八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼

2020-12-01 小学一年级数学的教案小学三年级数学教案

教案课件是老师不可缺少的课件，大家应该要写教案课件了。在写好了教案课件计划后，这样接下来工作才会更上一层楼！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？以下是小编为大家收集的“八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼”希望对您的工作和生活有所帮助。

专题24图形的折叠与剪拼

阅读与思考
图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.
图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.
解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.
折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质：
①关于一条直线对称的两个图形全等；
②对称轴是对应点连线的中垂线.

例题与求解
【例1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为＿＿＿＿＿.
（山东省竞赛试题）
例1题图例2题图
解题思路：△AFC的高为BC，只需求出AF，注意到＝，AF＝FC
【例2】如图，直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是（）
A.B.（2,1）
C.（6,3）D.（7，3.5）
（江苏省竞赛试题）
解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R的坐标.
解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.

【例3】如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD边上点E处，然后压平折痕FG，若FG＝13cm，求CE长.
（北京市竞赛试题）
解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例的关键.

【例4】将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
（绍兴市中考试题）

解题思路：对于（3），假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.
折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.

【例5】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.
（1）求这个长方形的长和宽；
（2）请画出拼接图.
（“华杯赛”决赛试题）
解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.

【例6】将正方形纸片ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于（2），通过相似三角形性质，把△CMG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.

对于例6，如图，当M为CD边上的中点，则有，即G为BC的三等分点，这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理.
作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：
（1）无论怎样折叠，若点M落在CD上，则MG＝DM＋BG；
（2）无论怎样折叠，若点M落在CD上，连MA，GA，则∠MAG＝450.

能力训练
1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.
(宁夏回族自治区中考试题)
2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.
第1题图第2题图第3题图
(淮阴市中考试题)
3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.
(陕西省中考试题)
4、如图，EF为正方形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG＝_______度.
(武汉市竞赛试题)
5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝，则∠EGC的度数为________.
第4题图第5题图第6题图
(台州市中考试题)
6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.
(广东省中考试题)
7、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()
A.3B.4C.5D.6
(宜宾市中考试题)
8、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为()
A.B、2C、3D、4
(河北省中考试题)
第7题图第8题图第9题图
9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.

(广西赛区选拔赛试题)

10、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折线DG，若AB＝2，BC＝1，求AG.
(安徽省中考试题)
11、如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕，求矩形ABCD的周长.
(厦门市中考试题)

12、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点G.
(1)求证：AG＝；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.
(深圳市中考试题)

B级
1、如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME的长为__________.
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.
第1题图第2题图第3题图

3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.
4、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.
5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点C的坐标是_________.

第4题图第5题图第6题图

6、如图，矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.

7、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)
8、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，
BG＝10.
（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；
（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.

9、如图，已知三角形纸片ABC的面积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐角，M是AB边上的一动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝.
(1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．
①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：
第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．
（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；
（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：
（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来．

11、如图1，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E，F分别在边AB，CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连结EP.
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长＝_________cm；
②求证：EP＝AE＋DP；
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由.

12、如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E，F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.
（1）当时，折痕EF的长为________；
（2）写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x＝2时菱形的边长；
（3）令＝y，当点E在AD上、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式（写出x的取值范围），当取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似．若相似，求出的值；若不相似，请说明理由.

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八年级数学竞赛例题专题-梯形

专题21梯形
阅读与思考
梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.
解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：
（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；
（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；
（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；
（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．
如图所示：

例题与求解
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）
解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．
【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．
（山东省中考试题）
解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．

【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.
（内蒙古自治区东四盟中考试题）
解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．
【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．

【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.
【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．
（山东省竞赛试题）
解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．

能力训练
A级
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.
（天津市中考试题）
2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.
4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）
5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()
A．＞B．＝C．＜D．无法确定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是()
A.B．8C.D.E.
（美国高中考试题）
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()
A.300B.450C.600D.900
（陕西省中考试
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考试题）
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．
（哈尔滨市中考试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．
求证：．
11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考试题）
12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)

B级
1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.
（山东省竞赛试题）
2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）
4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________.（安徽省中考试题）
第4题图第5题图第6题图
5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为()
A．B．2SC．D．
（重庆市竞赛试题）
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，
DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()
A．4B．C．5D．6
（全国初中数学联赛试题）
7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
（重庆市竞赛试题）
8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀请赛试题）
9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：
（山东省竞赛试题）
10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.
（全国初中数学联赛试题）

11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.
（“东方航空杯”上海市竞赛试题）

12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.
（1）求值.
（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.
（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.

八年级数学竞赛例题专题-整体与完形

专题28整体与完形

阅读与思考
许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：
1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；
2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；
3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：
例题与求解
【例1】如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，则∠AFE＝_________度.(北京市竞赛试题)
解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.

【例2】设分别是△ABC的三边长，且满足，则它的内角∠A、∠B的关系是（）.
A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.

【例3】如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.
若（1）BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为∠ABC的内角平分线；（3）CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
（黑龙江省中考试题）
解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.

【例4】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，
CD＝，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边.
例4题图例5题图
【例5】如图，凸八边形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
（山东省竞赛试题）
解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.

【例6】如图，在△ABC中，∠ABC＝，点D在边BC上，∠ADC＝，且.将△ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到△，连结.
(1)证明：⊥;
(2)求∠C的大小.
（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）
解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.

能力训练
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC＋CD＝_____________.（山东省竞赛试题）
2.如图，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，则这个五边形的面积为_______________.
（美国AHSME试题）
3.如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为______________.
4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则

＝_________.（浙江省竞赛试题）
5.如图，长为的三条线段交于O点，并且∠＝∠＝∠＝，则三个三角形的面积和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.
（“希望杯”邀请赛试题）
6.如图，在四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，则AB＝().
A.B.C.D.
（广西壮族自治区中考试题）
7.如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，则MN等于（）.
A.B.C.D.
8.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，，则BE的长为（）
A.B.C.D.
9.如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，则∠D等于（）
A.B.C.D.条件不够，无法求出
（重庆市竞赛试题）

10.如图，在△ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.
11.如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.
（加拿大中学生竞赛试题）
12.如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.
13.如图，设P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.
（齐齐哈尔市竞赛试题）
14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积.

八年级数学竞赛例题专题-配方法

专题25配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.
(2)具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

例题与求解
【例1】已知实数，，满足，那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值.

【例2】若实数，，c满足，则代数式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1)非负数的最小值为零；
(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.

【例4】证明数列49，4489，444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可.

几个有趣的结论：
(1)
(2)
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.

【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)

解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.

【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.

能力训练
1、计算=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知，则.
3、，y为实数，且，则+y的值为__________.
4、当＞2时，化简代数式，得___________.
5、已知，当=________，y=______时，的值最小.
(全国通讯赛试题)

6、若，则M－N的值()
A、负数B、正数C、非负数D、可正可负
7、计算的值为()
A、1B、C、D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设，,为实数，，则x，y，z中至少有一个值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知实数，，c满足，则a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x1，x2，x3,…xn为实数.
(1)若则x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一个为零；
(2)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个大于零；
(3)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个小于零.