找到一点,使,若不能,说明理由;若能,求点坐标.

文章来源:http://m.jab88.com/j/3191.html

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