一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。高中教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《空间线面关系》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

《空间线面、面面关系》习题课1
一、学习目标:
知识与技能：掌握线线、线面、面面关系的判断和性质；
过程与方法：应用线线、线面、面面关系的判断和性质关系来进行判断、证明和计算；提高解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过对线线、线面、面面关系的观察与理解培养空间想象力，提高思维的严密性与完整性。
二、学习重、难点
学习重点:空间线线、线面、面面关系。
学习难点:空间线线、线面、面面关系的应用，线面角，二面角的计算平行、垂直的证明。
三、使用说明及学法指导:
1、先认真梳理空间线线、线面、面面关系等知识点，巩固线面角，二面角的计算方法和步骤，熟悉平行、垂直的证明，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法，及时整理在解题本上，多复习强化记忆。
四、知识链接：1.空间线线关系：平行，相交，异面。2.线面关系：线在面内，线面相交，线面平行。3.面面关系：平行，相交。2.线面平行的判定、性质；面面平行的判定、性质；线面、面面垂直的判定、性质等定理。3.各种角如何计算。
五、学习过程：自主探究：题型一：有关线线、线面、面面关系的概念问题
例1：A1给出下列四个命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的直线不是平行就是异面，
③如果直线a∥α，b∥α，则a∥b
④如果平面α∩平面β＝a，若b∥α，b∥β，则a∥b
其中为真命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
A2平面α∥平面β，直线aα，P∈β，则过点P的直线中（）
A．不存在与α平行的直线B．不一定存在与α平行的直线
C．有且只有—条直线与a平行D．有无数条与a平行的直线
3下列命题中为真命题的是（）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行．
题型二：有关线面、面面关系的判定与性质问题
B例2如图6－79，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC=a,F，G分别是EB和AB的中点。
B例3如图，,的中点.M、N分别为AB、PC的中点
（1）求证：；（2）求证：；
m.jaB88.cOm

题型三：异面直线角、线面角、二面角的问题
A例4：正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是…………………………………………………（）
A．B．C．D．
B例5：如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面C1—BD—C的大小为（）

C例6：四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成角的正切值。
六、达标检测
A1,给出以下命题：
①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；
③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等；
④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d
其中假命题共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
A2,经过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）

50
A1个或2个B0个或1个C1个D0个
B3,经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）
A0个B1个C无数个D1个或无数个
B4,已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有()
A1个B2个C3个D4个
B5,已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d，lα，l′β,则l与l′之间的距离的取值范围为（）
A．（d，∞）B．（d，＋∞）C．{d}D．（0，∞）
A6,在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN___________
A7过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为__________．
B8,已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A与β相交于B，若，则直线a与α所成的角＝___________．
B9,已知点A、B到平面α的距离分别为d与3d，则A、B的中点到平面α的距离为________．
B10,已知长方体中，，，，
求：（1）与所成的角是多少？
（2）与所成的角是多少？

B11,P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，
证明：直线PC与平面ABD垂直

C12,如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P—BC—A的大小；

七、小结与反思

扩展阅读

点、线面间的位置关系

第一章小结
一、教学目标
1、知识与技能：（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情态与价值：学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图
（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82A组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82A组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）、课堂练习：
1．选择题
（1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（）
（A）4个（B）6个（C）7个（D）8个
（2）直线a与平面斜交，则在平面内与直线a垂直的直线（）
（A）没有（B）有一条（C）有无数条（D）内所有直线
答案：（1）D(2)C
2．填空题
（1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA⊥，PA=a，则P到CD的距离为，P到BC的距离为.
（2）AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60角，
OC，AA＇⊥于A＇，∠A＇OC=45，
则A到直线OC的距离是，∠AOC的余弦值是.
答案：（1）;（2）
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
分析：A1C在上底面ABCD的射影AC⊥BD,
A1C在右侧面的射影D1C⊥C1D,
所以A1C⊥BD,A1C⊥C1D,从而有A1C⊥平面BC1D.

（五）课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83B组第2题。
五、教后反思：

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系

一.教学内容：

空间中的垂直关系

二、学习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；

3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

三、知识要点

1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：

①判定定理：.

