1、三角形中的特殊位置(四心)所满足的向量方程:
(1)重心满足的向量方程:;
(2)内心满足的向量方程:或;
(3)外心满足的向量方程:;
(4)垂心满足的向量方程:;(斜三角形中)
2、已知是所在平面上的一点,若,则是的垂心。
3、若为的外心,若为的重心,若H为的垂心,则O,G,H三点共线,且,,若O为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:
,。
4、已知是所在平面上的一点,若,则是的外心。
5、点为三角形的重心的充要条件是对平面上的任意一点,。
6、为方向上与同向的单位向量。
7、设、是直线上两点,点是上不同于、的任意一点,且,则。
特别地,当时,(向量的中点公式)。
8、若、、三点不共线,已知,则、、三点共线的充要条件是。
9、若、不共线,且,则必有。
10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。
11、若直线的方向向量为,则直线的斜率与该向量的关系为。
12、若、、分别为、、的中点,则。
13、若向量、、满足条件,且,则为正三角形。
14、若为的重心,且,则为正三角形。
15、三角形中一些特殊直线的向量表示:
(1)是的中线;
(2)是的高线;
(3)是的内角平分线;
(4)是的外角平分线。
16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要排除夹角为0的情形;
两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要排除夹角为的情形。
17、设是与的夹角,则称作为在方向上的投影。
。夹角
18、在平行四边形中,若则平行四边形是菱形;
在平行四边形中,若,则平行四边形是矩形;
在平行四边形中,(变形即中线定理)。
课时12平面向量的应用
一、学习目标:
1.经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程,体会向量是某一种数学工具。
2.发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点:
1.利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2.用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3.提高学生对所学知识和方法的迁移(转化)能力。
三、基础训练:
1、已知向量,若点C在函数的图象上,实数的值为
2、平面向量=(x,y),=(x2,y2),=(1,1),=(2,2),若==1,则这样的向量有
3、如果向量与的夹角为,那么我们称为向量与的“向量积”,是一个向量,它的长度为,如果,则的值为
4.在平行四边形ABCD中,,则=______________
5.设中,,且,判断的形状。
6、=(cosθ,-sinθ),=(-2-sinθ,-2+cosθ),其中θ∈[0,π2],则||的最大值为
7、有两个向量,,今有动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为;另一动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为.设、在时刻秒时分别在、处,则当时,秒.
四、例题研究
例1.已知向量满足条件,且,求证是正三角形。
例2、已知,.求证:
思考:能否画一个几何图形来解释例2
变题:用向量方法证明梯形中位线定理。
例3、已知在△ABC中BC,CA,AB的长分别为a,b,c,试用向量方法证明:
(1)(2)
五、课后作业:
1.设=(1,3),A、B两点的坐标分别为(1,3)、(2,0),则与的大小关系为
2.当|a|=|b|≠0且a、b不共线时,a+b与a-b的关系是
3.下面有五个命题,①单位向量都相等;②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;④由于零向量方向不确定,故0不能与任何向量平行;⑤对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|。其中正确的命题序号为
4.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则a+b+c的模等于
5.下面有五个命题,①|a|2=a2;②;③(ab)2=a2b2;④(a-b)2=a2-2ab+b2;⑤若ab=0,则a=0或b=0其中正确命题的序号是
6.已知m,n是夹角为60°的两个单位向量,则a=2m+n和b=-3m+2n的夹角是
7.如图,平面内有三个向量,其中的夹角是120°,的夹角为30°,,若,
则=。
8.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量AD的坐标.
9.设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的两个单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,证明△ABC是直角三角形,并求它的面积.
10.已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4),B(0,0)C(c,0)
(1)若c=5,求sinA的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围。
11.已知向量,,
(1)向量、是否共线?并说明理由;(2)求函数的最大值
12.在平面直角坐标系中,已知向量又点A(8,0),,(1)若,且,求向量;
(2)向量与共线,当,且取最大值4,求
问题统计与分析
平面向量坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量坐标表示
授课时间撰写人
学习重点平面向量的坐标运算.
学习难点对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算;
2.能用两端点的坐标,求所构造向量的坐标;
教学过程
一自主学习
思考1:设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设=(x1,y1)=(x2,y2)则=x1i+y1j,=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量+,-,λ(λ∈R)如何分别用基底i、j表示?
+=
-=
λ=
思考2:根据向量的坐标表示,向量+,-,λ的坐标分别如何?
+=();-=();
λ=().
两个向量和与差的坐标运算法则:
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐标如何?
二师生互动
例1已知,,求和.
例2已知平行四边形的顶点,,,试求顶点的坐标.
变式:若与的交点为,试求点的坐标.
练1.已知向量的坐标,求,的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标,求,的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
三巩固练习
1.若向量与向量相等,则()
A.B.
C.D.
2.已知,点的坐标为,则的坐标为()
A.B.
C.D.
3.已知,,则等于()
A.B.C.D.
4.设点,,且
,则点的坐标为.
5.作用于原点的两力,,为使它们平衡,则需加力.
6.已知A(-1,5)和向量=(2,3),若=3,则点B的坐标为__________。
A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)
7.已知点,及,,,求点、、的坐标。
四课后反思
五课后巩固练习
1.若点、、,且,,则点的坐标为多少?点的坐标为多少?向量的坐标为多少?
2.已知向量,,,试用来表示.
第二章平面向量复习课(一)
一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。
4.了解向量形式的三角形不等式:|||-||≤|±|≤||+||(试问:取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理:2(||+||)=|-|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义):
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积)
8.数量积(点乘或内积)的概念,=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法;向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直
三、教学过程
(一)重点知识:
1.实数与向量的积的运算律:
2.平面向量数量积的运算律:
3.向量运算及平行与垂直的判定:
则
4.两点间的距离:
5.夹角公式:
6.求模:
(二)习题讲解:《习案》P167面2题,P168面6题,P169面1题,P170面5、6题,
P171面1、2、3题,P172面5题,P173面6题。
(三)典型例题
例1.已知O为△ABC内部一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=,=,=,
且||=2,||=1,||=3,用与表示
解:如图建立平面直角坐标系xoy,其中,是单位正交基底向量,则B(0,1),C(-3,0),
设A(x,y),则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°),即A(1,-),也就是=-,=,=-3所以-3=3+|即=3-3
(四)基础练习:
《习案》P178面6题、P180面3题。
(五)、小结:掌握向量的相关知识。
(六)作业:《习案》作业二十七。
第二章平面向量复习课(二)
一、教学过程
(一)习题讲解:《习案》P173面6题。
(二)典型例题
例1.已知圆C:及点A(1,1),M是圆上任意一点,点N在线段MA的延长线上,且,求点N的轨迹方程。
练习:1.已知O为坐标原点,=(2,1),=(1,7),=(5,1),=x,y=(x,y∈R)求点P(x,y)的轨迹方程;
2.已知常数a0,向量,经过定点A(0,-a)以为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以为方向向量的直线相交于点P,其中.求点P的轨迹C的方程;
例2.设平面内的向量,,,点P是直线OM上的一个动点,求当取最小值时,的坐标及APB的余弦值.
解设.∵点P在直线OM上,
∴与共线,而,∴x-2y=0即x=2y,
有.∵,,
∴
=5y2-20y+12
=5(y-2)2-8.
从而,当且仅当y=2,x=4时,取得最小值-8,
此时,,.
于是,,,
∴
小结:利用平面向量求点的轨迹及最值。
作业:〈习案〉作业二十八。
文章来源:http://m.jab88.com/j/56661.html
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