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七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版

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七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版

因式分解
一、因式分解的概念
例1下列各式从左边到右边的变形中,是因式分解的为()
A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)
分析:要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法;B只是分解了局部,没有整体化成整式的积的形式;而D左右两边不相等,不属于恒等变形,因而也不属于分解因式.
解:选C.
二、因式分解的方法
例2因式分解:2(a-3)2-a+3=.
分析:注意到-a+3提出负号后可变成(a-3),所以考虑将负号提出,添括号后提取公因式(a-3).
解:2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).
注意:注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.
例3因式分解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n).
分析:可将(m+n)看做一个整体,利用完全平方公式分解.
解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+2×2m×3(m+n)+[3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=
(5m+3n)2.
注意:当所要分解的多项式符合公式的“项数”时,注意灵活进行整体运用.
例4因式分解:a2(2x-3)+9(3-2x).
分析:先提取(2x-3),然后用平方差公式分解,注意后一项的符号变化.
解:a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).
三、因式分解相关的计算
例5已知x=a+b,y=a-b,用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.
分析:将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后,每个括号内合并,然后观察与x,y的关系,再将x=a+b,y=a-b代入求解.
解:(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2=4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=
4a4-8a2b2+4b4.
例6计算.
分析:若直接计算,则分母中的计算量很大,考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.
解:==.
四、因式分解相关的说明
例7已知a2+b2=1,x2+y2=1.
试说明:(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
分析:将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示,故考虑将左边因式分解.
(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).
因为a2+b2=1,x2+y2=1,所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
注意:此题采用“欲进先退”的策略,即要进行分解因式,先进行整式的乘法,待到式子化简后,再分解因式进行说明.
五、因式分解的实际应用
例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88cm,它们的面积相差836cm2,求这两个正方形的边长.
分析:设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,则根据它们的周长相差88cm,可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836cm2,所以x2-y2=836,根据这两个方程可求出x,y的值,但是两个方程的数值较大,计算复杂,因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形,求解.
解:设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,根据题意得
方程组等价于
将③代入④,得x+y=38⑤.
③和⑤组成方程组得
解得x=30,y=8.
所以大正方形的边长是30cm,小正方形的边长是8cm.
误区点拨
误区一因式对分解的概念理解不透彻
例1下列从左到右的变形是分解因式的是()
A.B.
C.D.=
错解:选B、C、D.
错因分析:B中只是将部分写成积的形式,不符合因式分解的概念,C中是整式的乘法,和因式分解正好互为逆运算;D中的a-1实质上是,不是整式,而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式,所以不正确.
正解:选A.
误区二多项式分解不彻底
例2因式分解a4-2a2+1.
错解:a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2.
错因分析:括号内的a2-1还可以利用平方差分解,然后利用积的平方写成(a+1)2(a-1)2.
正解:a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.
误区三利用公式出现偏差
例3因式分解(x+y)2-4xy.
错解:(x+y)2-4xy=(x+y+2xy)(x+y-2xy).
错因分析:4xy不是一个整式的平方的形式,不能直接利用平方差公式分解.
正解:(x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.
误区四提公因式漏项
例4分解因式3a2bc3-12abc2+3abc.
错解:3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).
错因分析:最后一项提取公因式3abc后,还剩余1单独成一项.
正解:3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).
教学反思:

精选阅读

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版


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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

第三章因式分解

1.因式分解

定义:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解。即:多项式几个整式的积例:axbx

13131

x(ab)3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法:

(1)提公因式法:

①定义:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式:多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式

或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例:12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析:从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部

3232

分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc,故多项式的公因式是2abc.

②提公因式的步骤第一步:找出公因式;

第二步:提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提公因式后剩

下的另一个因式。

注意:提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简。多项式中第一项有负号的,要

先提取符号。

2233

例1:把12ab18ab24ab分解因式.

