22.2.1直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重难点关键
1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教学过程
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
老师点评:
问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)()2.
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:x2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2
即x1=2,x2=-2
可以验证,2和-2都是方程x2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2
即2t+1=2,2t+1=-2
方程的两根为t1=-,t2=--
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材P36练习.
四、应用拓展
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)当成一个数,配方得:
(1+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56
x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6
方程的根为x1=10%,x2=-3.1
因为增长率为正数,
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
五、归纳小结
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.
六、布置作业
1.教材P45复习巩固1、2.
2.选用作业设计:
一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为().
A.3B.-3C.±3D.无实数根
3.用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是().
A.(x-)2=,x=±
B.(x-)2=-,原方程无解
C.(x-)2=,x1=+,x2=
D.(x-)2=1,x1=,x2=-
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
答案:
一、1.B2.D3.B
二、1.±2.9或-33.-8
三、1.当n≥0时,x+m=±,x1=-m,x2=--m.当n0时,无解
2.(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,
依题意,得:x(40-2x)=180
整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+,x2=10-;
同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.
(2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,
b2-4ac=400-410=-100,无解,即不能达到.
3.因要制矩形方框,面积尽可能大,
所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.
一元二次方程-----直接开平方法
教学目标
1.理解直接开平方法与平方根运算的联系,学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程;培养基本的运算能力;
2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.培养观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题;
3.鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.
教学重点及难点
1、用直接开平方法解一元二次方程;
2、理解直接开平方法中的整体思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解
教学过程设计
一、情景引入,理解方法
看一看:特殊奥林匹克运动会的会标
想一想:
在2006年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重,XX学校将在运动场搭建一个舞台,其中一个方案是:在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台,那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢?
解:由题意得:x2=144
根据平方根的意义得:x=±12
∴原方程的解是:x1=12,x2=-12
∵边长不能为负数
∴x=12
了解方法:
上述解方程的方法叫做直接开平方法.通过直接将某一个数开平方,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【说明】用开平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三种可能性,学生归纳是难点,教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括.通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力..
第三阶段:怎样解方程(1+x)2=144?
请四人学习小组共同研究,并给出一个解题过程.可以参考课本或其他资料.小组长负责清楚的记录解题过程.
第四阶段:众人齐心当考官!
请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144这样能用直接开平方法解的一元二次方程.
1、分析学生所编的方程.
2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习.
3、出示:思考:下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢?
4(x+1)2-144=0
归纳:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.
【说明】在第三、四阶段的讲解和练习中教师需让学生体会到其中蕴涵了整体思想.
三、巩固方法,提高能力
请大家帮帮忙,挑一挑,拣一拣,下列一元二次方程中,哪些更适宜用直接开平方法来解呢?
⑴x2=3⑵3t2-t=0
⑶3y2=27⑷(y-1)2-4=0
⑸(2x+3)2=6⑹x2=36x
四、自主小结
今天我们学会了什么方法解一元二次方程?适合用开平方法解的一元二次方程有什么特点?
老师职责的一部分是要弄自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好了教案课件新的工作计划,新的工作才会如鱼得水!你们知道适合教案课件的范文有哪些呢?下面是小编帮大家编辑的《九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版》,欢迎您参考,希望对您有所助益!
九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)()2.
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2即x1=2,x2=-2可以验证,2和-2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
文章来源:http://m.jab88.com/j/90067.html
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