一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助教师掌握上课时的教学节奏。怎么才能让教案写的更加全面呢?下面的内容是小编为大家整理的常见的数列求和及应用,供您参考,希望能够帮助到大家。
常见的数列求和及应用
一、自主探究
1、等差数列的前n项和公式:
=。
2、等比数列的前n项和公式:
①当时,;
②当时,=。
3、常见求和公式有:
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+(2n-1)=
※③=
※④
二、典例剖析
(一)、分组求和法:某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用公式分别求和,从而得出原数列的和。
例1已知,求数列{}的前n项和。
变式练习:已知,求数列{}的前n项和。
(二)、裂项求和法:如果数列的通项公式可转化为形式,常采用裂项求和的方法。特别地,当数列形如,其中是等差数列,可采用此法
例2求和:()
变式练习:已知数列的通项公式,求数列{}的前n项和。
(三)、奇偶并项法:当数列通项中出现时,常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。
例3求和:
(四)、倒序相加法:此法主要适用数列前后具有“对称性”,即“首末两项之和相等”的形式。
例4求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。
变式练习:已知且.求
(五)错位相减法:一般地,如果数列时等差数列,是等比数列,求数列的前项和时,可采用此法,在等式的两边乘以或,再错一位相减。
例5求和:
变式练习:求和:
三、提炼总结:数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现,求和题在试题中更是常见,它常用来考察我们的基础知识,分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法;⑵分组求和法;⑶裂项求和法;拆项成差求和经常用到下列拆项公式,请补充完整:①=;
②=;
③=;
④=;
⑷奇偶并项法;⑸倒序相加法;⑹错位相减法。
四、课堂检测:
1、已知数列的通项,由所确定的数列的前项之和是()
A.B.C.D.
2、已知数列为等比数列,前三项为则等于()
A.B.C.D.
3、设数列,(1+2+4),…,()的前m项和为2036,则m的值为()
A.8B.9C.10D.11
4、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是()
A.5880B.5539C.5280D.4872
5、
6、若,则n=
7、设正项等比数列的首项,前n项和为,且
①求的通项;
②求的前n项和
8、数列中,且满足,
①求数列的通项公式;
②设是否存在最大的整数m,使得任意的n均有>总成立。
一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,帮助高中教师提高自己的教学质量。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢?小编特地为大家精心收集和整理了“数列在日常经济生活中的应用学案”,欢迎您参考,希望对您有所助益!
§4数列在日常经济生活中的应用一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,教师要准备好教案,这是教师的任务之一。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,让教师能够快速的解决各种教学问题。关于好的教案要怎么样去写呢?下面是小编为大家整理的“2012届高考数学备考复习:数列求和及综合应用”,相信能对大家有所帮助。
专题三:数列
第二讲数列求和及综合应用
【最新考纲透析】
1.了解数列求和的基本方法。
2.能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应问题。
3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
【核心要点突破】
要点考向1:可转化为等差、等比数列的求和问题
考情聚焦:1.可转化为等差或等比数列的求和问题,已经成为高考考查的重点内容之一。
2.该类问题出题背景选择面广,易与函数方程、递推数列等知识综合,在知识交汇点处命题。
3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。
考向链接:某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化途径有:
1.凑配、消项变换——如将递推公式(q、d为常数,q≠0,≠1)。通过凑配变成;或消常数转化为
2.倒数变换—如将递推公式(c、d为非零常数)取倒数得
3.对数变换——如将递推公式取对数得
4.换元变换——如将递推公式(q、d为非零常数,q≠1,d≠1)变换成,令,则转化为的形式。
例1:(2010福建高考文科T17)数列{}中=,前n项和满足-=(n).
(I)求数列{}的通项公式以及前n项和;
(II)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值。
【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数方程思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步先求的通项,可知为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出;第二步利用等差中项列出方程求出t
【规范解答】(I)由得,又,故,从而
(II)由(I)从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得解得。
【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地,含有的递推关系式,一般利用化“和”为“项”。
要点考向2:错位相减法求和
考情聚焦:1.错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。
2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。
3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题。
考向链接:几种求通项及求和方法
(1)已知,求可用叠加法,即
(2)已知,求可用叠乘法,即
(3)设{}为等差数列,为等比数列,求数列的前n项和可用错位相减法。
例2:(2010海南宁夏高考理科T17)设数列满足,
(Ⅰ)求数列的通项公式:
(Ⅱ)令,求数列的前n项和.
