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中考数学总复习专题基础知识回顾四三角形

一、单元知识网络：

二、考试目标要求：

1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线

和高，了解三角形的稳定性.

2．探索并掌握三角形中位线的性质.

3．了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件.

4．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；

了解等边三角形的概念并探索其性质.

5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.

6．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

三、知识考点梳理

知识点一、三角形的概念及其性质

1．三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2．三角形的分类

(1)按边分类：

(2)按角分类：

3．三角形的内角和外角

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻

的内角.

4．三角形三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

5．三角形内角与对边对应关系

在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.

6．三角形具有稳定性.

知识点二、三角形的“四心”和中位线

三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.

1．内心：

三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

2．外心：

三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.

3．重心：

三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

4．垂心：

三角形三条高线的交点.

5．三角形的中位线：

连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.

中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

要点诠释：

(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.

(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.

(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.

(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.

知识点三、全等三角形

1．定义：

能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2．性质：

(1)对应边相等

(2)对应角相等

(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等

(4)周长、面积相等

3．判定：

(1)边角边(SAS)

(2)角边角(ASA)

(3)角角边(AAS)

(4)边边边(SSS)

(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)

要点诠释：

判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.

知识点四、等腰三角形

1．定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2．性质：

(1)具有三角形的一切性质.

(2)两底角相等(等边对等角)

(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)

(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.

3．判定：

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

要点诠释：

(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.

知识点五、直角三角形

1．定义：

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2．性质：

(1)直角三角形中两锐角互余；

(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；

(7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.

3．判定：

(1)两内角互余的三角形是直角三角形；

(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形.

(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

知识点六、线段垂直平分线和角平分线

1．线段垂直平分线：

经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

线段垂直平分线的定理：

(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.

2．角平分线的性质：

(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；

(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；

(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合.

四、规律方法指导

1．数形结合思想

本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题.

2．分类讨论思想

在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

3.化归与转化思想

在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化.

4．注意观察、分析、总结

应将三角形的判定及性质作为重点，对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养，淡化纯粹的几何证明.

学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想.

经典例题透析

考点一、三角形的概念及其性质

1．（1）（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

思路点拨：三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40°、60°、80°，是锐角三角形.

答案：B

（2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是()

A．-6＜a＜-3B．-5＜a＜-2C．2＜a＜5D．a＜-5或a＞-2

思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.

解析：根据三角形三边关系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，应选B.

举一反三：

【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.

思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.

解析：∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c＜0，b-a-c＜0

∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.

【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能()

A.1种B.2种C.3种D.4种

解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.

【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.

思路点拨：要分类讨论，给出的边长中，可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.

解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10；(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.

2．（1）（2010宁波市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

考点：等腰三角形

答案：A

（2）如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.

考点：直角三角形两锐角互余.

解析：△ABC中，∠C=∠ABC-∠A=90°-50°=40°

又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.

3．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中()

A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°

C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形

考点：三角形内角和180°.

思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.

解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A

∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴∠A=45°，∴选A，其它三个答案不能确定.

举一反三：

【变式1】下图能说明∠1＞∠2的是()

考点：三角形外角性质.

思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.

解析：A中∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不一定相等；C中∠1是三角形的一个外角，∠2是和它不相邻的内角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.

总结升华：三角形内角和180°以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要注意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准.

【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论.

解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C.

【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.

解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B.

考点二、三角形的“四心”和中位线

4．（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的()

A.二条中线的交点B.二条高线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点

考点：线段垂直平分线的定理.

思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.

（２）（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．

考点：三角形中位线找规律

思路点拨：图①有１个正三角形；图②有（１＋４）个正三角形；

图③有（１＋４＋４）个正三角形；图④有（１＋４＋４＋４）个正三角形；

图⑤有（１＋４＋４＋４＋４）个正三角形；…．

答案：17

5．一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

考点：三角形角平分线定理.

思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.

举一反三：

【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求∠BOC的度数.

考点：三角形外心、内心、垂心性质.

解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A=116°；

(2)O为内心时，∠BOC=90°+∠A=119°；

(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.

