八年级数学竞赛例题坐标平面上的直线专题讲解

2020-12-01 小学一年级数学的教案小学三年级数学教案

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，是时候写教案课件了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！你们会写多少教案课件范文呢？小编为此仔细地整理了以下内容《八年级数学竞赛例题坐标平面上的直线专题讲解》，仅供参考，欢迎大家阅读。

专题10坐标平面上的直线
阅读与思考
我们知道，任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线，那么，是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.
一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系，我们既可以用函数的方法来处理方程的问题，也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程，也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质，以及直线与直线之间的关系.
数形结合是解函数问题的重要思想方法，它包括两方面内容：
（1）由数定形
即通过函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置.
（2）由形导数
即从给定的函数图象上获得解的信息，如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.
一次函数的图象是一条直线，对于实际问题，由于自变量的取值范围受实际意义的限制，因此，作出的函数图象是常见直线的一部分，相应函数值就有最大值或最小值.
一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型，是最基本的函数，有着广泛的应用价值.运用一次函数解题时应注意：
1.一次函数的图象是一条直线.
2.函数解析式中的系数符号，确定图象的大致位置及y随x变化的性质.
3.确定一次函数解析式，通常需要两个独立的条件.
4.一次函数与二元一次方程有着密切的联系，任意一个一次函数都可以看做是一个关于x，y的二元一次方程；反过来，任意一个二元一次方程，当时，可化为形如的函数形式.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知A点坐标为，直线与y轴交于点B，连接AB，，则.
（苏州市中考试题）
（2）一次函数的图象l1关于直线轴对称的图象l2的函数解析式是.
（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），先求出相应函数解析式；对于（2），l1与x轴、y轴交点的坐标分别为，，求出A，B两点分别关于直线对称点的坐标，这是解题的关键.

【例2】已知，并且，则直线一定通过（）
A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：求出p的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断.

【例3】如图，△AOB为正三角形，点B的坐标为，过点C作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线l的函数解析式.
（太原市竞赛试题）
解题思路：由得，设法求出E点的坐标.

【例4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运会赛场A，B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台.运往A，B两馆的运费如下表：
出发地
目的地甲地乙地
A馆800元/台700元/台
B馆500元/台600元/台
（1）设甲地运往的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式；
出发地
目的地甲地乙地
A馆x（台）（台）
B馆（台）（台）
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？
（深圳市中考试题）
解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解，为此需求出自变量的取值范围.
当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起.求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.
当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点.当一次函数自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了.

【例5】已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设，已知点D在第一象限且是直线上的一点，若△APD是等腰直角三角形.
（1）求点D的坐标；
（2）直线向右平移6个单位后，在该直线上是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.
（浙江省中考试题）
解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键.

例5颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点，再计算验证.综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.

【例6】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）
（扬州市中考试题）
解题思路：观察乙槽的特征可知，水面上升速度应是先快后慢，图象的“转折点”即对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定，图象与器具的对应关系.对于（3）、（4），根据注水时间与注水速度求解，而解题的关键是挖掘出隐含信息.
例6是图象信息题.函数图象以直观、形象的特征融合了显性与隐性的信息，解题的关键是获取数据、数量关系信息，并能整合信息，还原到问题的情境之中.

能力训练
A级
1.已知，且，则关于自变量x的一次函数的图象一定经过第象限.
（湖北省黄冈市竞赛试题）
2.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，其图象如图所示，旅客最多可免费携带行李千克.
（南京市中考试题）
3.如图，一次函数的图象经过A，B两点，则△AOC的面积为.
（第2题）（第3题）（第4题）
4.如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，直线BC与直线AB垂直，垂足为B，则直线BC所对应的函数解析式为.
5.某市为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20m3，则每立方米水费1.2元；（2）每户每月用水量超过20m3，则超过的部分每立方米水费2元.设某户一个月所交水费为y（元），用水量为x（m3），则y与x的函数关系用图象表示为（）
ABCD
（荆州市中考试题）

