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七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版

因式分解
一、因式分解的概念
例1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为()
A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）
分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.
解：选C.
二、因式分解的方法
例2因式分解：2(a-3)2-a+3=.
分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.
解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).
注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.
例3因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).
分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.
解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+2×2m×3(m+n)+[3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=
(5m+3n)2.
注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.
例4因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).
分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.
解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).
三、因式分解相关的计算
例5已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.
分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.
解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2=4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=
4a4-8a2b2+4b4.
例6计算.
分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.
解：==.
四、因式分解相关的说明
例7已知a2+b2=1，x2+y2=1.
试说明：(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边因式分解.
(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).
因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.
五、因式分解的实际应用
例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88cm，它们的面积相差836cm2，求这两个正方形的边长.
分析：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，则根据它们的周长相差88cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836cm2，所以x2-y2=836，根据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形，求解.
解：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，根据题意得
方程组等价于
将③代入④，得x+y=38⑤.
③和⑤组成方程组得
解得x=30，y=8.
所以大正方形的边长是30cm，小正方形的边长是8cm.
误区点拨
误区一因式对分解的概念理解不透彻
例1下列从左到右的变形是分解因式的是()
A.B.
C.D.=
错解：选B、C、D.
错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.
正解：选A.
误区二多项式分解不彻底
例2因式分解a4-2a2+1.
错解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2.
错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2(a-1)2.
正解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.
误区三利用公式出现偏差
例3因式分解(x+y)2-4xy.
错解：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).
错因分析：4xy不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.
正解：(x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.
误区四提公因式漏项
例4分解因式3a2bc3-12abc2+3abc.
错解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).
错因分析：最后一项提取公因式3abc后，还剩余1单独成一项.
正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).
教学反思：

精选阅读

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

第三章因式分解

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx

13131

x(ab)3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式

或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部

3232

分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.

②提公因式的步骤第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩

下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要

先提取符号。

2233

例1：把12ab18ab24ab分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

2233

解：12ab18ab24ab

6ab(2a3b4a2b2)

例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式

解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项

式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式.解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)

例3：把多项式x22x分解因式

解：x22x=(x22x)x(x2)（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)

b.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2

3

3

2

2

c.逆用立方和公式：ab(ab)(aabb（拓展）)

d.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2（拓展）)

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项

式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

2

解：a14a49=(a7)2

例2：因式分解a2a(bc)(bc)解：a2a(bc)(bc)=(abc)（3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式

解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

22

例：将多项式a2ab1b因式分解

22

222

22

解：a2ab1b

=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)

2x（4）十字相乘法（形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

222

方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(xp)(xq)

例：分解因式x2x30分解因式x252x100补充点详解补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。

所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(xp)(xq)解为(xp)(xq)

x

x5

x2

-6

x50

x2x30(x6)(x5)

3.因式分解的一般步骤：

x252x100(x50)(x2)

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明

确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式：

⑴15aab

2n1

10abba(n为正整数)

2n

⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于1的自然数)

【巩固】分解因式：(xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz)，n为正整数.

【例2】先化简再求值，yxyxyxyx2，其中x2，y

2

求代数式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x)，其中x.

3

1．2

22221

【例3】已知：bca2，求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值.

33333

公式法

平方差公式：a2b2(ab)(ab)

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

分解因式：x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza).

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：

a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3

因式分解复习学案

第3课时《因式分解》复习学案

班级：_________姓名：__________评价：__________

【考点扫描】

1.分解因式：．

2.下列式子中是完全平方式的是（）

A．B．C．D．

3．若．

4.分解因式：=。

5.分解因式:m2-n2+2m-2n＝.

6.分解因式:.

【例题精讲】

1、分解因式：

2、分解因式：=.

3、因式分解：___________________.

4、已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：

（1）a2b+ab2（2）a2+b2

5、在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

A．

B．

C．

D．

【当堂检测】

一．选择题：

1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）

A．B．

C．D．

2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）

A．x2–yB．x2+2xC．x2+y2D．x2–xy+y2

二．填空题：

（将下列各式因式分解）

1．=

2．．

3．=______________．

4．．

5．＝___________________.

6．若是一个完全平方式，则

三．解答题：

1．已知，，求的值。

2．如图所示，边长为的矩形，它的周长为14，面积为10，求的值．

【能力提升】

1．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状.

