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第十二讲等腰三角形的判定
由于等腰三角形有丰富的性质,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键,判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是:从定义入手,证明一个三角形的两条边相等;从角入手,证明一个三角形的两个角相等,实际解题中的一个常用技巧是,构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,常用的构造方法有:
1.“角平分线+平行线”构造等腰三角形;
2.“角平分线+垂线”构造等腰三角形;
3.用“垂直平分线”构造等腰三角形;
4.用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
例题求解
【例1】如图,一个六边形的6个内角都是120°,其连续四边的长依次是1、9、9、5,那么这个六边形的周长是cm.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决,六边形的外角都为60°,利用60°构造等边三角形是解本例的关键.
注证明线段相等是最基本的几何问题,目前常用证法有:
(1)若两线段属于两个三角形,则考虑证对应的三角形全等;
(2)若两线段是同一个三角形两边,则考虑用等角对等边证明;
(3)寻找中间线段,通过等量代换证明.
类似的,我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结.
不同形状的几何图形之间可互相转化,向外补形与对内分割是基本的两种转化方式.
【例2】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形,则符合条件的P点有()
A.2个B.4个C.6个D.8个
(江苏省竞赛题)
思路点拨AB既可作等腰三角形PAB的腰,也可作为等腰三角形PAB的底,故要思考全面,才能正确地得出符合条件的P点的个数.
【例3】如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求证:AB十BD=CD.
(天津市竞赛题)
思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向,会找到解题的不同方法.
【例4】如图甲,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.
(1)求证:AN=BM;
(2)求证:△CEF是等边三角形;
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图乙中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明).
(荆门市中考题)
思路点拨图甲中有多对全等三角形,这是解(1)、(2)问的基础.
注若仅将题中的条件∠A=30°改为∠A=45°,则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°,改为∠A≠30°,∠A≠45°,则符合条件的P点有几个?请读者思考.
分折法(执果溯因),综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法.
处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是:
(1)向外构造等腰三角形;(2)对内作角平分线.
【例5】如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点,求证:AM⊥CD.(武汉市选拔赛试题)
思路点拨证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质,通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键.
学历训练
1.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线相交于O点.作MN∥BC,EF∥AB,GH∥AC,BC=a,AC=b,AB=c,则△GMO周长+△ENO的周长-△FHO的周长.
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=36°,D、E是BC上两点,使∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中等腰三角形共有个.
3.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠D:∠C的值=.
(“五羊杯”竞赛题)
4.如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于E点,若AC平分∠DAB,且AB=AE,AC=AD,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=∠DAB;④△ABE是等边三角形.请写出正确结论的序号.(把你认为正确结论的序号都填上)(2002午天津市中考题)
5.如图,在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分别是AB、AC的中垂线,E、M在BC上,则∠EAM等于()
A.58°B.32°C.36°D.34°
6.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,则AC与2AB之间的关系是()
A.AC2ABB.AC=2ABC.AC≤2ABD.AC2AB
(山东省竞赛题)
7.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于()
A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°
(“希望杯”邀请赛试题)
8.在锐角△ABC中,三个内角的度数都是质数,则这样的三角形()
A.只有一个且为等腰三角形
B.至少有两个且都为等腰三角形
C.只有一个但不是等腰三角形
D.至少有两个,其中有非等腰三角形
9.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系.
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.(广东省中考题)
10.如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.
11.如图,已知等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边三角形PCD,QAE和RAB,求证:P、Q、R是等边三角形的三个顶点.
12.在△ABC中,AB=AC,高线AD=BC,AE为∠BAC的平分线,则∠CAD的度数为.(北京市竞赛题)
13.如图,△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,则∠A=.
14.如图,四边形ABCD中,AE、AF分别是BC,CD的中垂线,∠EAF=80°,∠CBD=30°,则∠ABC=,∠ADC=.(天津市竞赛题)
15.有一个等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的顶角为度.(江苏省竞赛题)
16.在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有()
A.1个B.4个C.7个D.10个
17.如图,在五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=DC=DE,则∠D=()
A.30°B.450°C.60°D.67.5°
18.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC内一点,则()
A.PA+PB+PCAB+ACB.PA+PB+PCAB+AC
C.PA+PB+PC=AB+ACD.PA+PB+PC与AB+AC的大小关系不确定,与P点位置有关
19.如图,在△ABC内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线.求证:BQ+AQ=AB+BP.
(2002年全国初中数学竞赛矗)
20,如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°一∠BDC,求证:AC=BD+DC.(天津市竞赛题)
21.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°,求证:BD=BA.
22.在平面内确定四点,连接每两点,使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形),且每两点之间函线段长只有两个数值,则这四点的取法有多少种?画图说明.
(潍坊市中考题)
23.(1)如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠ABD=60°,∠BCD=120°,证明:BC+DC=AC.
(2)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°,证明:PA+PD+PC≥BD.(江苏省竞赛题)
24.如图,等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a,现把它们拼合起来,E是AD上异于A、D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE+CF=a.
(1)E、F移动时,△BEF的形状如何?
(2)求△BEF面积的最小值.
《等腰三角形》教案分析
〖教学目标〗
1.使学生了解等腰三角形的有关概念。
2.通过探索等腰三角形的性质,使学生掌握等腰三角形的轴对称性。
进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
〖教学重点与难点〗
重点:等腰三角形轴对称性质。
难点:通过操作,如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。
〖教学过程〗
一、复习引入
1.让学生在练习本上画一个等腰三角形,标出字母,问什么样的三角形是等腰三角形?
△ABC中,如果有两边AB=AC,那么它是等腰三角形。
2.日常生活中,哪些物体具有等腰三角形的形象?
二、新课
1.指出△ABC的腰、顶角、底角。
相等的两边AB、AC都叫做腰,另外一边BC叫做底边,两腰的夹角∠BAC,叫做顶角,腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。
2.实验。
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片,每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样,画出它的顶角平分线AD所在直线把纸片对折,如图(2)所示,你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流,可能得到的结论:
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B=∠C
(3)BD=CD,AD为底边上的中线。
(4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线。
3.结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
三、例题精讲
如图3,在△ABC中,AB=AC,D,
E分别是AB,AC上的点,
且AD=AE,AP是△ABC的角平分线,
点D,E关于AP对称吗?
DE与BC平行吗?请说明理由。
本题较难,可先由师生协同分析,
1.将等腰三角形ABC沿顶角平分线折叠时,线段AD与AE能重合吗?为什么?边AB与AC呢?
2.AD与AE重合,AB与AC重合,说明点D与点E,点B与点C分别有怎样的位置关系?
3.轴对称图形有什么性质?由此可推出AP与DE,BC有怎样的位置关系?那么DE与BC呢?
学生口述,教师板书解题过程。
四、练习巩固
P23练习1、2、
补充:
填空:在△ABC中,AB=AC,D在BC上,
1.如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠______,BD=_______
2.如果∠BAD=∠CAD,那么AD⊥_____,BD=______
3.如果BD=CD,那么∠BAD=∠_______,AD⊥______
四、小结
本节课,我们学习了等腰三角形的轴对称性质。大家想一想,怎样用此性质来解决点与点,线与线之间的位置关系?说说你的想法。
五、动手探究
在平面内,分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺次相接,能搭成什么形状的三角形?通过尝试,完成下面表格。7根呢?8根呢?9根呢?你发现了什么规律?
火柴数356789…
示意图
形状
六、作业
P24作业题第1、2、3、4、5题。
文章来源:http://m.jab88.com/j/60187.html
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