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中考数学知识点归纳:几何定理
几何必背定理总结
1、同角(或等角)的余角相等、
2、对顶角相等、
3、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和、
4、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线、
5、同位角相等,两直线平行、
6、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合、
7、直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半、
8、在角平分线上的点到这个角的两边距离相等、及其逆定理、
9、夹在两条平行线间的平行线段相等、夹在两条平行线间的垂线段相等、
10、一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形、
11、有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形、
12、菱形性质:四条边相等、对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角、
13、正方形的四个角都是直角,四条边相等、两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角、
14、在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等,那么它们所对应的其余各对量都相等、
15、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对弧、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧、
16、直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似、
17、相似三角形对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、
18.圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角、
19、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线、
20、切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点、②圆的切线垂直于经过切点的半径、③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心、
21、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等、连结圆外一点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角、
22、弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半、弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角、
23、相交弦定理;切割线定理;割线定理;
中考复习简单几何练习题及答案
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一、选择题(每小题3分)
1.已知∠AOB=30°,自∠AOB的顶点O引射线OC,若∠AOC:∠AOB=4:3,则∠BOC等于()。
A.10°B.40°C.70°D.10°或70°
2.用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数()。
A.5个B.10个C.11个D.以上都不对
3.如果两条平行线被第三条直线所截得的8个角中,有一个角的度数已知,
则()。
A.只能求出其余3个角的度数B.能求出其余5个角的度数
C.只能求出其余6个角的度数D.能求出其余7个角的度数
4.若两条平行线被第三条直线所截,则下列说法错误的是()。
A.一对同位角的平分线互相平行
B.一对内错角的平分线互相平行
C.一对同旁内角的平分线互相垂直
D.一对同旁内角的平分线互相平行
5.下列说法,其中正确的是()。
A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
B.不相交的两条直线就是平行线;
C.点到直线的垂线段,叫做点到直线的距离;
D.同位角相等,两直线平行。
6.下列关于对顶角的说法:
(1)相等的角是对顶角(2)对顶角相等
(3)不相等的角不是对顶角(4)不是对顶角不相等
其中正确的有()。
A.1个B.2个C.3个D.4个
九年级数学知识点归纳:勾股定理的逆定理
知识点总结
一、勾股定理:
1.勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a,斜边长为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明:
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
(1)图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;
(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
4.勾股定理的适用范围:
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的内容:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。
说明:(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;
(2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤:
(1)确定最大边;
(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;
(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等,若相等,则说明是直角三角形。
三、勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
四、一个重要结论:
由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用
解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题,折叠问题、梯子下滑问题等,常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法
(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)应用勾股定理建立方程;(3)实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
误区提醒
(1)忽略勾股定理的适用范围;(2)误以为直角三角形中的一定是斜边。
【典型例题】(2010湖北孝感)
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;
[知识拓展]
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
规律方法指导
1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.
初二数学知识点梳理:勾股定理
知识点总结
一、勾股定理:
1.勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a,斜边长为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明:
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
(1)图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;
(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
4.勾股定理的适用范围:
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的内容:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。
说明:(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;
(2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤:
(1)确定最大边;
(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;
(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等,若相等,则说明是直角三角形。
三、勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
四、一个重要结论:
由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用
解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题,折叠问题、梯子下滑问题等,常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法
(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)应用勾股定理建立方程;(3)实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
误区提醒
(1)忽略勾股定理的适用范围;(2)误以为直角三角形中的一定是斜边。
【典型例题】(2010湖北孝感)
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;
[知识拓展]
勾股定理
一、勾股定理概述
直角三角形中,两直边的平方和等于斜边的平方。
即令直角三角形ABC中,其中角C=90°,直边BC的长度为a,AC的长度为b,斜边AB的长度为c,则有a+b=c
①勾股定理应用的前提是这个三角函数必须是直角三角形,解题时,只能是同一直角三角形中时,才能利用它求第三边边长
②在式子a+b=c中,a、b代表直角三角形的两条直角边,c代表斜边,它们之间的关系不能弄错
③遇到直角三角形中线段求值问题(知识点详解见解直角三角形),要首先向到勾股定理,勾股定理把“数”与“形”有机结合起来,把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来,是属性结合思想方法的典型。
④勾股定理的变式
在Rt△ABC中,其中角C=90°,直边BC的长度为a,AC的长度为b,斜边AB的长度为c,则
c=a+b
a=c-b=(c-b)(c+b)
b=c-a=(c-a)(c=a)
c=根号下(a+b)
a=根号下(c-b)
b=根号下(c-a)
二、勾股定理证明方法
1.面积法
一个直角梯形由2个直角边分别为a、b,斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成。因为三个直角三角形的面积之和等于梯形的面积,所以可以列出等式
1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2,化简c2=a2+b2
2.赵爽证明法
以a、b为直角边(ba),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1/2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90,
∴∠EAB+∠HAD=90,
∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)2.
∴4*1/2ab+(b-a)2=c2
∴a2+b2=c2
三、勾股定理的逆定理
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。
勾股定理的逆定理是识别一个三角形是直角三角形的一种理论依据,它通过数形结合来确定三角形的形状,在运用这一定理时,可以用两短边的平方和a+b与较长边的平方c做比较,如果a+b=c,则此三角形为直角三角形,若a+b>c,此三角形为锐角三角形,若a+b<c,则此三角形为钝角三角形
文章来源:http://m.jab88.com/j/76390.html
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