老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，大家在着手准备教案课件了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了，未来工作才会更有干劲！有多少经典范文是适合教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“九年级数学竞赛避免漏解的奥秘辅导教案”，仅供参考，希望能为您提供参考！

“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．
分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．
解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．
【例题求解】
【例1】四条线段的长分别为9，5，，1(其中为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则可取值的个数为．
(“信利杯”竞赛题)
注：初中数学常见的分类方法有：
(1)按定义、性质、法则、公式分类；
(2)对参数分类；
(3)按图形位置分类；
(4)按图形特征分类；
(5)按余数分类．
注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．
【例2】方程的所有整数解的个数是()
A．2B．3C．4D．5
(山东省选拔赛试题)
思路点拨这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)的偶次幂等于1．

【例3】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨根据方程定义，是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以，应对r=0及≠0两种情况分类求解．

【例4】已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A、B不重合)．过点M作MN∥BC，交AC于点N．设MN=．
(1)用表示△AMN的面积S△AMN；
(2)用△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内)，设点A落在平面BCNM内的点为A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为．①试求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当为何值时重叠部分的面积最大，最大为多少?
(苏州市中考题)
思路点拨折叠△AMN，A点位置不确定，可能在△ABC内或在BC边上或在△ABC外，故需按以上三种情况分别求出关于的函数关系式，进而求出的最大值．

注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．
【例5】已知⊙Ol与⊙O2外切，⊙Ol的半径R=2，设⊙O2的半径是r．
(1)如果⊙Ol与⊙O2的圆心距d=4，求r的值；
(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r的值．
(南京市中考题)
思路点拨题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．

注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：
(1)由点的不确定定引起的分类讨论；
(2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论；
(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．
学力训练
1．已知m为实数，如果函数的图象与轴只有一个交点，那么m的取值为．
2．若实数、满足，，则的值为．
3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于．
4．已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P直线交⊙O于A、B点，若PAPB=4，OP=5，则⊙O的半径为．
5．和抛物线只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为()
A．B．C．或D．
6．若线段AB两端点到直线的距离分别为4和8，则AB的中点到直线的距离是()
A．2B．4C．6D．2或6
7．点A(-4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC可以画出()
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的P点有()
A．1个B．2个C．3个D．4个

9．已知关于的方程．
(1)求证：无论是取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长，另两边长为、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
(湖北赛区选拔赛试题)
10．已知：如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；
（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值（只需写出结果，不必写出解答过程）
(黄冈市中考题)

11．以O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm和5cm，⊙O′与这两个圆都相切，则⊙O′的半径是．
12．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B的大小为．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．
(北京市宣武区中考题)
14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m6，以M为圆心，MC为半径作圆，那么当m=时，⊙M与直线AB相切．
15．关于的方程有有理根，求整数是的值．
(山东赛区选拔赛试题)
16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；
(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
(3)若一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?
(江苏省竞赛题)
17．如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．

18．已知关于的方程(q≥0)的两个实数根为，且≤．
(1)试用含有，的代数式表示和；
(2)求证：≤1≤
(3)若以，为坐标的点M(，)在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A(1，2)，B(，1)，C(1，1)，问是否存在点M使+=，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(天津市中考题)
19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．
(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102㎏，时间单位：天)
参考答案

扩展阅读

九年级数学竞赛方程与函数辅导教案

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，接下来的工作才会更顺利！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？下面是小编为大家整理的“九年级数学竞赛方程与函数辅导教案”，希望能对您有所帮助，请收藏。

【例题求解】
【例1】若关于的方程有解，则实数m的取值范围．
思路点拨可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．
【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根，，且1，那么取值范围是()
A．B．C．D．
思路点拨因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足1的的值，注意判别式的隐含制约．

【例3】已知抛物线()与轴交于两点A(，0)，B(，0)(≠)．
(1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求的值．
思路点拨、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．

【例4】抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．
思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．

