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第二章实数
1.认识无理数（第1课时）
一、学生起点分析
通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．
二、教学任务分析
《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．
本节课的教学目标是：
①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；
②能判断三角形的某边长是否为无理数；
③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；
④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；
三、教学过程设计
本节课设计了6个教学环节：
第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．
第一环节：质疑
内容：【想一想】
⑴一个整数的平方一定是整数吗？
⑵一个分数的平方一定是分数吗？
目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．
效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用
第二环节：课题引入
内容：1．【算一算】
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长的平方，并提出问题：是整数（或分数）吗？
2．【剪剪拼拼】
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？
目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．
效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．
第三环节：获取新知
内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】
【议一议】：已知，请问：①可能是整数吗？②可能是分数吗？
【释一释】：释1．满足的为什么不是整数？
释2．满足的为什么不是分数？
【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础
【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段

目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣
效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．
第四环节：应用与巩固
内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】
【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：
1．长度是有理数的线段2．长度不是有理数的线段
【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形（右1）
2．三边长都是有理数2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数4．三边长都不是有理数
【仿一仿】：例：在数轴上表示满足的
解：（右2）

仿：在数轴上表示满足的

【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把
它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！（右3）
目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上
效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．
第五环节：课堂小结
内容：1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．
效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．
第六环节：布置作业
习题2.1
六、教学设计反思
（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力
大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．
（二）化抽象为具体
常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．
（三）强化知识间联系，注意纠错
既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．

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平方根(第1课时)教案课件及拓展资源

第二章实数
2.平方根（第1课时）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．
学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：
①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．
②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．

三、教学过程设计
本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．
本节课教学流程为：

第一环节：问题情境
方法一：问题导入
内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为的大的正方形，那么有，＝，2是有理数，而是无理数．在前面我们学过若，则叫的平方，反过来叫的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
，，，．
目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．
效果：能表示，，，；能求得，但不能求得，，的值．
说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．

第二环节：初步探究
内容1：情境引出新概念
，，，，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？
目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出，是1到2之间的数，是2到3之间的数但无法表示，，，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记为“”，读作“根号”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．
目的：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．
内容3：简单运用巩固概念
例1求下列各数的算术平方根：
(1)900；(2)1；(3)；(4)14．
目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：(1)因为，所以900的算术平方根是30，即；
(2)因为，所以1的算术平方根是1，即；
(3)因为，所以的算术平方根是，即；
(4)14的算术平方根是．

内容4：回解课堂引入问题
，，，那么，，．

第三环节：深入探究
内容1：例2自由下落物体的高度(米)与下落时间(秒)的关系为．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
目的：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将代入公式，得，所以正数(秒)．
即铁球到达地面需要2秒．
说明：强调实际问题是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的是一个非负数，的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．

第四环节：反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是；
2．的算术平方根是；
3．的算术平方根是；
4．若，则．
二、求下列各数的算术平方根：
36，，15，0.64，，，．
三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
答案：一、1．7；2．；3．；4．16；二、6；；；0.8；；；1．
三、解：由题意得AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得(米)．所以帐篷支撑竿的高是米．
目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．

第五环节：学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
(1)算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．
(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．
第六环节：作业布置
习题2.3

四、教学设计反思
1．细讲概念、强化训练
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，”的“正数”，即被开方数是正的，由平方的意义，也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
2．发展思维、适度拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展.

平方根(第2课时)教案及课件和拓展资源

第二章实数
２.平方根（第2课时）
一、学生起点分析
学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习“立方根”做基础．

二、教学任务分析
《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是
①了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．
②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．
③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．
教学重点是
①了解平方根、开平方的概念．
②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．
③了解平方根与算术平方根的区别与联系．
教学难点是
①平方根与算术平方根的区别和联系．
②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．
三、教学过程设计:
本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节第一环节复习旧知引入新知；第二环节形成概念，辨析概念；第三环节例题和巩固练习；第四环节课堂小结；第五环节思维拓展；第六环节布置作业．

第一环节复习旧知引入新知
内容:方法一复习引入
1．什么叫算术平方根?
3的平方等于9，那么9的算术平方根就是3．
的平方等于，那么的算术平方根就是______________．
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_7_米．
2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？
乘方有没有逆运算?
平方与算术平方根之间的关系？
已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为______；若面积变为原来的3倍，则边长为_________；若面积变为原来的n倍，则边长为________．

方法二复习引入
问题平方等于9，，49的数还有吗？
目的:这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．
效果借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．
说明数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．
第二环节:新课学习
内容（一）探究新知
填空
3=(9)
(－3)=(9)()=90=0

()=()(不存在)=－4
()=()
（二）形成概念(1)
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．
表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根．记作．
例如:(±4)=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．
（三）探索平方与开平方的关系:
给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．
（四）概念辨析
平方根与算术平方根的联系与区别
联系1．包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．
2．只有非负数才有平方根和算术平方根．
3．0的平方根是0，算术平方根也是0．
区别1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．
2．表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为．
目的形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念“平方根”与“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．
效果由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概
念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．
说明平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．
对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．