阅读下面解题过程：

解：由得：

①

②

即③

∴△ABC为直角三角形。④

试问：以上解题过程是否正确：；

若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；

错误原因是；

本题的结论应为.

七年级下册《方差》小结与复习学案湘教版

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七年级下册《方差》小结与复习学案湘教版

方差
目的要求：
1.认识极差、方差的概念.
2.能正确计算一组数据的极差、方差.
3.极差、方差对一组数据的意义.
重点：
极差、方差对一组数据的意义
准备：
小黑板、幻灯
教学过程：
一、复习.（幻灯）
1.权数与频率的关系.
2.求25、37、54、46、75的加权平均数.
⑴、已知权数为0.1、0.2、0.15、0.25、0.3
⑵、已知前四个数的权数为0.2、0.2、0.4、0.1
二、极差.
1.引入.（小黑板）
我班A同学的期中测试成绩如下：政：80语：85、数：95、外：60、史：90、地：65、生：95
我班B同学的期中测试成绩如下：政：85语：75、数：95、外：75、史：85、地：80、生：75
⑴、计算两同学的平均成绩，看看谁的成绩更好？
⑵、你认为哪个同学的成绩看起来一平衡？为什么？
B同学的成绩平衡些.虽然他们的最高分都相同，但B同学他的最低分只有75，而A同学的最低分是60分.）
2.教师引导得到：
一组数据中最大值与最小值之差，叫这组数据的极差.极差的大小反映了数据的波动或分散的程度.
如上，A同学的成绩的极差是95－60＝35，B同学的成绩的极差是95－75＝20，因而B同学的成绩的波动就小一些，成绩就比较平衡.极差越大，波动越大;极差越小，波动越小.
3.应用.
下表是1998年4—9月中每个月份湘江的最高水位和最低水位（单位：m）
⑴、计算每个月份水位变化的极差.
⑵、计算4—9月份最高水位变化的极差.
⑶、计算4—9月份最低水位变化的极差.
⑷、从上面的数据及其分析中，你能获得哪些信息？
（水位变化的极差反映了湘江水位涨落的程度;
6月份的极差最大，说明这一年6月份经常下大雨，雨水是最多的.水位波动最大
9月份极差最小，说明很少下雨，水位恒定.
从这6个月的水位变化情况看，最高水位极差达到10.41m，最低水位极差也在5.35m.说明这一年湘江发洪水，灾害严重.……）
可让学生自由发言，能够在数据中体现的信息都应给予肯定.
4.练习.
三、方差.
1.引入.（小黑板）
有两个合唱队，各由5名队员组成，他们的身高为（单位：cm）
甲队：160、162、159、160、159
乙队：180、160、150、150、160
⑴、计算两队的平均身高.看看这两队中从身高来说哪队更整齐？
⑵、哪组队员的身高更集中于160cm？
2.反映一组数据的分散程度，数学中可用方差来解决.
方差：一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均值，称为这组数据的方差.
如上题中用方差来解决看哪队更整齐的问题.
甲乙两队中，每队队员的平均身高都是160cm，则甲队队员的身高的方差是：
〔（160－160）2＋（162－160）2＋（159－160）2＋（160－160）2＋（159－160）2〕÷5＝1.2
乙队队员的身高的方差是：
〔（180－160）2＋（160－160）2＋（150－160）2＋（150－160）2＋（160－160）2〕÷5＝120显然，乙队队员身高的方差远远大于甲队队员的身高，这说明甲队队员的身高偏差较小，看起来更整齐;而乙队队员的身高偏差较大，则乙队队员高的高、矮的矮，不齐整.
3.方差的意义.
方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度，方差越小，数据越集中；方差越大，数据越分散.简而言之：方差反映了数据组与其平均数的偏离程度.
4.应用.（幻灯）
⑴我班某同学期中测试成绩如下：政：85语：75、数：95、外：75、史：85、地：60、生：95，计算这组数据的极差、方差.
⑵有一批棉花，其各种长度的纤维所占比例如表所示：
试求这批棉花纤维的平均长度与方差，并对这批的质量发表自己的看法.
四、作业.
五、小结.
（说明：由于学生使用的不同的计算器，所以请同学们自己参考阅读说明书，练习用计算器求方差.）
纤维长度3cm5cm6cm所占比例25％40％35％

文章来源：http://m.jab88.com/j/7189.html

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