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八年级数学下册期末知识点：正比例函数的定义

正比例函数定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
当k0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
正比例函数性质：
定义域
R（实数集）
值域
R（实数集）
奇偶性
奇函数
单调性
当k0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
当k0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
周期性
不是周期函数。
对称性
对称点：关于原点成中心对称
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

正比例函数的定义经典例题
对于正比例函数y=2x，当x=1时，函数值y=______．
答案:
对于正比例函数y=2x，
当x=1时，函数值y=2×1=2．
故答案为：2．
函数y=x的图象在()
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一象限D．第三象限
答案:
A
如果函数y=(a-2)xa2-a-1是正比例函数，则a的值为（）
A．2B．-1C．2或-1D．0或2
答案:
B
已知函数y=（m+1）xm2-3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）
A．2B．-2C．±2D．
答案:
A
正比例函数y=（m-1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）
A．m=1B．m＞1C．m＜1D．m≥1
答案:
B
正比例函数y=3x是过点（0，______）与（1，______）的一条直线．
答案:
∵正比例函数的一般形式为y=kx，
∴当x=0时，y=0，
∴正比例函数的图象一定经过（0，0）点，
当x=1时，y=3，则图象过（1，3）点．
故答案为：0，3．

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正比例函数是初中函数知识点中的基础。都说八年级是初中阶段的分水岭，学好了数学成绩自然而然能上去一大截，那么对于函数这个重点知识来说，当然是同学们学习的重点。学好函数从正比例函数开始，今天xx就来给同学们整理了关于正比例函数的知识点。

八年级数学之正比例函数知识点总结
正比例函数定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
当k0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
正比例函数性质：

单调性：
当k0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
当k0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
对称性：
对称点：关于原点成中心对称
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线
正比例函数的定义经典例题
1.对于正比例函数y=2x，当x=1时，函数值y=______．
分析:
对于正比例函数y=2x，
当x=1时，函数值y=2×1=2．
故答案为：2．
2.正比例函数y=3x是过点（0，______）与（1，______）的一条直线．
分析:
∵正比例函数的一般形式为y=kx，
∴当x=0时，y=0，
∴正比例函数的图象一定经过（0，0）点，
当x=1时，y=3，则图象过（1，3）点．
故答案为：0，3．
3.正比例函数y=2x的图象所过的象限是()
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
分析：
选A.
∵正比例函数y=2x中,k=20,
∴此函数的图象经过第一、三象限.
4.请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式
分析：
设此正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
∵此正比例函数的图象经过第一、三象限,∴k0,
∴符合条件的正比例函数解析式可以为:y=x(答案不唯一).
答案:y=x(答案不唯一)
5.已知正比例函数y=kx(k≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y随x的增大而________(增大或减小).
分析：
∵点(2,-3)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,∴2k=-3,
解得:k=-（3/2）,∴正比例函数解析式是:y=-（3/2）x,
∵k=-（3/2）0,∴y随x的增大而减小.
答案:减小
练习题
1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=﹣2x^2B．y=x/3C．y=1/(4x)D．y=x﹣2
2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（）
A．0B．﹣2C．2D．﹣0.5
4．下列说法正确的是（）
A．圆面积公式S=πr^2中，S与r成正比例关系
B．三角形面积公式S=（1/2）ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系
C．y=（1/x）+1中，y与x成反比例关系
D．y=（x-1）/2中，y与x成正比例关系
5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（）
A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（）
A．3B．﹣3C．±3D．不能确定
7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（）
A．k=2B．k≠2C．k=﹣2D．k≠﹣2

11．2．1正比例函数

11．2．1正比例函数

教学目标
（一）教学知识点
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
解：１．根据圆的周长公式可得：L=2r．
２．依据密度公式p=可得：m=7．8V．
３．据题意可知：h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportionalfunc-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
活动内容设计：
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x２．y=-2x
活动设计意图：
通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．
教师活动：
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述．
学生活动：
利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．
活动过程与结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x-3-2-10123
y-6-4-20246

画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x-3-2-10123
y6420-2-4-6

画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y=x２．y=-x

x-6-4-20246
y=x
-3-2-10123
Y=-x
3210-1-2-3

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
[活动二]
活动内容设计：
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
活动设计意图：
通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
教师活动：
引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．
学生活动：
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．
活动过程及结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=x２．y=-3x
解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：
１．y=x（2，3）
２．y=-3x（1，-3）
小结：
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
课后作业
习题11．2─1、2题．
Ⅵ．活动与探究
某函数具有下面的性质：
１．它的图象是经过原点的一条直线．
２．y随x增大反而减小．
请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
解：函数解析式：y=-0．5x
x02
y0-1
备选题：
汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
解法一：用图象解答：
从图上可以看出4个小时可到达．
速度＝=30（千米／时）．
行驶１小时离开天津约为30千米．
当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．
解法二：用解析式来解答：
由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120
即120=k×4k=30
∴S=30t．
当t=1时S=30×1=30（千米）．
当S=100时100=30tt=（小时）．
以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．毛

正比例函数(1)导学案

班级姓名科目使用
时间
课题19.2.1正比例函数(1)
重难点学习重点：正比例函数的概念
学习难点：根据已知条件写出正比例函数的解析式。
【自主复习知识准备】
函数的表示方法有哪些？

【自主探究知识应用】
1、问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318，设列车的平均速度为300。考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？（结果保留小数点后一位）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经超过了始发站1100的南京南站？

2、完成书本86--87页思考：
观察“思考”中所得的四个函数；
（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量的形式，
（2）一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中叫做。
思考：为什么强调是常数，≠0？

(3)、列举日常生活中正比例函数的模型，你知道多少？

3、自学检测：
（1）、下列函数哪些是正比例函数？
①y=②y=③y=-+1④y=2x⑤y=x+1⑥y=(a+1)x+2
(2)、若y=5x是正比例函数，则m=___________.
(3)、若y=(m-2)x是正比例函数，则m=____________.
巩固与拓展：
例1、已知与成正比例，且。（1）求与之间的函数关系式；（2）若点（，2）在函数图像上，求的值。

【当堂检测知识升华】
1、汽车以40千米/时的速度行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数解析式为___________________.y是x的_______函数。
2、圆的面积y(cm)与它的半径x(cm)之间的函数关系式是________________.y是x的_______函数。
3、y=,y=,y=3x+9,y=2x中，正比例函数是____________.
4、若是正比例函数，则＝
5、若y与x-1成正比例，x=8时，y=6。写出x与y之间的函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时的值
6.若y=y+y,y与x成正比例，y与x-2成正比例，当x=1时,y=0，当x=-3时,y=4。
求当x=3时的函数值。
【课后作业知识反馈】
课本P871、2题。
我的收获
（想和老师说）
纠错台

文章来源：http://m.jab88.com/j/56720.html

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