古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么如何写好我们的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题》，仅供您在工作和学习中参考。

§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
解方程组求向量的的坐标.
【教学难点】：
解方程组求向量的的坐标..
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．单位向量，平面的法向量
（1）单位向量－－模为1的向量。
（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。
2．坐标法。为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.
分析：（1）建立空间坐标系；
（2）用坐标表示向量
（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系

列方程组求x,y,z.
（4）证明向量n//
（解略）
思考：有更简单的方法吗？
向量与、的数量积为零即可。
例2，ABCD是一个直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD与平面SBA所成二面角的余弦。
分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。所以本题关键是求平面的法向量。
解：以A为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别为A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。

设平面
分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。

探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？
――求每个力向上的分力。让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1在建立坐标系后，比较简单，容易把握。分析中的方法是为配合本次课的课题而设计的。

由学生回答本例的简便解法。

例2是一个典型的通过解方程组求法向量的问题，这类问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。

取y＝2，因为只要向量的方向。

例3是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量的加法。
帮助学生理解如何建立坐标系。
单位向量的模为1。

开拓学生思维。
三、训练与提高1，课本P113第11题。
答案：3/8.学生进行提高训练应用.

四、小结1．根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。
2．个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。反思归纳
五、作业课本P112，第6题和P113第10题。

练习与测试：
（基础题）
1，已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝．
答：0

2，把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）
A．B．C．D．
答：D

3，若a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果a与b为共线向量，则
A.x=1,y=1B.x=,y=－C.x=,y=－D.x=－,y=
解析：因为a=(2x,1,3)与b=(1,－2y,9)共线，故有==,∴x=,y=－,应选C.
答案：C

4，若空间三点A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则p=__________,q=__________.
解析：∵A、B、C三点共线，则=λ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，
∴∴λ=，代入得p=3,q=2.
答案：32

（中等题）
5，棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x（0≤x≤a）.如图，以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
⑴求证：A1F⊥C1E；
⑵当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B1—EF—B的正切值.
证明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）
所以，由此得=0，
A1F⊥C1E
（2）当△BEF的面积取得最大值时，E、F应分别为相应边的中点，可求得二面角B1—EF—B的正切值.

6，如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.
试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
解：以A为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.

设DF=x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).
∴=(1，－，－1)，=(1，0，1)，=(x,1,0).
∴=1－1=0，即D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF=0x－=0，即x=.
故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.

延伸阅读

空间向量的坐标运算

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编帮大家编辑的《空间向量的坐标运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算
高考要求
要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题
知识点归纳
1空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
，，
．
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4模长公式：若，，
则，．
5．夹角公式：．
6．两点间的距离公式：若，，
则，
或
题型讲解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量
解：设面ABC的法向量，
则⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），单位法向量=±（，－，）
点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）线段AB的中点坐标和长度；
（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件
解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，
则=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴点P的坐标是（2，1，），
dAB==
（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等，
则=
化简得4x+4y－6z+3=0（线段AB的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z的系数），即为P的坐标应满足的条件
点评：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（，，），且|P1P2|=
例3棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
例4在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值
解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC
（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求
点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形
例5如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点
（1）求的长；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M
（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）证明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，
则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了
②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点
例7如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a
建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角
分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之
解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，
于是M（0，），连结AM，MC1
则有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一个法向量
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：
=
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°
例8棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；（2）求；3）求点A到EF的距离
分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解
解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，
y轴，z轴建立直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的数量cos==
A到EF的距离=
点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）证明：，
，
设平面AGC的法向量为，
设平面BGC的法向量为，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量为
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小为
求平面法向量的另一种方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
设平面AGC的方程为：
则
∴平面AGC的法向量为
设平面BGC的方程为：
则∴平面BGC的法向量为
点评：①平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0；
②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0；
③平面法向量的两种求法的区别
小结：
1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论
2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等
学生练习
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果与为共线向量，则
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）与=（1，－2y，9）共线，故有==
∴x=，y=－应选C答案：C
2在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）故①②③错误答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋与2－互相垂直，则k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则||的值是__________
解析：设点P（x，y，z），则由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
则||==答案：
8设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根据共面向量定理，设=x+y（x、y∈R），
则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
（1）确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）设BP=t，则CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等价于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）试求这个三角形的面积
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角
则S=||||
=||||=
在本题中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因为异面对角线OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以OA⊥BC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1
12如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
则cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分别为AB、PD的中点，
∴E（a，－，0），F（0，，a）
则||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
连结PB，则PB⊥BC，
∴∠PBO为二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1则∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小为45°
课前后备注

向量的坐标表示与坐标运算

课时7向量平行的坐标表示（2）
【学习目标】
巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
【知识扫描】
1．共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ.()
2．设=(x1,y1)=(x2,y2)其中,则∥()x1y2-x2y1=0
注：（1）该条件不能写成∵x1,x2有可能为0
（2）向量共线的条件有两种形式：∥()
归纳:向量平行的坐标表示要注意正反两方面，
即若则
【例题选讲】
例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.