②b⊥α,a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）

③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）

④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）

3、直线与平面垂直的性质定理：

①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（a⊥α，b⊥αa∥b）

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）

4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：

（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称：线面垂直，面面垂直）

6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）

思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

【典型例题】

例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）

A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，nα

C、m∥n，n⊥β，mαD、m∥n，n⊥β，m⊥α

（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：

①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；

②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；

③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；

④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。

其中错误的命题为（）

A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②

（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，

甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确的三个是（）

解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。

对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。

对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。

只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。

故选C。

（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。

②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。

③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。

④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误

选D

（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。

思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。

例2、如图，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。

（1）求证：PC⊥CD。

（2）求点B到直线PC的距离。

（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，

则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形，

∴AC⊥CD，

∵PA⊥平面ABCD，

∴AC为PC在平面ABCD上的射影，

∴PC⊥CD

（2）解：连BE，交AC于O，则BE⊥AC，

又BE⊥PA，AC∩PA=A，

∴BE⊥平面PAC

过O作OH⊥PC于H，则BH⊥PC，

∵PA=a，AC=a,PC=a，

∴OH=，

∵BO=a，

∴BH=即为所求。

例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC

（1）若D是BC的中点，求证AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？

请你叙述判断理由。

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。

知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。

错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的

思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，

∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1

（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N

∵AM=MA1，

∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，

∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，

∴C1N⊥侧面BB1C1C

∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C

（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，

下面证必要性。

过M作ME⊥BC1于E，

∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C，

又∵AD⊥侧面BB1C1C

∴ME∥AD，

∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB1C1C，

∴AM∥DE

∵CC1⊥AD，

∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，

∴E是BC1的中点

∴AM=DE=AA1，

∴AM=MA1

即是截面的充要条件

例4、如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H

（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由

（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，

平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明

（1）证明：∵AD//面EFGH,

面ACD∩面EFGH＝HG，AD面ACD

∴AD//HG.

同理EF∥HG，

∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，

∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，

∴DO⊥BC，

∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形

（2）作CP⊥AD于P点，连结BP，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，

∴HG⊥面BCP，HG面EFGH面BCP⊥面EFGH，

在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=AB=a,

∴AP=a

例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：

（1）A1B1⊥平面BB1C1C；

（2）A1C⊥BC1；

（3）DE⊥平面BB1C1C。

证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴侧面与底面垂直，

即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，

又∵AB⊥BC，

∴A1B1⊥B1C1

从而A1B1⊥平面BB1C1C。

（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，

∴BC1⊥B1C，

而A1B1⊥平面BB1C1C，

∴A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，

由三垂线定理得A1C⊥BC1

（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，

而D、E分别为所在侧面对角线的交点，

∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，

∴DE∥A1B1，

而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，

∴DE⊥平面BB1C1C。

思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。

本讲涉及的主要数学思想方法

1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的

定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。

2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。

3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。

4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。

空间平面与平面的位置关系

14.4（1）空间平面与平面的位置关系

一、教学内容分析
二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.

二、教学目标设计
理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题.

三、教学重点及难点
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、新课引入
1.复习和回顾平面角的有关知识.

平面中的角
定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角
图形

结构射线—点—射线
表示法∠AOB,∠O等
2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角）
3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容.
二、学习新课
（一）二面角的定义
平面中的角二面角
定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角课本P17
图形

结构射线—点—射线半平面—直线—半平面
表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β
（二）二面角的图示
1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示.
2.在正方体中认识二面角.
（三）二面角的平面角
平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？
1.二面角的平面角的定义（课本P17）.
2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.
[说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题.
②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量.
③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直.
3.二面角的平面角的范围：
（四）例题分析
例1一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高AD为折痕，将其折成一个的二面角，求此时B、C两点间的距离.
[说明]①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况.
②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化,哪些没变?
例2如图，已知边长为a的等边三角形所在平面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角的大小.
[说明]①求二面角的步骤：作—证—算—答.
②引导学生掌握解题可操作性的通法（定义法和线面垂直法）.
例3已知正方体，求二面角的大小.（课本P18例1）
[说明]使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法.
（五）问题拓展
例4如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？
[说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.
三、巩固练习
1.在棱长为1的正方体中，求二面角的大小.
2.若二面角的大小为，P在平面上，点P到的距离为h，求点P到棱l的距离.
四、课堂小结
1.二面角的定义
2.二面角的平面角的定义及其范围
3.二面角的平面角的常用作图方法
4.求二面角的大小（作—证—算—答）
五、作业布置
1.课本P18练习14.4（1）
2.在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离．
3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成的二面角，求A、C两点的距离．
六、教学设计说明
本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫，学生的主动探究，使学生经历概念的形成、发展和应用过程，有意识地加强了知识形成过程的教学.

空间直线与直线之间的位置关系

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……
师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知1．空间的两条直线位置关系：
共面直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.
答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且.
同理FG∥BD，且.
因为EH∥FG，且EH=FG，
所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC=∠A′D′C′，
∠ADC+∠A′B′C′=180°
师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.

培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.

通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.
例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′=45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习1．填空题：
（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.
（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.
答案：（1）3条.分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′和BC′所成的角是多少度？学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°.
（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，
所以BC′=4，∠B′BC′=60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业2.1第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
附加例题
例1“a、b为异面直线”是指：
①a∩b=，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b=；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（）
A．①④⑤正确B．①③④正确
C．仅②④正确D．仅①⑤正确
【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO=∠B′PO=25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
则MG
EM
∵AD⊥BC∴EM⊥MG
在Rt△EMG中，有
在RFG中，∵EF=
∴EF2+FG2=EG2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.

文章来源：http://m.jab88.com/j/3193.html

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