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题.
【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,在求数列的前n项和.
【规范解答】(Ⅰ)由已知,当时,
而,满足上述公式,
所以的通项公式为.
(Ⅱ)由可知,
①
从而②
①②得
即
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和.
要点考向3:裂项相消法求和
考情聚焦:1.裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。
2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。
3.多以解答题的形式出现,属中、高档题目。
考向链接:裂项求和的几种常见类型
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)若是公差为d的等差数列,则
;
(6);
(7)
(8)。
例3:(2010山东高考理科T18)已知等差数列满足:,,的前n项和为.
(1)求及;
(2)令(nN*),求数列的前n项和.
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求及;(2)由(1)求出的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,
所以;==.
(2)由(1)知,所以bn===,
所以==,
即数列的前n项和=.
【方法技巧】数列求和的常用方法:
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对公比的讨论.
2、错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.
4、裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法:把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).
要点考向4:与不等式有关的数列问题
考情聚焦:1.数列综合问题,特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。
2.该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等知识交汇,综合命题。
3.多以解答题的形式出现,属高档题。
例4:(2010天津高考文科T22)在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)记,证明.
【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
【思路点拨】(Ⅰ)(Ⅱ)应用定义法证明、求解;(Ⅲ)对n分奇数、偶数进行讨论.
【规范解答】(I)由题设可知,,,,,。从而,所以,,成等比数列.
(II)由题设可得
所以
.
由,得,从而.
所以数列的通项公式为或写为,.
(III)由(II)可知,,
以下分两种情况进行讨论:
当n为偶数时,设n=2m
若,则,
若,则
.
所以,从而
(2)当n为奇数时,设.
所以,从而
综合(1)和(2)可知,对任意有
【高考真题探究】
1.(2010天津高考理科T6)已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为()
(A)或5(B)或5(C)(D)
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式.
【思路点拨】求出数列的通项公式是关键.
【规范解答】选C.设,则,
即,,.
2.(2010天津高考文科T15)设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和.
记设为数列{}的最大项,则=.
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识.
【思路点拨】化简利用均值不等式求最值.
【规范解答】
∴
∵当且仅当即,所以当n=4,即时,最大.
【答案】4.
3.(2010安徽高考理科T20)设数列中的每一项都不为0.
证明:为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有
.
【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识,考查考生推理论证,运算求解能力.
【思路点拨】证明可分为两步,先证明必要性,适宜采用列项相消法,再证明充分性,可采用数学归纳法或综合法.
【规范解答】已知数列中的每一项都不为0,
先证
若数列为等差数列,设公差为,
当时,有,
即对任何,有成立;
当时,显然也成立.
再证
对任意,有①,
②,
由②-①得:-
上式两端同乘,得③,
同理可得④,
由③-④得:,所以为等差数列
【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的变形,如分组、裂项等,转化为常见的类型进行求和;
2、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;也可以把n取自然数中的具体的数1,2,3…等,得到一些等式归纳证明.
4.(2010安徽高考文科T21)设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.
(1)证明:为等比数列;
(2)设,求数列的前项和.
【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力.
【思路点拨】(1)求直线倾斜角的正弦,设的圆心为,得,同理得,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即中与的关系,可证明为等比数列;
(2)利用(1)的结论求的通项公式,代入数列,然后采用错位相减法求和.
【规范解答】
.
【方法技巧】
1、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;
2、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的处理,如分组、列项相消、错位相减等,转化为常见的类型进行求和.
5.(2010江苏高考T19)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为.
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识,考查探索、分析及论证的能力.
【思路点拨】(1)先求,然后利用的关系求解;(2)利用(1)中所求利用基本不等式解决.
【规范解答】(1)由题意知:,
,
化简,得:
,
当时,,适合情形.
故所求.
(2)(方法一)
,恒成立.
又,,
故,即的最大值为.
(方法二)由及,得,.
于是,对满足题设的,,有
.
所以的最大值.
另一方面,任取实数.设为偶数,令,则符合条件,且.
于是,只要,即当时,.
所以满足条件的,从而.
因此的最大值为.
6.(2010重庆高考理科T21)在数列中,=1,,其中实数。
(1)求的通项公式;
(2)若对一切有,求的取值范围。
【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题,考查数学归纳法及其应用,考查数列的基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,考查分类讨论的思想.