例2．已知点A（1，1），B（-1，5）及，，求点C、D、E的坐标，判断向量是否共线。
例3．已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，
求证：

例4．已知四点A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。(1)求实数x,使两向量，共线；（2）当向量，共线时，A、B、C、D四点是否在同一直线上？

例5．设向量=（k,12），=(4,5),=(10,k),当k为何值时，A、B、C三点共线。

例6．已知=2，=（-1，），且∥，求向量。

【课内练习】课本P75练习1-3
1．三点A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共线的条件为
2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三点共线，则C点坐标是
3．向量=（3，7），=（-3，），（），若∥，则x等于
4．已知=（1，2），=（x，1）,且(+2)∥(2-),则x的值为
【课后作业】
1．以下各向量中，与向量=（-5，4）平行的向量是
A（5k,4k）B()C(-10,2)D(-5k,-4k)
2．与=（15，8）平行的所有单位向量是
3．已知=（3，4），=（sinx，cosx）,且∥，则tanx=
4．已知=（-2，1-cos），=（1+cos，-），且，则锐角=
5．下列各组向量相互平行的是
A=（-1，2），=（3，5）B=（1，2），=（2，1）
C=（2，-1），=（3，4）D=（-2，1），=（4，-2）
6．已知=（2，3），=（-1，2）若k-与-k平行，求k的值。

7．已知向量=（6，1），=（x，y）=（-2，-3），当向量∥时，求实数x,y应满足的关系式。

8．已知=（x，2），=（3,-1）是否存在实数x,使向量-2与2+平行？若存在，求出x;若不存在，说明理由。

9．已知三个向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1），回答下列问题：
（1）求3+-2；（2）求满足=m+n的实数m和n；
（3）若(+k)//(2-)，求实数k的值；
（4）设=（x,y）,满足且=1，求

10、已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－２，１）、（－１，３）、（３，４），求顶点D的坐标.

11、平行四边形ABCD的对角线交于点O，且知＝（３，７），＝（－２，１），求坐标.

问题统计与分析

利用二分法求方程的近似解

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？为此，小编从网络上为大家精心整理了《利用二分法求方程的近似解》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

4.1.2用二分法求方程的近似解
一、教学目标
1、知识与技能:
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2、过程与方法：
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3、情感、态度与价值观：
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、学法与教法
1、想－想。2、教法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a－b︳＜，所以︱x0－a︳＜b－a＜,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜,
即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。
（三）、巩固深化，发展思维
1、学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
1、本节我们学过哪些知识内容？2、你认为学习“二分法”有什么意义？3、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业：P102习题3.1A组第四题，第五题。

用二分法求方程的近似解

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该要写教案课件了。只有制定教案课件工作计划，新的工作才会如鱼得水！你们会写适合教案课件的范文吗？小编特地为您收集整理“用二分法求方程的近似解”，仅供您在工作和学习中参考。

§3.1.2用二分法求方程的近似解
学习目标
1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
旧知提示（预习教材P89~P91，找出疑惑之处）
复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点.
方程有实数根函数的图象与x轴函数.
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.
复习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？

合作探究
探究：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.
解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？

新知：二分法的思想及步骤
对于在区间上连续不断且0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；[高考资源网]
③计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
典型例题
例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.

练1.求方程的解的个数及其大致所在区间.

练2.求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间中点函数值符号区间长度
练3.用二分法求的近似值.

课堂小结
①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.
知识拓展
高次多项式方程公式解的探索史料
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.
学习评价
1.若函数在区间上为减函数，则在上（）.
A.至少有一个零点B.只有一个零点
C.没有零点D.至多有一个零点
2.下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.
3.函数的零点所在区间为（）.
A.B.C.D.
4.用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为.
课后作业
1．若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为()
A．－1B．0C．3D．不确定
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)0，则f(x)＝0在[a，b]内()
A．至少有一实数根B．至多有一实数根
C．没有实数根D．有惟一实数根
3．设函数f(x)＝13x－lnx(x＞0)则y＝f(x)()
A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点
C．在区间1e，1内有零点；在区间(1，e)内无零点[高考资源网]
D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m的取值范围是()
A．m≤1B．0m≤1C．m1D．0m1
6．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零点有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．函数y＝3x－1x2的一个零点是()
A．－1B．1C．(－1,0)D．(1,0)
8．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()
A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为()
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)
10．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的简图．

文章来源：http://m.jab88.com/j/28213.html

更多