6.下列图象中，不可能是关于x的一次函数的图象是（）
（北京市中考试题）
7.如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）
A.1B.3C.D.
（宁波市中考试题）
8.点，是坐标平面上两定点，C是的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC可以画出（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
（北京市竞赛试题）
9.随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势.试用你学过的函数知识解决下列问题：
x（年）200020012002…
入学儿童人数y（人）252023302140…
（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人.
（沈阳市中考试题）

10.已知直线和，若它们的交点在第四象限.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非整数，点A的坐标为，点P在直线上，求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.
（大连市中考试题）

11.如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线经过点，且把△AOB分成两部分.
（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
（2）若△AOB被分成的两部分的面积比为，求k和b的值.
（厦门市中考试题）

12.某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票.经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图2所示.某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图3所示.已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口，求：
图1图2图3
（1）a的值；
（2）售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口.若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？
（咸宁市中考试题）

13.2011年4月28日，以“天人长安，创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园.这次园艺会的门票分为个人票、团体票两大类，其中个人票设置有三种：
票的种类夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）
单价（元/张）60100150
某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购A种票张数为x，C种票张数为y.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为w元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式；
（3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数.
（陕西省中考试题）

B级
1.如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点，，P为线段OC上一点，若过B，P两点的直线为，过A，P两点的直线为，且BP⊥AP，则.
（绍兴市竞赛试题）
2.设直线（k是自然数）与两坐标轴围成的图形的面积为S1，S2，…，S2000，则.（湖北省选拔赛试题）
（第1题）（第3题）（第4题）
3.如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是.（黄冈市竞赛试题）
4.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么.（全国初中数学竞赛试题）
5.在直角坐标系中，有两点和，M是x轴上任意点，则的长度的最小值是（）
A.B.4C.D.3
6.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）
A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg
（成都市中考试题）
7.一个一次函数的图象与直线平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）
A.4个B.5个C.6个D.7个
（全国初中数学竞赛试题）
8.设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4幅图中正确的是（）
ABCD
（全国初中数学联赛试题）
9.求证：不论k为何值，一次函数的图象恒过一定点.
（江苏省竞赛试题）

10.已知四条直线，，和所围成的四边形面积是12，求m的值.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）

11.在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，且使得.
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面积的最小值.
（浙江省竞赛试题）

12.如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°.
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求出当△ABP与△ABC的面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.
（“希望杯”邀请赛试题）

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八年级数学竞赛例题乘法公式专题讲解

专题02乘法公式

阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用即将公式反过来逆向使用；
4．变用即能将公式变换形式使用；
5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解
【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是()
A．B．C．D．
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知满足，则的值等于（）
A．2B．3C．4D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：
（1）；（天津市竞赛试题）
（2）；（“希望杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设满足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练
A级
1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）
2．数能被30以内的两位偶数整除的是．
3．已知那么．
（天津市竞赛试题）
4．若则．
5．已知满足则的值为．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于．
7．等于（）
A．B．C．D．
8．若，则的值是（）
A．正数B．负数C．非负数D．可正可负
9．若则的值是（）
A．4B．19922C．21992D．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：
写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．

B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，则多项式的值为（）
A．0B．1C．2D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）
A．16种B．14种C．12种D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
（山东省竞赛试题）
8．已知，则的值是（）
A．3B．9C．27D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）

11．若，且，求证：．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）

八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解

教案课件是老师需要精心准备的，到写教案课件的时候了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！有没有好的范文是适合教案课件？以下是小编收集整理的“八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解”，希望能为您提供更多的参考。

专题11双曲线

阅读与思考
形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.
反比例函数的基本性质有：
1.反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；
2.k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；
3.双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线及.
反比例函数与一次函数有着内在的联系.如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.
反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：
（1）；
（2）.
求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.
求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.
解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则.
（兰州市中考试题）

（2）如图，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是.
（南通市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设，，把A，C两点坐标用a，b表示.

【例2】如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则的值为.
（北京市竞赛试题）
解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.
（福州市中考试题）
解题思路：对于（2），有下列不同的解法：
图1图2图3
对于（3），需要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系.
【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息.