【思路点拨】(1)先求出数列的前几项,归纳猜想得出结论,再用数学归纳法证明;(2)对恒成立问题进行等价转化,
【规范解答】(1)【方法1】:由,,
,
,猜测(),
下面用数学归纳法证明
当n=1时,等式成立;
假设当n=k时,等式成立,即,则当n=k+1时,
综上可知,对任何都成立.
【方法2】:由原式,
令,则,,因此对有
因此,,。又当n=1时上式成立。
因此,,。
(2)【方法1】:由,得
因,所以
解此不等式得:对一切,有或,其中
易知(因为的分子、分母的最高次项都是2,且系数都是8,所以极限值是);用放缩法得:
,所以,
因此由对一切成立得;
又,易知单调递增,故对一切成立,因此由对一切成立得:
,从而c的取值范围为.
【方法2】:由,得,
因,所以对恒成立.
记,下分三种情况讨论。
(i)当即或时,代入验证可知只有满足要求
(ii)当时,抛物线开口向下,因此当正整数k充分大时,,不符合题意,此时无解。
(iii)当,即或时,抛物线开口向上,其对称轴必在直线的左侧,因此,在上是增函数。
所以要使对恒成立,只需即可。
由解得或
结合或得或
综合以上三种情况,的取值范围为.
【方法技巧】(1)第(1)问有两种方法解答:①归纳猜想并用数学归纳法证明;②数列的迭代法(或累加消项法);(2)第(2)问中对条件“恒成立”进行等价转化,转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论;(3)放缩法的运用
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.已知{an}为等差数列,若-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么使Sn0的n的最大值为()
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()
(A)(-∞,-1]
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)[3,+∞)
(D)(-∞,-1]∪[3,+∞)
3.首项为b,公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*,点(Sn,Sn+1)在()
(A)直线y=ax+b上
(B)直线y=bx+a上
(C)直线y=bx-a上
(D)直线y=ax-b上
4.在数列中,若存在非零整数,使得对于任意的正整数均成立,那么称数列为周期数列,其中叫做数列的周期.若数列满足,如,当数列的周期最小时,该数列的前2010项的和是()
5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
(A)289(B)1024(C)1225(D)1378
6.(2010届安徽省安庆市高三二模(文))已知实数、满足:(其中是虚数单位),若用表示数列的前项和,则的最大值是()
A.12B.14C.15D.16
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.已知等比数列满足,且,则当时,
________
8.类比是一个伟大的引路人。我们知道,等差数列和等比数列有许多相似的性质,请阅读下表并根据等差数列的结论,类似的得出等比数列的两个结论:,
9.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第_______行;第61行中1的个数是_______.
三、解答题(10、11题每题15分,12题16分,共46分)
10.已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1).
11.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
12.在数列中,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求的最大值.
参考答案
一、选择题
1.【解析】选C.∵等差数列{an}中,-1且它的前n项和Sn有最大值,∴a100,a110,故a11-a10.
即a11+a100,而a10+a100,
∴使Sn0的n的最大值为19.
2.
3.
4.D
5.【解析】选C.从图中观察知
图1中an=1+2+…+n=
图2中bn=n2,
显然1225在an中n=49,
在bn中n=35.
6.D
二、填空题
7.
8.,
9.【解析】①第1次全行的数都是1的是第1行,
第2次全行的数都是1的是第3行,
第3次全行的数都是1的是第7行,
……
第n次全行的数都是1的是第2n-1行,
②由上面结论知第63行有64个1,
则1100……0011……61行
1010……101……62行
1111……11……63行
从上面几行可知第61行数的特点是两个1两个0交替出现,最后两个为1,
∴在第61行的62个数中有32个1.
答案:2n-132
三、解答题
10.【解析】(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,
两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,
即an+1=2an+1.
从而an+1+1=2(an+1).
当n=1时,S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1),故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0,
即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11.【解析】(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上得Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;
当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12.【解析】(1)由且…)
得.
(2)由变形得
,
是首项为公比为的等比数列
即()
(3)①当是偶数时
随增大而减少
当为偶数时,最大值是.
②当是奇数时
随增大而增大且
综上最大值为
【备课资源】
1.已知等比数列{an}的公比q0,前n项的和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是()
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5S5a4
(C)S4a5S5a4(D)不能确定
教案67数列的综合应用
一、课前检测
1.猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为。
答案:
2.用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为(C)
A.1B.1+C.D.
