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第二十二章一元二次方程
教材内容
本单元教学的主要内容:
1.一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(开平方法、配方法、公式法、分解因式法),
一元二次方程根与系数的关系,运用一元二次方程分析和解决实际问题.
2.本单元在教材中的地位和作用:
教学目标
1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念。
2.根据化归思想,抓住“降次”这一基本策略,熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.经历分析和解决问题的过程,体会一元二次方程的教学模型作用,进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
教学重点、难点
重点:
1.一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法(开平方法、配方法、公式法、分解因式法)
3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。
难点:
1.一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法(配方法、公式法、分解因式法),
3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用
课时安排
本章教学时约需课时,具体分配如下(供参考)
22.1一元二次方程1课时
22.2降次7课时
22.3实际问题与一元二次方程3课时
教学活动、习题课、小结
22.1一元二次方程
教学目的
1.使学生理解并能够掌握整式方程的定义.
2.使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义.
3.使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式.
教学重点、难点
重点:一元二次方程的定义.
难点:一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.
教学过程
复习提问
1.什么叫做方程?什么叫做一元一次方程?
2.指出下面哪些方程是已学过的方程?分别叫做什么方程?
(l)3x+4=l;(2)6x-5y=7;
3.结合上述有关方程讲解什么叫做“元”,什么叫做“次”.
引入新课
1.方程的分类:(通过上面的复习,引导学生答出)
学过的几类方程是
没学过的方程有x2-70x+825=0,x(x+5)=150.
这类“两边都是关于未知数的整式的方程,叫做整式方程.”像这样,我们把“只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程.”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)一元二次方程:x2-70x+825=0,x(x+5)=150.
同时指导学生把学过的方程分为两大类:
2.一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150,即x2+5x=150,
可化为:x2+5x-150=0.
从而引导学生认识到:任何一个一元二次方程,经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.并称之为一元二次方程的一般形式.
其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项、常数项;a,b分别称为二次项系数、一次项系数.
【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时,方程化为bx+c=0,不再是二次方程了);b,c可为任意实数.
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式.并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
课堂练习P271、2题
归纳总结
1.方程分为两大类:
判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数;判别一元一次方程,一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后,未知数的最高次数是一次还是二次.
2.一元二次方程的定义:一个整式方程,经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2,则这样的整式方程称一元二次方程.
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中b,c均可为任意实数,而a不能等于零.
布置作业:习题22.11、2题.
达标测试
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是
5.方程4x2=3x-+1的二次项是,一次项是,常数项是
课后反思:
22.2解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1.使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程.
2.引导学生通过特殊情况下的解方程,小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a>0,c<0)的方法.
教学重点、难点
重点:准确地求出方程的根.
难点:正确地表示方程的两个根.
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识,请学生回答下列问题,并说明解决问题的依据.
求下列各式中的x:
1.x2=225;2.x2-169=0;3.36x2=49;4.4x2-25=0.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
解题的依据是:一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.
即一般地,如果一个数的平方等于a(a≥0),那么这样的数有两个,它们是互为相反数.
引入新课
我们已经学过了一些方程知识,那么上述方程属于什么方程呢?
新课
例1解方程x2-4=0.
解:先移项,得x2=4.
即x1=2,x2=-2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
例2解方程(x+3)2=2.
练习:P281、2
归纳总结
1.本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法.
2.直接法适用于ax2+c=0(a>0,c<0)型的一元二次方程.
布置作业:习题22.14、6题
达标测试
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解为
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程无实根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是
A.不论c为何值,方程均有实数根B.方程的根是
C.当c≥0时,方程可化为:
D.当c=0时,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
课后反思
九年级上册《实际问题与一元二次方程》教案新人教版
一、出示学习目标:
1.继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程;
2.通过自学探究掌握裁边分割问题。
二、自学指导:(阅读课本P47页,思考下列问题)
1.阅读探究3并进行填空;
2.完成P48的思考并掌握裁边分割问题的特点;
3.在理解的基础上完成P48-49第8、9题(不精确,只留根号即可)。
探究3:要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
分析:封面的长宽之比为27﹕21=9﹕7,中央矩形的长宽之比也应是9﹕7,则上下边衬与左右边衬的宽度之比是。9﹕7
设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则:
由中下层学生口答书中填空,老师再给予补充。
思考:如果换一种设法,是否可以更简单?
设正中央的长方形长为9acm,宽为7acm,依题意得
9a·7a=(可让上层学生在自学时,先上来板演)
2.P48-49第8、9题中下层学生在自学完之后先板演
效果检测时,由同座的同学给予点评与纠正
9.如图,要设计一幅宽20m,长30m的图案,两横两竖宽度之比为3∶2,若使彩条面积是图案面积的四分之一,应怎样设计彩条的宽带?(讨论用多种方法列方程比较)
注意点:要善于利用图形的平移把问题简单化!
四、当堂训练:
1.如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求风景画的面积是整个挂画面积的72%,那么金边的宽应是多少?
(只要求设元、列方程)
2.要设计一个等腰梯形的花坛,上底长100m,下底长180m。上下底相距80m,在两腰中点连线出有一横向甬道,上下两底之见有两条纵向的甬道,各甬道宽度相等,甬道的面积是梯形面积的六分之一,甬道的宽应是多少
(二)探索新知
列方程解应用题:
一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共多少人?
分析:设这个小组有x人,那么每个人要送给除了他自己以外的人,共送张贺卡,由此可列方程:
二、学习过程
列方程解应用题:
有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染后有人患了流感,第二轮传染后有人患了流感.
于是可列方程:
思考:如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?
三、达标巩固
1.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182
件,如果全组有x名同学,那么根据题意列出的方程是()
A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182
C.2x(x+1)=182D.x(1-x)=182×2
2.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛),共要比赛90场,共有多少个队参加了比赛?
五、课时训练
1.一个多边形有70条对角线,则这个多边形有________条边.
2.九年级(3)班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向
本组其他成员赠送一本,全组共互赠了240本图书,如果设全组共有x名同学,依题意,可
列出的方程是()
A.x(x+1)=240B.x(x-1)=240
C.2x(x+1)=240D.x(x+1)=240
3.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传
染的人数
三、达标巩固1.如图所示,李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围,镶上一条宽度相同的金
色纸边,制成一幅挂图,使风景画的面积占整个挂图面积的54%,设金色纸边的宽为xcm,
根据题意可列方程()
A.(90+x)(40+x)×54%=90×40
B.(90+2x)(40+2x)×54%=90×40
C.(90+x)(40+2x)×54%=90×40
D.(90+2x)(40+x)×54%=90×40
2.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多2米,现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱?
五、课时训练
基础过关
1.三角形一边的长是该边上高的2倍,且面积是32,则该边的长是()
A.8B.4C.4D.82.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,
盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长.
3.如图所示,要用防护网围成长方形花坛,其中一面利用现有的一段墙,且在与墙平行的
一边开一个2米宽的门,现有防护网的长度为91米,花坛的面积需要1080平方米,若墙长
50米,求花坛的长和宽.(1)一变:若墙长46米,求花坛的长和宽.
(2)二变:若墙长40米,求花坛的长和宽.
(3)通过对上面三题的讨论,你觉得墙长对题目有何影响?
4.一条长64cm的铁丝被剪成两段,每段均折成正方形,若两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长
文章来源:http://m.jab88.com/j/71931.html
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