【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是()

A.锐角三角形B.只有两边相等的锐角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形

解析：三角形的内心都在三角形内部；锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.

【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的()

A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线

思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到.

解析：三角形的一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A.

6．（1）（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）

A、15米B、20米C、25米D、30米

考点：三角形中位线定理.

思路点拨：ＢＥ=ＡＥ＝５，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０

答案：C

相关知识

中考数学总复习全等三角形导学案（湘教版）

第19课全等三角形
【知识梳理】
1、定义：能够完全重合的两个三角形全等．
2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等
3、边角边（SAS）角边角（ASA）推论角角边（AAS）边边边（SSS）“HL”
【例题精讲】
1.如图，，，，，则等于（）
A．B．C．D．

2．如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△；②△∽△；
③；④
其中正确的是（）
A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．
3．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）
A．4B．3C．2D．

4．如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：

5．如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．

6．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：．

7.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE

8.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．

中考数学特殊三角形（2）复习教案

作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家在用心的考虑自己的教案课件。只有规划好了教案课件新的工作计划，才能促进我们的工作进一步发展！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“中考数学特殊三角形（2）复习教案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

教学说明：本单元的热点是等腰三角形的有关概念、性质和判定；等边三角形的有关概念、性质和判定；勾股定理及其逆定理及相关的新颖题。

教学过程：

一．典型例题：

例1．已知：如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连结CE、DE，求证：EC=ED

例2．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=

例3．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；

（2）用这个图形证明色股定理；

（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中的所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图，并能简单说明理由。

例4．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm、宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。

例5．四年一度的国际数学家大会于2002年8月在北京召开，我校的孙海洋、陈晓莹两同学有幸参加了此次盛会。大会的会徽如图（1），它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。

（1）若大正方形的面积是13，每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积。

（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应的数据）

例6．设△ABC的三边分别为a、b、c，a和b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根。

（1）试判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由；

（2）若△ABC为等腰三角形，求a、b、c的值。

三、同步练习：

1．如图，在正方形ABCD外作一正三角形ABE。BD、EC相交于点F，则∠AFD的大小是（）

A．60°B50°C45°D75°

2．已知点A为直线MN外一点，点B、C分别为直线MN上两点，且AC=5，AB=13，BC=12。若点E也在直线MN上，且AE=7，则BE=

A．B．C．D．

3．底角为15°，腰长为a的等腰三角形的面积是。

4．如图，△ABC是等边三角形，AD是中线，△ADE是等边三角形，求证：BD=BE

5．如图，∠ACB=3∠B，∠1=∠2，CD⊥AD于D，求证：AB-AC=2CD

6．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转n（0n90°），得正方形AB2C3D4，B1C1交CD于点E。

（1）求证：B1E=DE

（2）简要说明四边形AB1ED存在一个内切圆；

（3）若n=30°，AB=，求四边形AB1ED内切圆的半径r。

教后：

中考数学总复习直角三角形导学案（湘教版）

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第21课直角三角形（勾股定理）
【知识梳理】
1.直角三角形的定义；
2.直角三角形的性质和判定；
3.特殊角度的直角三角形的性质．
4．勾股定理：a2+b2=c2
【思想方法】
1.常用解题方法——数形结合
2.常用基本图形——直角三角形
【例题精讲】
例题1.如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=度．

例题2．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点，
则．
例题3.如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（）
A．B．
C．D．
例题4.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，
使点与点重合，折痕为，则的值是（）
A．B．
C．D．
例题5.如图，中，，，，是上一点，作于，于，设，则（）
A．B．
C．D．
例题6.在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
①△≌△；②△∽△；③;
④其中正确的是（）
A．②④B．①④C．②③D．①③
【当堂检测】
1.如图AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=（）
A．B．Ｃ．Ｄ．

第1题图第3题图
第2题图
1.如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
2.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）
A．25°B．30°C．45°D．60°
3.如图，已知等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，
连接AE、BF．
求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
第4题图
4.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使其每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个长方形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系？并证明你的结论．
第5题图
5.两个全等的含30°，60°角的三角板ADE与三角板ABC如图所示放置，
E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

文章来源：http://m.jab88.com/j/76568.html

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