第三环节例题和新知巩固
（一）例题示范
求下列各数的平方根:
(1)64；(2)；(3)0.0004；(4)；(5)11
解（1），，；
（2），；
（3），；
（4），；
（5）
目的这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟
练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．
效果通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正
确的符号化语言．
（二）思考提升
1．，的算术平方根是_____，的平方根是_____；
2．，，，=_______；
3．=，．
（三）巩固练习
1．下列说法正确的是
①②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．
2．下列说法不正确的是()．
(A)0的平方根是0(B)的平方根是
(C)非负数的平方根是互为相反数(D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）．
(A)a+1(B)(C)+1(D)
4．为何值，有意义？
答因为，所以
目的围绕本节课的重点知识（平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．
效果学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．

第四环节课堂小结
内容引导学生总结本课时的知识、方法．
目的让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．
效果在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如
平方根的概念若，则x叫a的平方根，
平方根的个数正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
平方与开方之间的关系；
求平方根的方法求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．

第五环节提高训练
内容1.的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
2．已知实数a，b满足
①若a，b为的两边，求第三边c的取值范围；
②若a，b为的两边，第三边c等于5，求的面积．
目的安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．

第六环节作业布置
习题2．４

四、教学设计反思
本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．
（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．
（二）鼓励学生进行探究和交流本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．
（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．
（四）根据学生实际，灵活使用教材
教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．
（五）建议
根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．

估算教案及课件和拓展资源

第二章实数
４.估算
一、学生起点分析
八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们体会估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感．

二、教学任务分析
《公园有多宽》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《公园有多宽》的第四节的内容．在学习了平方根与立方根之后安排本节内容，目的很明确，就是要让学生体会如何运用这些知识去解决实际问题，体会到数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展学生的估算意识和数感．为此本节课的教学目标是：
①会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题．
②经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感．
③体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情．

三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：
第一环节——情境引入；第二环节——活动探究；第三环节——深入探究；第四环节——反馈练习；第五环节——反思归纳；第六环节——作业布置．

第一环节：情境引入
内容：
由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽．
某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?长是多少?
给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．
给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．
解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：
x2x=400000，
2x=400000，
x=．
那么=?
目的：
从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性．
效果：
学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值．

第二环节：活动探究
内容：
1．探究一个无理数估算结果的合理性．
2．学会估算一个无理数的大致范围．

例1下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流．
①≈20；②≈0.3；
③≈500；④≈96．
解答：这些结果都不正确．
怎样估算一个无理数的范围?
例2你能估算它们的大小吗？说出你的方法．
①；②；③；④．
（①②误差小于0.1；③误差小于10；④误差小于1．）
解答：
≈6.3；≈0.9；≈310；≈9．
说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。
目的：
同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．
效果：
通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备．

第三环节：深入探究
内容：
用估算来解决数学的实际问题．
例1你能比较与的大小吗？你是怎样想的？
小明是这样想的：与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为＞2，所以-1＞1，＞．
解：∵5＞4，即（）＞2，
∴＞2，
-1＞1，
即＞．
例2解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题．
=?
（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？
（大约440米或450米）
说明：只要是440与450之间的数都可以．
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
（15米或16米）
说明：只要是15与16之间的数都可以．
例3给出新的问题情境——画能挂上去吗？
生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？

解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理：
+（×6）=6，
+4=36，
=32，
x=，
因为
因为
所以画不能挂上去
目的：
学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值．
效果：
在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．

第四环节：反馈练习
内容：
反馈练习1估算下列数的大小．
（1）（误差小于0.1）；（2）（误差小于1）．
解答：
（1）∵3．6＜＜3.7，
∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）．
（2）∵9＜＜10，
∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）．
反馈练习2通过估算，比较下面各数的大小．
（1）与；（2）与3.85．
解答：（1）∵＜2，
∴-1＜1，
即＜．
（2）∵3.85=14.8225，
∴＞3.85．
反馈练习3给出与生活密切联系的实际问题情境
一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）?
目的：
教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题，让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性．
效果：
进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情．

第五环节：反思归纳
内容：
1．用自己的语言表达学习这节内容的感想
（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？
（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？
（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？
2．浏览给出的知识点归纳．
目的：
引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整．
效果：
部分学生能大胆地提出疑问．

第六环节：作业巩固
内容：
习题2.61，2，3，6
目的：
给出作业内容，学生浏览给出的作业．
效果：
让学生在练习中及时巩固所学知识．

四、教学设计反思
（一）突出重点、突破难点的策略
“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣，为此，本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来．当然还可以结合地区特点创设其余的问题情境引入，例如“污水池有多宽”，“实验田有多宽”，“体育馆有多宽”等问题情境．在探究估算方法的时候，教师要注重适时的引导，以免让学生无从下手．在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值，了解到“数学既来源与生活，又回归到生活为生活服务”．
（二）课堂评价的一些思考
在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心．比如对“画能挂上去吗”这个问题情境，学生可能提出不同的看法，有些学生可能认为可以挂上去，因为人还有身高，完全可以弥补梯子稳定摆放的高度和挂画位置的高度之间的差距，有些学生可能认为，人不可能爬到梯子的顶部，加上人如果本来比较矮，画就不能挂上去等等想法，教师都应该给予肯定，这样才能激发学生思考问题的热情，调动学生探究问题的积极性．作为教师，一定要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化．
附：板书设计
公园有多宽
引入x2x=400000=?
活动探究练习
例1
例2
梯子问题情境
反馈练习
练习1
练习2
小结
保留性板书暂时性板书

文章来源：http://m.jab88.com/j/60186.html

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