二、知识梳理
1.等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。
⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为,年增长率为,则每年的产量成等比数列,公比为.其中第年产量为,且过年后总产量为:
⑵银行部门中按复利计算问题.例如:一年中每月初到银行存元,利息为,每月利息按复利计算,则每月的元过个月后便成为元.因此,第二年年初可存款:
=.
注意:“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为:
(等差数列问题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为(按复利),那么每期等额还款元应满足:
(等比数列问题).
⑶分期付款应用题:为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;为年利率.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意:
(1)分清是等差数列还是等比数列;
(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.
3.数列与其他知识的综合也是常考的题型,如:数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透,都是常见的题型。
4.强化转化思想、方程思想的应用.
三、典型例题分析
题型1以等差数列为模型的问题
例1由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生60~100万难民,联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t,第二天运送1100t,以后每天都比前一天多运送100t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减100t,连续运送15天,总共运送21300t,求在第几天达到运送食品的最大量.
剖析:本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.
解:设在第n天达到运送食品的最大量.
则前n天每天运送的食品量是首项为1000,公差为100的等差数列.
an=1000+(n-1)100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800,公差为-100的等差数列.
依题意,得
1000n+×100+(100n+800)(15-n)+×(-100)=21300(1≤n≤15).
整理化简得n2-31n+198=0.
解得n=9或22(不合题意,舍去).
答:在第9天达到运送食品的最大量.
变式训练1数列{an}中,a1=6,且an-an-1=an-1n+n+1(n∈N*,n≥2),则这个数列的通项an=________.答案:(n+1)(n+2)
解:由已知等式得nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*,n≥2),则ann+1-an-1n=1,所以数列{ann+1}是以a12=3为首项,1为公差的等差数列,即ann+1=n+2,则an=(n+1)(n+2).n=1时,此式也成立.
小结与拓展:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。
题型2以等比数列为模型的实际问题
例2(2005年春季上海,20)某市2004年底有住房面积1200万平方米,计划从2005年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
(1)分别求2005年底和2006年底的住房面积;
(2)求2024年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)
剖析:本题实质是一个等比数列的求和问题.
解:(1)2005年底的住房面积为
1200(1+5%)-20=1240(万平方米),
2006年底的住房面积为
1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),
∴2005年底的住房面积为1240万平方米,2006年底的住房面积为1282万平方米.
(2)2024年底的住房面积为
1200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-…-20(1+5%)-20
=1200(1+5%)20-20×
≈2522.64(万平方米),
∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.
评述:应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案.
变式训练2从2002年1月2日起,每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款,到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数为____万元.
答案:[(1+p)7-(1+p)]
解:存款从后向前考虑
(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)5
==[(1+p)7-(1+p)].
注:2008年不再存款.
小结与拓展:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。
题型3数列与函数、不等式等问题的综合应用
例3(文)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).
(1)试判断数列{1an}是否为等差数列;(2)设{bn}满足bn=1an,求数列{bn}的前n项为Sn;
(3)若λan+1an+1≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得1an-1an-1=3(n≥2),故数列{1an}是等差数列.
(2)由(1)的结论可得bn=1+(n-1)×3,所以bn=3n-2,
∴Sn=n(1+3n-2)2=n(3n-1)2.
(3)将an=1bn=13n-2代入λan+1an+1≥λ并整理得λ(1-13n-2)≤3n+1,
∴λ≤(3n+1)(3n-2)3n-3,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.
设Cn=(3n+1)(3n-2)3n-3,则Cn+1-Cn=(3n+1)(3n-4)3n(n-1)0,故Cn+1Cn,
∴Cn的最小值为C2=283,∴λ的取值范围是(-∞,283].
变式训练3已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=23an-13,若1Sk9(k∈N*),则k的值为________.答案:4
解:∵Sn=23an-13,∴S1=23a1-13=a1,a1=-1.an=Sn-Sn-1(n1),即an=(23an-13)-(23an-1-13)=23an-23an-1,整理得:anan-1=-2,∴{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,Sk=a1(1-qk)1-q=(-2)k-13,∵1Sk9,∴1(-2)k-139,即4(-2)k28,仅当k=4时不等式成立.
小结与拓展:数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)
1.等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.解应用题的关键是建立数学模型,转化为数学问题,要加强培养转化意识.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意:
(1)分清是等差数列还是等比数列;
(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.
3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
4.强化转化思想、方程思想的应用.
文章来源:http://m.jab88.com/j/49519.html
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