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第十二讲等腰三角形的判定
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

例题求解
【例1】如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．
注证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：
(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；
(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；
(3)寻找中间线段，通过等量代换证明．
类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结．
不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式．
【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有()
A．2个B．4个C．6个D．8个
(江苏省竞赛题)
思路点拨AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数．
【例3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．
(天津市竞赛题)
思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．
【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF是等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．
(荆门市中考题)

思路点拨图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础．
注若仅将题中的条件∠A＝30°改为∠A=45°，则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°，改为∠A≠30°，∠A≠45°，则符合条件的P点有几个?请读者思考．
分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法．
处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：
(1)向外构造等腰三角形；(2)对内作角平分线．
【例5】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．(武汉市选拔赛试题)
思路点拨证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．

学历训练
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有个．

3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”竞赛题）
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)(2002午天津市中考题)
5．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山东省竞赛题)
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀请赛试题)
8．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形()
A．只有一个且为等腰三角形
B．至少有两个且都为等腰三角形
C．只有一个但不是等腰三角形
D．至少有两个，其中有非等腰三角形
9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系．
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．(广东省中考题)

10．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
11．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
12．在△ABC中，AB=AC，高线AD=BC，AE为∠BAC的平分线，则∠CAD的度数为．(北京市竞赛题)
13．如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则∠A=．
14．如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC=，∠ADC=．(天津市竞赛题)
15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度．(江苏省竞赛题)
16．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有()
A．1个B．4个C．7个D．10个
17．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC与AB+AC的大小关系不确定，与P点位置有关

19．如图，在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全国初中数学竞赛矗)
20，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求证：AC=BD+DC．(天津市竞赛题)
21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．
22．在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明．
(潍坊市中考题)
23．（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
(2)如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．(江苏省竞赛题)

24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．
(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?
(2)求△BEF面积的最小值．

扩展阅读

等腰三角形

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10.3等腰三角形（3）
2．等腰三角形的识别
教学目的
1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。
2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。
重点、难点
重点：让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。
难点：一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。
教学过程
一、复习引入
等腰三角形具有哪些性质?
等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。
二、新课
对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。
我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一个线段BC。
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。
3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。
问题1：AB与AC是否重合?
问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述?
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。
也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。
例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗?
等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。
问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗?
问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形?
三、练习巩固
练习l、2、3。
四、小结
这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。
五、作业
1．习题第5题。

