二.几何探索题巡视
探索类问题是近几年中考命题的重点,不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷,对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之,供同学们学习时参考。
一、实验型探索题
例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一,下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法:如图1,在△ABC中,AB=AC,把底边BC分成m等份,连接顶点A和底边BC各等分点的线段,即可把这个三角形的面积m等分。
图1
问题提出:任意给定一个正n边形,你能把它的面积m等分吗?
探究与发现:为了解决这个问题,我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心(正多边形的各对称轴的交点,又称为正多边形的中心)引线段,才能将这个正三角形的面积m等分?
如果要把正三角形的面积4等分,我们可以先连接正三角形的中心和各顶点(如图2(1)),这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形);再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分,连接中心和各边等分点(如图2(2),这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形);最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起(如图2(3)),这样就能把这个正三角形的面积4等分了。
图2
(1)实验与验证:仿照上述方法,利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。
图3
(2)猜想与证明:怎样从正三角形的中心引线段,才能将这个正三角形的面积m等分?叙述你的分法并说明理由。
(3)拓展与延伸:怎样从正方形(如图4)的中心引线段,才能将这个正方形的面积m等分(叙述分法即可,不要求说明理由)?
图4
(4)问题解决:怎样从正n边形(如图5)的中心引线段,才能使这个正n边形的面积m等分?(叙述分法,不要求说明理由)
图5
分析:这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例,然后要求解答一个类似的问题,最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多,首先应弄清楚哪些是范例,哪些是要求解答的问题,然后详细阅读范例,从中领会解决问题的方法,并能运用这个方法解决问题。
解:(1)先连接正三角形的中心和各顶点,再把正三角形各边分别5等分,连接中心和各分点,然后将每3个相邻的小三角形拼在一起,就可将正三角形的面积5等分了(图略)。
(2)先连接正三角形的中心和各顶点,再把正三角形各边分别m等分,连接中心和各个分点,然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起,即可把这个正三角形的面积m等分了。
理由:每个小三角形的底和高都相等,因此它们的面积都相等,每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等,即把正三角形的面积m等分。
(3)先连接正方形的中心和各顶点,然后将正方形各边m等分,连接中心和各分点,再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起,这就把这个正方形的面积m等分了。
(4)连接正n边形的中心和各顶点,然后将这个正n边形各边m等分,再依次将n个相邻的小三角形拼在一起,这就将这个正n边形的面积m等分了。
二、操作型探索题
例2.已知线段AC=8,BD=6。
(1)已知线段AC⊥BD于O(O不与A、B、C、D四点重合),设图6(1)、图6(2)和图6(3)中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3,则S1=_________,S2=_________,S3=_________;
图6
(2)如图6(4),对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A、B、C、D重合)的任意情形,请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想,并证明你的结论;
(3)当线段BD与AC(或CA)的延长线垂直相交时,猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。
分析:题(1)实际上是将BD沿AC由下向上移动,计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积,再观察计算结果。题(2)是AC沿BD左右移动,计算四边形ABCD的面积,再观察计算结果。题(3)是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。
解:(1)242424
(2)对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A、C、B、D重合)的任意情形,四边形ABCD的面积为定值24。证明如下:
显然,
(3)所围成的封闭图形的面积仍为24。
三、观察猜想型探索题
例3.(山西省)如图7,正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上,连接BE、DG。
图7
(1)观察并猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形?若存在,请说明旋转过程;若不存在,说明理由。
分析:证明题是直接给出结论,要求寻找结论成立的理由,而这一类探索题是题目没有给出结论,要求自己下结论,并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。
解:(1)BE=DG,证明如下:
在Rt△BCE和Rt△DCG中,BC=CD,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG。故BE=DG。
(2)将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°,可与Rt△DCG重合。
四、图形计数型探索题
例4.如图8,在图(1)中,互不重叠的三角形有4个,在图(2)中,互不重叠的三角形有7个,在图(3)中,互不重叠的三角形有10个,…,则在图(n)中互不重叠的三角形有_______个(用含n的代数式表示)。
图8
分析:这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律,然后写出公式,或称一般表达式。解题的关键是找规律。
解:图(1):1+1×3=4;图(2):1+2×3=7;图(3):1+3×3=10。
所以图(n)中有1+3n个互不重叠的三角形,应填3n+1。
五、其他类型探索题
例5.如图9,已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC。
(1)(2)
图9
(1)在图9(1)中,判断能否在AB上确定一点E,使得AC2=AEAB,并说明理由;
(2)在图9(2)中,在条件(1)的结论下,延长EC到P。连接PB,如果PB=PE,试判断PB和⊙O的位置关系,并说明理由。
分析:一般的探索题是由特殊到一般,探求结论的普遍性,而这道题是两个小题互相独立,只是基本图形相同。题(1)是作出满足线段关系式的图形,题(2)是判断图形中的一些线段的相互关系。
解:(1)作法有多种,这里举一例。如图10,在⊙O上取点D,使=,连接CD交AB于点E,则有AC2=AEAB。连接BC,显然△ACE∽△ABC,则AB:AC=AC:AE,故AC2=AEAB。
图10图11
(2)如图11,过点B作⊙O的直径BF,连接CF、BC。可以证明∠PBC+∠FBC=90°,即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切线。
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《列方程解应用题一》教案设计
教学目标:
知识与技能:使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。
过程与方法:利用等式的性质解简易方程。
情感、态度与价值观:关注由具体到一般的抽象概括过程,培养学生的代数思想。
教学重点:理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。
教学难点:理解形如a±x=b的方程原理,掌握正确的解方程格式及检验方法。
教学方法:创设情境;观察、猜想、验证.
