教案课件是老师工作中的一部分，大家在着手准备教案课件了。将教案课件的工作计划制定好，这样我们接下来的工作才会更加好！你们知道适合教案课件的范文有哪些呢？下面的内容是小编为大家整理的八年级数学竞赛例题三角形的基本知识专题讲解，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

专题13三角形的基本知识

阅读与思考
三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：

例题与求解
【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.
（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）
解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.

【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）
A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定
（北京市竞赛试题）
解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.

【例3】如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：运用凹四边形的性质计算.
【例4】在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.
（北京市竞赛试题）
解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.

【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，，，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.
对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
（天津市竞赛试题）
解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.
能力训练
A级
1.设，，是△ABC的三边，化简=____________.
2.三角形的三边分别为3，，8，则的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.（“缙云杯“试题）
（第4题）（第5题）（第6题）
5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.
（第7题）（第9题）
6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（）
A.B.
C.D.
7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：
①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正确的是（）
A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④
8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）
A.6个B.7个C.8个D.9个
9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）
A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）
C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）

（北京市竞赛试题）
10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）
A.1个B.3个C.5个D.7个
（北京市竞赛试题）
11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
（河南省竞赛试题）
12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.
图1图2

13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.
（1）证明：AB+AE＞DB+DE；
（2）证明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；
（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.
（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）

B级

1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的
个数有_______个.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.
3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是，最小值是，则___________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
（山东省竞赛试题）
（第4题）（第5题）

5.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（）
A.3°B.5°C.8°D.19.2°
6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；
④∠PEB+∠PFC=136°.
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
7.三角形的三角内角分别为，，，且，，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
（重庆市竞赛试题）
8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）
A.4个B.5个C.6个D.7个
（山东省竞赛试题）
9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.
（第三十二届美国邀请赛试题）

10.设，，均为自然数，满足且，试问以，，为三边长的三角形有多少个？

11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.
（汉城国际数学邀请赛试题）

12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.
（1）求△BCD的面积；
（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交轴于P，交BC于Q.
求证：∠CPQ=∠CQP；
（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC交轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论.
13.如图1，，.且，满足.（1）求A，B的坐标；
（2）C为轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点，问是否存在点C，使∠D=∠COB.若存在，求C点坐标；
（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，
∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中
的值是否发生变化？若不
变求其值；若变化，求其范围.

扩展阅读

八年级数学竞赛例题专题-等腰三角形的判定

专题17等腰三角形的判定

阅读与思考
在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．
1．等腰三角形的判定：
⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．
2．证明线段相等的方法：
⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；
⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；
⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．
善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：

例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________．
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．

【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（）
A．AC＞2ABB．AC＝2AB
C．AC≤2ABD．AC＜2AB
(山东省竞赛试题)
解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．

【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．
（山东省中考试题）
解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．
【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．
（天津市竞赛试题）
解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．

【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度数．
（“祖冲之杯”竞赛试题）
解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．
如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE．

能力训练
A级
1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则
∠BAC=__________．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________．
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______．
（天津市竞赛试题）
4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1，9，9，5，那么这个六边形的周长是____________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）
A．3个B．4个
C．5个D．6个
6．若△ABC的三边长是，，，且满足，，，则△ABC（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
（“希望杯”邀请赛试题）
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）
A．300B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500
（“希望杯”邀请赛试题）
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
（江苏省竞赛试题）
第5题图第8题图第9题图

9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴求证：AD⊥CF；
⑵连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．
（天津市竞赛试题）
11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．
（江苏省竞赛试题）

12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
⑴求证：CE=CF；
⑵将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
（山西省中考试题）

B级
1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值=__________．
2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，则∠BAC的度数是____________．
3．在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D=（）
A．300B．450C．600D．67.50
（“希望杯”竞赛试题）
6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）
A．A5B．A6C．A7D．A8
7．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．
⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_____．
⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=PA+PB+PC．
（湖州市中考试题）

8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．
（全国初中数学联赛试题）

9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)．
（重庆市竞赛试题）

10．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论．
（《学习报》公开赛试题）

11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10．
⑴求直线的解析式；
⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（宁波市江东区模拟题）

12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．
⑴求B点坐标；
⑵如图2，若C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；
⑶如图3，过点A作轴于E，F为轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作轴垂线交EH于点M，连接FM，等式=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