解析:本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab。

2233

解:12ab18ab24ab

6ab(2a3b4a2b2)

例2:把多项式3(x4)x(4x)分解因式

解析:由于4x(x4),多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项

式各项都含有公因式(x4),所以我们可以提取公因式(x4)后,再将多项式写成积的形式.解:3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)

例3:把多项式x22x分解因式

解:x22x=(x22x)x(x2)(2)运用公式法

定义:把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式:a2b2(ab)(ab)

b.逆用完全平方公式:a22abb2(ab)2

3

3

2

2

c.逆用立方和公式:ab(ab)(aabb(拓展))

d.逆用立方差公式:a3b3(ab)(a2abb2(拓展))

注意:①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法:主要从项数上看,若多项式是二项式可考虑平方差公式;若多项式是三项

式,可考虑完全平方公式。

例1:因式分解a214a49

2

解:a14a49=(a7)2

例2:因式分解a2a(bc)(bc)解:a2a(bc)(bc)=(abc)(3)分组分解法(拓展)

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解;例:把多项式abab1分解因式

解:abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

22

例:将多项式a2ab1b因式分解

22

222

22

解:a2ab1b

=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)

2x(4)十字相乘法(形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式,可以考虑运用此种方法)

222

方法:常数项拆成两个因数p和q,这两数的和pq为一次项系数

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(xp)(xq)

例:分解因式x2x30分解因式x252x100补充点详解补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式,我们可以将100分解成p×q的形式,使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。

所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(xp)(xq)解为(xp)(xq)

x

x5

x2

-6

x50

x2x30(x6)(x5)

3.因式分解的一般步骤:

x252x100(x50)(x2)

如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式,

通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式。因此,可以概括为:“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意:因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若题目没有明

确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。一、例题解析

提公因式法

提取公因式:如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法:

系数——取多项式各项系数的最大公约数;

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式:

⑴15aab

2n1

10abba(n为正整数)

2n

⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于1的自然数)

【巩固】分解因式:(xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz),n为正整数.

【例2】先化简再求值,yxyxyxyx2,其中x2,y

2

求代数式的值:(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x),其中x.

3

1.2

22221

【例3】已知:bca2,求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值.

33333

公式法

平方差公式:a2b2(ab)(ab)

①公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反;②每一项都可以化成某个数或式的平方形式;

③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积.完全平方公式:a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2①左边相当于一个二次三项式;

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式;

分解因式:x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza).

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍,符号可正可负;

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式:

a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3

因式分解复习学案


第3课时《因式分解》复习学案

班级:_________姓名:__________评价:__________

【考点扫描】

1.分解因式:.

2.下列式子中是完全平方式的是()

A.B.C.D.

3.若.

4.分解因式:=。

5.分解因式:m2-n2+2m-2n=.

6.分解因式:.

【例题精讲】

1、分解因式:

2、分解因式:=.

3、因式分解:___________________.

4、已知:a+b=3,ab=2,求下列各式的值:

(1)a2b+ab2(2)a2+b2

5、在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形(>)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()

A.

B.

C.

D.

【当堂检测】

一.选择题:

1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为()

A.B.

C.D.

2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是()

A.x2–yB.x2+2xC.x2+y2D.x2–xy+y2

二.填空题:

(将下列各式因式分解)

1.=

2..

3.=______________.

4..

5.=___________________.

6.若是一个完全平方式,则

三.解答题:

1.已知,,求的值。

2.如图所示,边长为的矩形,它的周长为14,面积为10,求的值.

【能力提升】

1.已知a、b、c是△ABC的三边,且满足,试判断△ABC的形状.

阅读下面解题过程:

解:由得:

即③

∴△ABC为直角三角形。④

试问:以上解题过程是否正确:;

若不正确,请指出错在哪一步?(填代号);

错误原因是;

本题的结论应为.