教学准备:多媒体。
教学过程
一、情境导入
谈话:同学们,咱们玩一个猜一猜的游戏好吗?出示一个盒子,让学生猜一猜里面可能有几个球呢?(学生思考后会说,可以是任意数。)
教师继续通过多媒体补充条件,并出示教材第67页例1情境图。
问:从图上你知道了哪些信息?
引导学生看图回答:盒子里的球和外面的3个球,一共是9个。
并用等式表示:x+3=9(教师板书)
二、互动新授
1.先让学生回忆等式的性质,再思考用等式的性质来求出x的值。
学生思考、交流,并尝试说一说自己的想法。
2.教师通过天平帮助学生理解。
出示教材第67页第一个天平图,让学生观察并说一说。
长方体盒子代表未知的x个球,每个小正方体代表一个球。则天平左边是x+3个球,右边是9个球,天平平衡,也就是列式:x+3=9。
观察:把左边拿掉3个球,要使天平仍然保持平衡要怎么办?
(右边也要拿掉3个球。)
追问:怎样用算式表示?学生交流,汇报:x+3-3=9-3
x=6
质疑:为什么两边都要减3呢?你是根据什么来求的?
(根据等式的性质:等式的两边减去同一个数,左右两边仍然相等。)
你们的想法对吗?出示第3个天平图,证实学生的想法是对的。
3.师小结:刚才我们计算出的x=6,这就是使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。也就是说,x=6就是方程x+3=9的解。求方程解的过程叫做解方程。(板书:方程的解解方程)
4.引导:谁来说一说,方程的解和解方程有什么区别?学生自主看课本学习,可能会初步知道,求出的x的值是方程的解;求解的过程就是解方程。
师引导学生小结:“方程的解”中的“解”的意思,是指能使方程左右两边相等的未知数的值,它是一个数值;而“解方程”中的“解”的意思,是指求方程的解的过程,是一个计算过程。
5.验算:x=6是不是正确答案呢?我们怎么来检验一下?
引导学生自主思考,并在小组内交流自己的想法。
通过学生的回答小结:可以把x=6的值代入方程的左边算一算,看看是不是等于方程的右边。
即:方程左边=x+3
=6+8
=9
=方程右边
让学生尝试验算,并注意指导书写。
6.出示教材第68页例2情境图。
让学生观察图,理解图意并用等式表示出来:3x=18
引导学生:通过刚才解方程的经验尝试解决这个题。
学生自主尝试解决,教师巡视指导。
汇报解题过程:等式的两边同时除以3,解得x=6。
根据学生的回答,师板书:3x=18
3x÷3=18÷3
x=6
质疑:你是根据什么来解答的?
引导小结:根据等式的性质:等式两边同时乘或除以一个不为O的数,左右两边仍然相等。
让学生尝试检验计算结果是否正确。
7.出示教材第68页例3,并让学生尝试解答。
由于此题是“a-x”类型,有些学生在做题时可能会出现困难,不知道怎么做。有些学生可能会在等号两边同时加上“x”,但x在等号的右边,不会继续做了。
教师可以引导学生思考,根据等式的性质,只要等式的两边同时加或减相等的数或式子,左右两边仍然相等,那么我们可以同时加上“x”。
通过计算让学生发现,等号左边只剩下“20”,而右边是“9+x”。
继续引导学生思考:20和9+x相等,可以把它们的位置交换,继续解题。学生继续完成答题,汇报。根据汇报板书:
20-x=9请学生自主尝试检验:
8.讨论:解方程需要注意什么?让学生自主说一说,再汇报。
小结:根据等式的性质来解方程,解方程时要先写“解”,等号要对齐,解出结果后要检验。
三、巩固拓展
1.完成教材第67页“做一做”第1、2题。
2.完成教材第68页“做一做”第1、2题。学生自主计算解答,并集体订正答案。
四、课堂小结。师:这节课你学会了什么知识?有哪些收获?