【例5】已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且，求证：．
思路点拨对于(1)，即要证；对于(2)，即要证．
学历训练
1．已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是．
2．已知抛物线与轴交于A(，0)，B(，0)两点，且，则．
3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l；②当xx2，时，yO；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1－l，x2－l；⑤x2－x1=，其中所有正确的结论是(只需填写序号)．
4．设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则＝()．
A．8B．一4C．1lD．一4或11

5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是()
A．b2－4c+1=0B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0D．b2－4c－4=0
6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是()
A．-1B．＝1C．≥1D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．

8．已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且)，且．
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的倍，求点M的坐标．
9．已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且＜0＜，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
10．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则=.
11．函数的图象与函数的图象的交点个数是．
12．已知、为抛物线与轴交点的横坐标，，则的值为．
13．是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．
14．设抛物线的图象与轴只有一个交点．
(1)求的值；
(2)求的值．
15．已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程的一整数根，求的值．
16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．

17．设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A（，0）、B（，0）．
(1)求证：；
(2)若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值．
(

九年级数学竞赛统计的思想方法辅导教案

【例题求解】
【例1】现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如图所示．
(1)由观察所得，班的标准差较大；
(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获分才可以及格．
A班
分数0123456789
人数1357686432
思路点拨对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．

注：平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的：
(1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”；
(2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势．
【例2】已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为()
A．2a+3bB．C．6a+9bD．2a+b
思路点拨运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．

【例3】某班同学参加环保知识竞赛．将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图(如图)．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1：3：6：4：2，最右边—组的频数是6．结合直方图提供的信息，解答下列问题：
(1)该班共有多少名同学参赛?
(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?
(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率．
思路点拨读图、读懂图，从图中获取频率、组距等相关信息．

【例4】为估计，一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0
(1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；
(2)2001年又刘该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)；
(3)在(2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅．计算中需用的有关数据为：
每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5×103千克／米3；
(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．
思路点拨用样本的平均水平去估计总体的平均水平．

注：（1）运用数学知识解决实际问题的过程是：从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题．
（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式．
思路点拨
【例5】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移到篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，问原来在篮子A中有多少个弹珠?
思路点拨用字母分别表示篮子A、B弹珠数及相应的平均数，运用方程、方程组等知识求解．

学历训练
1．某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示．试结合图示信息回答下列问题：
(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是，培训后考分的中位数所在的等级是．
(2)这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由下降到．
(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有名．
(4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?
答：，理由

2．某商店3、4月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表：
根据表中数据回答：
(1)商店平均每月销售空调(台)；
(2)商店出售的各种规格的空调中，众数是(匹)；
(3)在研究6月份进货时，商店经理决定(匹)的空调要多进；(匹)的空调要少进．
3．为了了解某中学初三年级250名学生升学考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得．下面是50名学生数学成绩的频率分布表：
分组频数累计频数频率
60．5～70．5正3
70．5～80．5正正60．12
80．5～90．5正正90．18
90．5～100．5正正正正170．34
100．5～110．5正正0．2
110．5～120．5正50．1
合计501
根据题中给出的条件回答下列问题：
(1)在这次抽样分析的过程中，样本是；
(2)频率分布表中的数据=，=；
(3)估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩约为分；
(4)耷这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～100．5范围内的人数约为人．
4．小明测得一周的体温并登记在下表（单位：℃）
星期日一二三四五六周平均体温
体温36.636.737.037.3
36.937.136.9
其中星期四的体温被墨迹污染，根据表中数据，可得此日的体温是()
A．36．?℃B．36．8℃C．36．9℃D．37．0℃
5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级参加人数中位数方差平均字数
甲55149191135
乙55151110135
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，上述结论正确的是()
A．①②③B．①②C．①③D．②③
6．今年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下图是某同学记载的5月1日至30日每天全国的SARS新增确诊病例数据图，将图中记载的数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28；其中正确的有()
A．0个B．1个C．2个D．3个

7．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%．问游客是怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
8．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．