《等腰三角形的性质》教案

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《等腰三角形的性质》教案

【教材分析】
本节课是在学生学习了三角形的基本概念，全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究的一种特殊三角形——等腰三角形。等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提供了方法、也是后继学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的重要基础，因此本节课具有承上启下的重要作用.
等腰三角形性质的探索是通过轴对称进行的，借助于轴对称发现了等腰三角形的性质，也获得了添加辅助线证明性质的方法。性质的证明是将欲证明相等的两个角（或线段）置于两个全等的三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本策略之一。等腰三角形性质的探索与证明体现了转化的思想.
【教学目标】
知识与能力
1.探索并证明等腰三角形的性质.
2.能利用等腰三角形的性质证明两个角相等.
３.结合等腰三角形的性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.
过程与方法
１.经历等腰三角形性质的探究，学生通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强语言表达能力.
２.在应用等腰三角形的性质的过程中培养学生应用数学的意识.
情感、态度与价值观
在活动中，培养学生自主探究、合作交流的意识，提高学习兴趣.
【教学重点】
等腰三角形的性质的探索和应用.
【教学难点】
等腰三角形性质的验证.
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学工具】
长方形的纸片、剪刀、多媒体、课件
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
活动1.师：仔细观察下列图片，你能找出它们的共同特点吗？《等腰三角形的性质》教学设计《等腰三角形的性质》教学设计《等腰三角形的性质》教学设计《等腰三角形的性质》教学设计
（课件展示图片）（图1）
生：这四幅图片中都存在着等腰三角形。
师：前面我们已经对等腰三角形有了初步的了解，今天我们来探究等腰三角形的性质.（板书课题）下面我们一起回顾一下等腰三角形的有关概念:(课件展示下列问题)
《等腰三角形的性质》教学设计有两边相等的三角形叫,A
相等的两边叫，
另一边叫，两腰的夹角叫，
腰和底的夹角叫.BC
（图2）
设计意图:通过观察图片和复习，为进一步探究等腰三角形的性质作好充分的准备.
二、合作交流，解读探究
1.探究等腰三角形的性质.
活动2:.如图（3），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
《等腰三角形的性质》教学设计
图（3）
师生活动：教师指导学生折叠剪纸，学生动手操作，剪出三角形，然后小组交流.
生:等腰三角形.
师：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表.
重合的线段
重合的角
AB=AC
∠B=∠C
BD=CD
∠ADB=∠ADC
AD=AD
∠BAD=∠CAD
设计意图：让学生利用轴对称性折叠等腰三角形，为等腰三角形的性质探究做准备.
师：根据这些重合的线段和角，等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其它性质吗?
师生活动设计：学生经过观察，然后小组讨论总结，学生如果对性质概括的不全面，教师作适当的引导，教师板书学生猜想.
命题等腰三角形的两个底角相等.
设计意图：通过折叠的过程，引起学生学习的兴趣，认识等腰三角形中的相等关系，得出等腰三角形的性质，培养学生乐于思考，善于观察、总结的学习品质.
2.验证等腰三角形的性质.
师：利用实验操作的方法我们发现并概括出等腰三角形的性质，你能用所学知识验证上述命题吗？
师生活动:学生根据结论画出图形，写出已知和求证，老师启发学生，学生互相交流，教师反馈结果，引导学生说出证明思路，教师课件展示不同的证明方法，提醒学生注意表述的准确性和严谨性.
已知：如图（4），已知△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
《等腰三角形的性质》教学设计图（4）
证明：作底边中线AD，在△ABD和△ACD中，《等腰三角形的性质》教学设计
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C.
设计意图:让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡.
师：你还能用其他做辅助线的方法证明命题1吗？
生1：可以作底边上的高AD，利用“HL”证明△ABD≌△ACD来证明∠B=∠C.
生2：可以作顶角的平分线AD，利用“SAS”证明△ABD≌△ACD来证明∠B=∠C.
设计意图：让学生运用不同方法证明命题1，提高学生思维的深刻性和广阔性.
（板书）
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
符号语言：∵在△ABC中，AB=AC.
∴∠B=∠C.
三、应用迁移，巩固提高：
1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
2.等腰三角形一个角为70°,其它的另外两个角为_________.
3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
总结:在等腰三角形中,①顶角度数+2×底角度数=180°
②0°＜顶角度数＜180°③0°＜底角度数＜90°
设计意图：使学生知道解决等腰三角形有关角度计算问题时,要注意分类讨论,以免漏解.
四、畅所欲言谈收获
(设计意图:通过教师提出问题,激发学生的自主参与意识,调动学生的学习兴趣,为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验的机会,并为不同的学生提供充分展示自己的机会)
1.本节课你学到了什么知识?
2.你是如何获得的?
3.你的能力有什么提高?
4.你和同学合作的愉快吗?
5.你还有什么困惑?
五、应用提高、拓展创新
已知一梁架(OA)，与架底(OB)的夹角为12°，为了分解OA的受力，现打算在上面焊接一些钢条，其方法是在OA上选一点C1,然后取一些与OC1等长的钢条进行焊接，你能知道一共要准备多少根这样的钢条吗?
《等腰三角形的性质》教学设计
《等腰三角形的性质》教学设计
学生活动设计：
学生小组合作、分组讨论、交流并完成。
六、作业布置
(设计意图:通过作业的分层布置,供不同层次的学生选用,根据新课程标准,让不同的人在数学上得到不同的发展.)
1.（必做题）：课本习题13.3，第4,6题。
2.（选做题）：课本习题13.3，第9题。
七、板书设计
七板书设计:

八、教学反思
1.本节的学习任务比较重要,有等腰三角形性质的推导、性质的应用,所以针对学生的特点,应充分地发挥学生的主观能动性,让学生自己去发现去联想.
2.通过学生自己动手实验得到等腰三角形性质的内容,可以使他们比较好地掌握知识,提高学习数学的兴趣,达到事半功倍之效.
3.在整个教学过程中,利用多媒体教学手段,使学生在实验中提出问题,解决问题,不知不觉地进入学习氛围,让学生从被动学习步入主动想学.

§14．3．1．1等腰三角形

§14．3．1．1等腰三角形
教学目标
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习1、2、3．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
板书设计
14．3．1．1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一

参考练习
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）
A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．

文章来源：http://m.jab88.com/j/63264.html

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