学生们有一个生动有趣的课堂,离不开老师辛苦准备的教案,大家开始动笔写自己的教案课件了。用心制定好教案课件的工作计划,才能更好地安排接下来的工作!你们会写教案课件的范文吗?请您阅读小编辑为您编辑整理的《中考数学图表信息题复习教案》,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。
中考复习专题(八)图表信息
教学目标:
通过解答这类试题,让学生学会观察、挖掘图象(表)所含的信息,提高对所得到的信息进行分类、合成、提取、加工的能力,从而提高学生解决图像信息问题的能力.
教学重、难点:通过训练,提高学生“识图”和“用图”的能力,以及收集、整理和加工信息能力.
教学过程:
一、题型归析
图象(表)信息类试题是题设条件或结论中包含有图象(表)的试题,这类题目的解题条件主要靠图象(表)给出,在解答这类试题的过程中,要仔细观察、挖掘图象(表)所含的信息,并对所得到的信息进行分类、合成、提取、加工,最终求得问题的解答.它主要表现在数轴、直角坐标系、点的坐标、一次函数、二次函数、反比例函数的图象、实用统计图象及部分几何图形等,所提供的形状特征、位置特征、变化趋势等的数学基础知识,很好的考查了学生的观察分析问题的能力.这类题目的图象(表)信息量大,大多数条件不是直接告诉,而是以图象(表)形式映射出来,较为隐蔽,解答它不仅要有扎实的数学基础知识,而且要有较强的读图(表)、识图(表)、分析图(表)的能力.发现挖掘出题目所隐含的条件来达到解题的目的,这类题目在中考中仍有升温的趋势.
解这类题的一般步骤是:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系;(3)选择适当的数学工具,通过建立数学模型来解决.
二、例题解析:
题型1?表达信息题
此类题目一般以表格的形式出现,通过表格对数据进行收集、整理,得出与解题相关的信息,从而解决实际应用问题.
【例1】辽南素以“苹果之乡”著称,某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种水果42吨到外地销售.按规定每辆车只装同一种苹果,且必须装满.每种苹果不少于2车.
苹果品种ABC
每辆汽车运载量(吨)2.22.12
每吨苹果获利(百元)685
⑴设x辆车装运A种苹果,用y辆车装运B种苹果,根据上表提供的信息,求x与y间的函数关系式,并求x的取值范围;
⑵设此次外销活动的利润为w(百元),求w与x的函数关系式以及最大利润并安排相应的车辆分配方案.
【分析】先从表中得到,每辆车装载苹果的重量,根据苹果总量,与总车数来列方程:
得:2.2x+2.1y+2(20-x-y)=42,整理得0.2x+0.1y=2.所以y=-2x+20(X大于等于2,且小于等于9的整数.(2)W=6X+8y+5(20-X-y)因为y=-2X+20,所以W=6X+8(-2X+20)+5[20-X-(-2X+20)]
整理得W=-5X+160(X大于等于2,且小于等于9的整数).所以当X=2时W有最大值150.
此时用2辆车装A种苹果,用16辆车装运B种苹果,用2辆车装运C种苹果有最大利润,且最大利润为15000元.
题型2?图形、图象信息题
此类题目以图形、图象的形式出现,题型新颖,给出的形式有形象的人物及各自的语言表述,在活泼的氛围里,给出题目具体内容,在考查学生的建模能力,有时候用方程,有时候用不等式
【例2】在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题:
⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是,从点燃到燃尽所用的时间分别是_____;
⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式;
⑶当x为何值时,甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等?
【分析】从图像上可以看出,纵坐标是蜡烛的高度,横坐标是燃烧时间,于纵坐标的交点就是蜡烛的长度,于横坐标的交点就是燃烧尽所用的时间;两图象的交点就是高度相等时的时间.
【思路点拨】要想求出一次函数解析式,关键是要找出图象上的两个关键点的坐标.这样我们就可以用待定系数法求出此函数的解析式了.
三、诊断自测
1.如图,三个大小相同的正方形拼成六边形,一动点从点出发沿着→→→→方向匀速运动,最后到达点.运动过程中的面积()随时间(t)变化的图象大致是()
2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D作匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是()
ABCD
3.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿O-A-弧AB-B-O的路径运动一周.设为,运动时间为,则下列图形能大致地刻画与之间关系的是()
4.为了迎接2014年巴西世界杯,足球协会举办了一次足球赛,其计分方法和奖励方案(每人)如下表:
胜一场平一场负一场
积分310
奖金/元15007000
当比赛进行到每队各比赛12场时,A队(11名队员)共积分20分,并且没有负场.
(1)判断A队胜、平各几场?
(2)若每场比赛每名队员均得出场费500元,那么A队的某一名队员在这12场比赛中所得奖金和出场费的和是多少?
文章来源:http://m.jab88.com/j/76392.html
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