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北师大版数学八年级下册知识点总结(第一章三角形的证明)
第一章三角形的证明
1、等腰三角形
(1)三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等,对应角也相等判定:SSS、SAS、ASA、AAS、
(2)等腰三角形的判定、性质及推论
性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)
(3)等边三角形的性质及判定定理
性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。
判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
(4)含30度的直角三角形的边的性质
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形
(1)勾股定理及其逆定理
定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
(2)直角三角形两个锐角之间的关系
定理:直角三角形两个锐角互余。
逆定理:有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(3)含30度的直角三角形的边的定理
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
逆定理:在直角三角形中,一条直角边是斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角是30度。
(4)命题与逆命题
命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。
(5)直角三角形全等的判定定理
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
3、线段的垂直平分线
(1)线段垂直平分线的性质及判定
性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(2)三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(该点称为三角形的外心)
(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线
(1)角平分线的性质及判定定理
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
(2)三角形三条角平分线的性质定理
性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。(该点称为三角形的内心)
专题13三角形的基本知识
阅读与思考
三角形是最基本的几何图形,是研究复杂几何图形的基础,许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等,它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时,常用到数形结合及分类讨论法,即用代数方法解几何计算题及简单的证明题,对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形:
例题与求解
【例1】在△ABC中,∠A=50°,高BE,CF交于O,则∠BOC=________.
(“东方航空杯”——上海市竞赛试题)
解题思路:因三角形的高不一定在三角形内部,故应注意符合题设条件的图形多样性.
【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形底边的长为()
A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定
(北京市竞赛试题)
解题思路:中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等,应分情况讨论.
【例3】如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE与CF交于G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A的大小.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:运用凹四边形的性质计算.
【例4】在△ABC中,三个内角的度数均为正数,且∠A<∠B<∠C,4∠C=7∠A,求∠B的度数.
(北京市竞赛试题)
解题思路:把∠A,∠C用∠B的代数式表示,建立关于∠B的不等式组,这是解本题的突破口.
【例5】(1)周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
(2)现有长为150cm的铁丝,要截成小段,每段的长不小于1cm的整数,如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.
(江苏省竞赛试题)
解题思路:对于(1),不妨设三角形三边为,,,且,由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围,从而可以确定整数的值.
对于(2),因段之和为定值150cm,故欲使尽可能的大,必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】在三角形纸片内有2008个点,连同三角形纸片的3个顶点,共有2011个点,在这些点中,没有三点在一条直线上.问:以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?
(天津市竞赛试题)
解题思路:本题的解题关键是找到规律:三角形内角每增加1个内点,就增加了2个三角形和3条边.
能力训练
A级
1.设,,是△ABC的三边,化简=____________.
2.三角形的三边分别为3,,8,则的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4,这个三角形是_______(按角分类)三角形.
4.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.(“缙云杯“试题)
(第4题)(第5题)(第6题)
5.如图,已知AB∥CD,GM,HM分别是∠AGH,∠CHG的角平分线,那么∠GMH=_________.
(第7题)(第9题)
6.如图,△ABC中,两外角平分线交于点E,则∠BEC等于()
A.B.
C.D.
7.如图,在△ABC中,BD,BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H.下列结论:
①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=(∠BAC-∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正确的是()
A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④
8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数,那么这样的不同的三角形共有()
A.6个B.7个C.8个D.9个
9.如图,将纸片△ABC沿着DE折叠压平,则()
A.∠A=∠1+∠2B.∠A=(∠1+∠2)
C.∠A=(∠1+∠2)D.∠A=(∠1+∠2)
(北京市竞赛试题)
10.一个三角形的周长是偶数,其中的两条边分别是4和1997,则满足上述条件的三角形的个数是()
A.1个B.3个C.5个D.7个
(北京市竞赛试题)
11.如图,已知∠3=∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
(河南省竞赛试题)
12.平面内,四条线段AB,BC,CD,DA首尾顺次连接,∠ABC=24°,∠ADC=42°.
(1)∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M(如图1),求∠AMC的大小.
(2)点E在BA的延长线上,∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N(如图2),求∠ANC.
图1图2
13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中,E位于线段CA上,D位于线段BE上.
(1)证明:AB+AE>DB+DE;
(2)证明:AB+AC>DB+DC;
(3)AB+BC+CA与2(DA+DB+DC)哪一个更大?证明你的结论;
(4)AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大?证明你的结论.
(加拿大埃蒙德顿市竞赛试题)
B级
1.已知三角形的三条边长均为整数,其中有一条边长是4,但不是最短边,这样的三角形的
个数有_______个.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.
3.△ABC中,∠A是最小角,∠B是最大角,且有2∠B=5∠A,若∠B的最大值是,最小值是,则___________.
(上海市竞赛试题)
4.如图,若∠CGE=,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
(山东省竞赛试题)
(第4题)(第5题)
5.如图,在△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点,与的平分线相交于点,依此类推,与的平分线相交于点,则的大小是()
A.3°B.5°C.8°D.19.2°
6.四边形ABCD两组对边AD,BC与AB,DC延长线分别交于点E,F,∠AEB,∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°,∠BCD=136°,则下列结论中正确的是()
①∠EPF=100°;②∠ADC+∠ABC=160°;③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°;
④∠PEB+∠PFC=136°.
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
7.三角形的三角内角分别为,,,且,,则的取值范围是()
A.B.C.D.
(重庆市竞赛试题)
8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数,且其中一边的长为3,这样的三角形有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
(山东省竞赛试题)
9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.
(第三十二届美国邀请赛试题)
10.设,,均为自然数,满足且,试问以,,为三边长的三角形有多少个?
11.锐角三角形用度数来表示时,所有角的度数为正整数,最小角的度数是最大角的度数的,求满足此条件的所有锐角三角形的度数.
(汉城国际数学邀请赛试题)
12.如图1,A为轴负半轴上一点,B为轴正半轴上一点,C(0,-2),D(-2,-2).
(1)求△BCD的面积;
(2)如图2,若∠BCO=∠BAC,作AQ平分∠BAC交轴于P,交BC于Q.
求证:∠CPQ=∠CQP;
(3)如图3,若∠ADC=∠DAC,点B在轴正半轴上运动,∠ACB的平分线交直线AD于E,DF∥AC交轴于F,FM平分∠DFC交DE于M,的值是否发生变化?证明你的结论.
13.如图1,,.且,满足.(1)求A,B的坐标;
(2)C为轴正半轴上一动点,D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点,问是否存在点C,使∠D=∠COB.若存在,求C点坐标;
(3)如图2,C为轴正半轴上A的上方一动点,P为线段AB上一动点,连CP延长交轴于E,
∠CAB和∠CEB平分线交于F,点C在运动过程中
的值是否发生变化?若不
变求其值;若变化,求其范围.
文章来源:http://m.jab88.com/j/56654.html
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