（1）请填写下表:
平均数方差中位数命中9环以上次数
甲71．21
乙5．4

（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．
9．明湖区一中对初二年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计分析，将数据整理后，画出如下频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第六小组的频率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小组的频数是36，根据所给的图填空：
(1)第五小组的频率是，请补全这个频率分布图；
(2)参加这次测试的女生人数是；若次数在24(含24次)以上为达标(此标准为中考体育标准)，则该校初二年级女生的达标率为．
(3)请你用统计知识，以中考体育标准对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩的达标率作一个估计．

10．我国于2000年11月1日起进行了第五次全国人口普查的登记工作，据第五次人口普查，我国每10万人中拥有各种受教育程度的人数如下：具有大学程度的为3611人；具有高中程度的为11146人；具有初中程度的为33961人；具有小学程度的为35701人．
(1)根据以上数据填写下表：
受教育程度每10万人中所占百分比(％)(精确到0.01)
大学程度
高中程度
初中程度
小学程度
(2)以下各示意图中正确的是()．(将正确示意图数字代号填在括号内)

11．新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，现有6个项目可供选择(每个项目或者被全部投资，或者不被投资)，各项目所需投资金额和预计年均收益如下表：
项目ABCDEF
投资(亿元)526468
收益(亿元)0．550．40．60．40．9l
如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1．6亿元，那么，当选择的投资项目是时，投资的收益总额最大．
12．新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息；2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：
事故类型事故数量死亡人数(单位：人)死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比
火灾事故(不含森林草原火灾)54773610
铁路路外伤亡事故19621409
工矿企业伤亡事故14171639
道路交通事故11581517290
合计17396720948
(1)请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表(精确到0.01)；
(2)为了更清楚地表示出问题(1)中的百分比，请你完成下面的扇形统计图；
(3)请根据你所学的统计知识提出问题(不需要作解答，也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的)．
13．将最小的31个自然数分成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B组，则A组中各数的算术平均数增加，B组中各数的算术平均数也增加．问A组中原有多少个数?
14．某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对(=0，1，2…15)道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人?
n0123…12131415
做对n道题的人数78102l…1563l
参考答案

九年级数学竞赛动态几何问题透视辅导教案

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，接下来的工作才会更顺利！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？下面是小编为大家整理的“九年级数学竞赛动态几何问题透视辅导教案”，希望能对您有所帮助，请收藏。

【例题求解】
【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是．
(黄冈市中考题)
思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和．
【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置()
A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动
C．在AmB上移动D．保持固定不移动
(荆州市中考题)
思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：
(1)当=3时，的值是多少?
(2)就下列各种情形：
①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间的函数关系式．
(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系．
(吉林省中考题)
思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．

注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．
【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒)．
(1)当为何值时，线段EF与BC平行?
(2)设12，当为何值时，EF与半圆相切?
(3)当1≤2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．
(江西省中考题)
思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值．

注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．

【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=．
(1)求：CD的长(用含R、的式子表示)；
(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；
(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于?C′D′与P′Ol的位置关系如何?并说明理由．
(济南市中考题)
思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为OOl上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．
学力训练
1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm(π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．(济南市中考题)
2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔABC的位置，且使A、B、C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是cm．
(黄冈市中考题)
3．一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走过的路径长度为()
A．B．C．4D．
(烟台市中考题)
4．把ΔABC沿AB边平移到ΔABC的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是()
A．B．C．1D．
(荆门市中考题)
5．如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．
(1)若r=厘米，求⊙O首次与BC边相切时AO的长；
(2)在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；
(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．
(江西省中考题)

6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB的长为，CD的长为．
(1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；
(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；
(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长．
(太原市中考题)
7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=(为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=，ON=(≥0)，ΔAOM的面积为S，若cos、OA是方程的两个根．
(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；
(2)求证：AN2=ONMN；
(3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(4)试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
(河北省中考题)
8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．
(1)求BC、AD的长度；
(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(青岛市中考)

9．已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动．
设AE=，四边形EFGH的面积为S．
(1)当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?
(2)当n=3时，如图④，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；
(3)当n=k(k≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．
(福建省三明市中考题)
10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．
(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?
(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PAFA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
(武汉市中考题)

参考答案

文章来源：http://m.jab88.com/j/70503.html

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