一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？以下是小编收集整理的“平面向量数量积的坐标表示、模、夹角”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|

5．平面向量数量积的运算律
交换律：ab=ba
数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
分配律：(a+b)c=ac+bc
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2.平面内两点间的距离公式
一、设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
二、向量垂直的判定
设，，则
三、两向量夹角的余弦（）
cos=
四、讲解范例：
五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.
解：设x=(t，s)，
由∴x=(2，3)
例4已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求ab及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有ab＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)
∵∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0
又∵||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29
由
∴B点坐标或；=或
例6在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴k=
当B=90时，=0，==(12，k3)=(1，k3)
∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=
当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=
六、课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４ab＝（）
A.23B.57C.63D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）
A.或?B.或
C.或?D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)=.
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为.
七、小结（略）
八、课后作业（略）
九、板书设计（略）
十、课后记：M.jAb88.Com

延伸阅读

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；
2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.
【知识梳理】
知识回顾：
1．两个向量的数量积的性质：
设与为两个非零向量.
(1)、=
(2)、当与同向时，=，
当与反向时，=
特别的：=_____或，
||≤||||，
cos=________
新知探究：
已知非零向量，，怎样用和的坐标表示？
1、平面两向量数量积的坐标表示：
=
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2.平面内两点间的距离公式
（1）设，
则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么
(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定：设，，则

4.两向量夹角的余弦（）
cos==

思考感悟:
向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有0（0）？

对点练习：
1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),则a→b→等于()
A.—14B.—7
C.7D.8

2.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1),则(a→b→)c→等于()
A.—14B.—7
C.(7,—7)D.(—7,7)

3.已知A(—1,1),B(1,2),则|AB→|等于()
A.5B.
C.—1D.7

4.已知a→=(3,4),b→=(5,12),则a→,b→夹角的余弦为()
A.6365B.65
C.135D.13

【合作探究】
典例精析：
例1.已知向量，；
（1）求，；
（2）求的值；
（3）求的值；

变式1：已知向量，；
（1）求向量与的夹角；
（2）若向量与垂直，求的值；

例2.设=(5，7)，=(6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。

变式2：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

【课堂小结】
夹角为锐角（钝角）

【当堂达标】
1．已知向量＝(1，－1)，＝(2，x)，若＝1，则x等于()
A．－1B．－12
C.12D．1
2.已知a→=(—4,3),b→=(5,6),则3|a→|2—4a→b→=()
A.23B.57C.63D.83

3.与a→=(3,4)垂直的单位向量是()
A.(45,35)B.(—45,—35)
C.(45,—35)或(—45,35)
D.(45,35)或(—45,—35)

4.已知|m→|=6,n→=(cosθ,sinθ),m→n→=9,则m→,n→的夹角为()
A.150B.120
C.60D.30

【课时作业】
1、已知A(—1,1),B(1,2),C(3,12),则AB→AC→等于()
A.52B.152C.—52D.—152

2.若a→=(—2,1)与b→=(—1,—m5)互相垂直，则m的值为()
A.—6B.8C.—10D.10

3.a→=(2,3),b→=(—3,5),则a→在b→方向上的投影为______.

4.已知三个点A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且a→=BC→,b→=CA→，则a→与b→的夹角为

5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.

6.已知，，对以下两种情况分别求出m值，
(1)⊥，(2)∥。

8*．已知向量,向量求的最值，
9*.a→=(1,2),b→=(—3,2),当k为何值时：
(1)ka→+b→与a→—3b→垂直?
(2)ka→+b→与a→—3b→平行吗？平行时它们是同向还是反向？

10*、以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.

【延伸探究】
已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．

平面向量数量积的坐标表示教案、学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助授课经验少的高中教师教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“平面向量数量积的坐标表示教案、学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

平面向量数量积的坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量数量积的坐标表示
授课时间
学习重点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）
学习难点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式及应用
学习目标
1.在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；
2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

教学过程
一自主学习
⑴向量数量积的交换律：.
⑵＝＝.
⑶向量的数量积的分配律：
.
⑷＝..
5已知两个非零向量.

结论：⑴若，则，或.

⑵若，，
则.

⑶若，
则.

⑷设是与的夹角，
则

二师生互动
例1已知，，，试判断的形状，并给出证明.

变式：已知四点，，，求证：四边形是直角梯形.
例2设，，求及之间的夹角余弦值.

练1.已知，，若，试求的值.

三巩固练习
1.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
2.若，，则与夹角的余弦为（）
A.B.C.D.
3.若，，则等于（）
A.B.C.D.
4.，，则=.
5.已知向量，，若，则.
6.下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A.
B.
C.
D.
7.若平面向量与向量的夹角是，且，则（）
A.B.C.D.
8.已知向量，，，若，则与的夹角为（）
A.B.C.D.
9.已知向量，，若与垂直，则实数.
10.已知向量，，若不超过，则的取值范围是.

11已知向量，求
⑴求与的夹角；
⑵若向量与垂直，求的值.

四课后反思

五课后巩固练习
1.已知，，，且，，求⑴；⑵、的夹角.

2.已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说明理由；若能，求点坐标.

高二数学平面向量数量积的坐标表示26

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助教师提高自己的教学质量。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《高二数学平面向量数量积的坐标表示26》，希望能对您有所帮助，请收藏。

第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：ab=ba
数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
分配律：(a+b)c=ac+bc
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2.平面内两点间的距离公式
一、设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
二、向量垂直的判定
设，，则
三、两向量夹角的余弦（）
cos=
四、讲解范例：
五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.
解：设x=(t，s)，
由∴x=(2，3)
例4已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求ab及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有ab＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)
∵∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0
又∵||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29
由
∴B点坐标或；=或
例6在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴k=
当B=90时，=0，==(12，k3)=(1，k3)
∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=
当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=
六、课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４ab＝（）
A.23B.57C.63D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）
A.或?B.或
C.或?D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)=.
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为.
七、小结（略）
八、课后作业（略）
九、板书设计（略）
课后记：

平面向量的数量积

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”，仅供您在工作和学习中参考。

课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示；
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。

【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。

例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角

例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。

6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？

8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。

课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示；
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。

【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。

例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角

例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。

【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。

课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=

2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角

【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。

6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？

8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。

文章来源：http://m.jab88.com/j/12280.html

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