【例5】一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.
（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①；②.
（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论.
图1图2
（威海市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.

例5的拓展变化：
如图，点M，N在反比例函数的图象上，过点M作ME⊥x轴，过点N作NF⊥y轴，垂足分别为E、F，则MN∥EF.

【例6】点，与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.

能力训练
A级
1.已知是反比例函数，则.
2.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是.
（沈阳市中考试题）
3.已知双曲线经过点，如果，两点在该双曲线上，且，那么.（威海市中考试题）
4.已知函数（a为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是.
5.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是.（荆门市中考试题）
6.如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于y轴交直线于点A，若，则.（武汉市四月调考试题）
（第5题）（第6题）
7.如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若，则k的值是（）
A.2B.C.D.4
（鄂州市中考试题）
（第7题）（第8题）
8.如图，反比例函数的图象与直线的交点为A、B，过A作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）
A.8B.6C.4D.2
（深圳市中考试题）

9.函数与在同一坐标系中的图象可能是（）
（山西省中考试题）
10.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积.
（黄冈市中考试题）

11.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点、，过C点作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）求证：△AEC≌△DFB.
（温州市中考试题）

12.如图所示，已知双曲线的图象上有两点，，且，分别过，向x轴作垂线，垂足为B，D，过，向y轴作垂线，垂足分别为A，C.
（1）若记四边形和四边形的面积分别为，，周长分别为，，试比较和，和的大小；
（2）若P是双曲线上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N.试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
（黄冈市特长生选拔赛试题）

B级
1.已知，且与成反比例，与成反比例.且当时，；当时，.当时，.
2.直线与双曲线交于，两点，则.
（荆门市中考试题）
3.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，C，自点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B和D，则四边形ABCD的面积等于.
（北京市竞赛试题）
（第3题）（第4题）
4.已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，B，与双曲线交于点A，D，若，则k的值为.
（十堰市中考试题）
5.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，有以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是.
（咸宁市中考试题）
6.如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（）
A.B.
C.D.
（绍兴市中考试题）
7.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是曲线和，设P点在上，PE⊥x轴于点E，交于点A，PD⊥y轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（）
A.B.C.D.
（浙江省竞赛试题）
8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

A.B.
C.D.
（济南市中考试题）

9.如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式.
（温州市中考试题）

10.如图，已知直线交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数上一点，过P作x轴平行线交直线l于E，过P作y轴平行线交直线l于F.求的值.

11.已知一次函数与反比例函数的图象交于点，.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△MON的面积.
（太原市竞赛试题）

12.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴，y轴分别交于点A和点B，且.这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是，由点P向x轴、y轴作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F.
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E点坐标，用b的代数式表示F点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.
（上海市竞赛试题）

八年级数学竞赛例题整式的乘除专题讲解

专题01整式的乘除

阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，，，．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）
（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）若则
．（创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．

【例2】已知，，则等于（）
A．2B．1C．D．（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．

【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．

【例4】已知多项式，求的值．
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．

【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．

【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）
解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．
能力训练
A级
1．（1）．（福州市中考试题）
（2）若，则．（广东省竞赛试题）
2．若，则．
3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）
4．都是正数，且，则中，最大的一个是．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）
6．已知，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
7．已知，那么从小到大的顺序是（）
A．B．C．D．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）
A．B．C．D．
（江苏省竞赛试题）

9．已知则的关系是（）
A．B．C．D．
（河北省竞赛试题）
10．化简得（）
A．B．C．D．
11．已知，
试求的值．

12．已知．试确定的值．

13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．
（香港中学竞赛试题）

B级
1．已知则=．
2．（1）计算：=．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）
（2）如果，那么．
（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）
3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果则=．（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知，则．
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）
A．3B．2C．1D．
（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）
7．若，则的值是（）
A．1B．0C．—1D．2
8．如果有两个因式和，则（）
A．7B．8C．15D．21
（奥赛培训试题）
9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（）
A．B．C．D．关系不确定
10．满足的整数有（）个
A．1B．2C．3D．4