七年级下册《方差》小结与复习学案湘教版


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七年级下册《方差》小结与复习学案湘教版

方差
目的要求:
1.认识极差、方差的概念.
2.能正确计算一组数据的极差、方差.
3.极差、方差对一组数据的意义.
重点:
极差、方差对一组数据的意义
准备:
小黑板、幻灯
教学过程:
一、复习.(幻灯)
1.权数与频率的关系.
2.求25、37、54、46、75的加权平均数.
⑴、已知权数为0.1、0.2、0.15、0.25、0.3
⑵、已知前四个数的权数为0.2、0.2、0.4、0.1
二、极差.
1.引入.(小黑板)
我班A同学的期中测试成绩如下:政:80语:85、数:95、外:60、史:90、地:65、生:95
我班B同学的期中测试成绩如下:政:85语:75、数:95、外:75、史:85、地:80、生:75
⑴、计算两同学的平均成绩,看看谁的成绩更好?
⑵、你认为哪个同学的成绩看起来一平衡?为什么?
B同学的成绩平衡些.虽然他们的最高分都相同,但B同学他的最低分只有75,而A同学的最低分是60分.)
2.教师引导得到:
一组数据中最大值与最小值之差,叫这组数据的极差.极差的大小反映了数据的波动或分散的程度.
如上,A同学的成绩的极差是95-60=35,B同学的成绩的极差是95-75=20,因而B同学的成绩的波动就小一些,成绩就比较平衡.极差越大,波动越大;极差越小,波动越小.
3.应用.
下表是1998年4—9月中每个月份湘江的最高水位和最低水位(单位:m)
⑴、计算每个月份水位变化的极差.
⑵、计算4—9月份最高水位变化的极差.
⑶、计算4—9月份最低水位变化的极差.
⑷、从上面的数据及其分析中,你能获得哪些信息?
(水位变化的极差反映了湘江水位涨落的程度;
6月份的极差最大,说明这一年6月份经常下大雨,雨水是最多的.水位波动最大
9月份极差最小,说明很少下雨,水位恒定.
从这6个月的水位变化情况看,最高水位极差达到10.41m,最低水位极差也在5.35m.说明这一年湘江发洪水,灾害严重.……)
可让学生自由发言,能够在数据中体现的信息都应给予肯定.
4.练习.
三、方差.
1.引入.(小黑板)
有两个合唱队,各由5名队员组成,他们的身高为(单位:cm)
甲队:160、162、159、160、159
乙队:180、160、150、150、160
⑴、计算两队的平均身高.看看这两队中从身高来说哪队更整齐?
⑵、哪组队员的身高更集中于160cm?
2.反映一组数据的分散程度,数学中可用方差来解决.
方差:一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均值,称为这组数据的方差.
如上题中用方差来解决看哪队更整齐的问题.
甲乙两队中,每队队员的平均身高都是160cm,则甲队队员的身高的方差是:
〔(160-160)2+(162-160)2+(159-160)2+(160-160)2+(159-160)2〕÷5=1.2
乙队队员的身高的方差是:
〔(180-160)2+(160-160)2+(150-160)2+(150-160)2+(160-160)2〕÷5=120显然,乙队队员身高的方差远远大于甲队队员的身高,这说明甲队队员的身高偏差较小,看起来更整齐;而乙队队员的身高偏差较大,则乙队队员高的高、矮的矮,不齐整.
3.方差的意义.
方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度,方差越小,数据越集中;方差越大,数据越分散.简而言之:方差反映了数据组与其平均数的偏离程度.
4.应用.(幻灯)
⑴我班某同学期中测试成绩如下:政:85语:75、数:95、外:75、史:85、地:60、生:95,计算这组数据的极差、方差.
⑵有一批棉花,其各种长度的纤维所占比例如表所示:
试求这批棉花纤维的平均长度与方差,并对这批的质量发表自己的看法.
四、作业.
五、小结.
(说明:由于学生使用的不同的计算器,所以请同学们自己参考阅读说明书,练习用计算器求方差.)
纤维长度3cm5cm6cm所占比例25%40%35%

文章来源:http://m.jab88.com/j/7189.html

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