八年级数学竞赛例题乘法公式专题讲解

专题02乘法公式

阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用即将公式反过来逆向使用；
4．变用即能将公式变换形式使用；
5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解
【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是()
A．B．C．D．
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知满足，则的值等于（）
A．2B．3C．4D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：
（1）；（天津市竞赛试题）
（2）；（“希望杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设满足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练
A级
1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）
2．数能被30以内的两位偶数整除的是．
3．已知那么．
（天津市竞赛试题）
4．若则．
5．已知满足则的值为．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于．
7．等于（）
A．B．C．D．
8．若，则的值是（）
A．正数B．负数C．非负数D．可正可负
9．若则的值是（）
A．4B．19922C．21992D．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：
写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．

B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，则多项式的值为（）
A．0B．1C．2D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）
A．16种B．14种C．12种D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
（山东省竞赛试题）
8．已知，则的值是（）
A．3B．9C．27D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）

11．若，且，求证：．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）

八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解

教案课件是老师需要精心准备的，到写教案课件的时候了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！有没有好的范文是适合教案课件？以下是小编收集整理的“八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解”，希望能为您提供更多的参考。

专题11双曲线

阅读与思考
形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.
反比例函数的基本性质有：
1.反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；
2.k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；
3.双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线及.
反比例函数与一次函数有着内在的联系.如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.
反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：
（1）；
（2）.
求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.
求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.
解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则.
（兰州市中考试题）

（2）如图，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是.
（南通市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设，，把A，C两点坐标用a，b表示.

【例2】如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则的值为.
（北京市竞赛试题）
解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.
（福州市中考试题）
解题思路：对于（2），有下列不同的解法：
图1图2图3
对于（3），需要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系.
【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息.

【例5】一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.
（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①；②.
（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论.
图1图2
（威海市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.

例5的拓展变化：
如图，点M，N在反比例函数的图象上，过点M作ME⊥x轴，过点N作NF⊥y轴，垂足分别为E、F，则MN∥EF.

【例6】点，与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.

能力训练
A级
1.已知是反比例函数，则.
2.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是.
（沈阳市中考试题）
3.已知双曲线经过点，如果，两点在该双曲线上，且，那么.（威海市中考试题）
4.已知函数（a为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是.
5.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是.（荆门市中考试题）
6.如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于y轴交直线于点A，若，则.（武汉市四月调考试题）
（第5题）（第6题）
7.如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若，则k的值是（）
A.2B.C.D.4
（鄂州市中考试题）
（第7题）（第8题）
8.如图，反比例函数的图象与直线的交点为A、B，过A作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）
A.8B.6C.4D.2
（深圳市中考试题）

9.函数与在同一坐标系中的图象可能是（）
（山西省中考试题）
10.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积.
（黄冈市中考试题）

11.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点、，过C点作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）求证：△AEC≌△DFB.
（温州市中考试题）

12.如图所示，已知双曲线的图象上有两点，，且，分别过，向x轴作垂线，垂足为B，D，过，向y轴作垂线，垂足分别为A，C.
（1）若记四边形和四边形的面积分别为，，周长分别为，，试比较和，和的大小；
（2）若P是双曲线上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N.试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
（黄冈市特长生选拔赛试题）

B级
1.已知，且与成反比例，与成反比例.且当时，；当时，.当时，.
2.直线与双曲线交于，两点，则.
（荆门市中考试题）
3.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，C，自点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B和D，则四边形ABCD的面积等于.
（北京市竞赛试题）
（第3题）（第4题）
4.已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，B，与双曲线交于点A，D，若，则k的值为.
（十堰市中考试题）
5.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，有以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是.
（咸宁市中考试题）
6.如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（）
A.B.
C.D.
（绍兴市中考试题）
7.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是曲线和，设P点在上，PE⊥x轴于点E，交于点A，PD⊥y轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（）
A.B.C.D.
（浙江省竞赛试题）
8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

A.B.
C.D.
（济南市中考试题）

9.如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式.
（温州市中考试题）

10.如图，已知直线交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数上一点，过P作x轴平行线交直线l于E，过P作y轴平行线交直线l于F.求的值.

11.已知一次函数与反比例函数的图象交于点，.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△MON的面积.
（太原市竞赛试题）

12.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴，y轴分别交于点A和点B，且.这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是，由点P向x轴、y轴作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F.
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E点坐标，用b的代数式表示F点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.
（上海市竞赛试题）

文章来源：http://m.jab88.com/j/56435.html

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