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第4课时解一元二次方程-公式法
一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；
理解一元二次方程求根公式的推导过程；
掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；
学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．
二、知识回顾1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移常数项到方程右边；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）化方程左边为完全平方式；
（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．
2．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即：，
因为所以
当；
当
三、新知讲解一元二次方程根的判别式
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．
一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
公式法解一元二次方程
一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，它的两个根分别是
，，
这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
公式法解一元二次方程的一般步骤
把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；
确定a，b，c的值；
求出的值，并判断方程根的情况：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）．

四、典例探究

1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】（2015重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
两个根都是自然数D．无实数根
总结：
求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.
根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
练1．（2015铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
练2．（2015泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．

2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围
【例2】（2015温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣4D．4
总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：
先计算根的判别式；
再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；
若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．
练3．（2015凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2

3．用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．

总结：
公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；
运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；
（2）必须保证b2-4ac≥0．
练4．（2014锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．

练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

五、课后小测一、选择题
1．（2015云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0
2．（2015贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（2015烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
4．（2015株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
5．（2013日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0
二、填空题
6．（2011秋册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．
三、解答题
7．（2014秋通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．

8．（2014秋金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．

9．（2013春石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．

10．（2015梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

11．（2015咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

12．（2015昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

13．（2015南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．
（2）小华补充说，其中一个根与k无关．
请你说说其中的道理．
典例探究答案：
【例1】（2015重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数D．无实数根
分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
练1．（2015铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．
解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
练2．（2015泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
分析：（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解答：解：（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【例2】（2015温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣4D．4
分析：根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
练3．（2015凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解答：解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．
分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；
（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．
解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴x==﹣1，
∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．
∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴?y=，
∴y1=，y2=；
（3）移项，得x2﹣2x+3=0，
这里a=1，b=﹣2，c=3．?
∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．
∴原方程没有实数根．????
点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．
练4．（2014锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．
分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：x（x﹣2）=3x+1，
整理得：x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，
x=，
x1=，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
分析：根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．
解答：解：根据题意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，
即x2+4x﹣7=0，
a=1，b=4，c=﹣7，
△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，
则x==﹣2．
点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式△≥0．
课后小测答案：
一、选择题
1．（2015云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0
解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选A．
2．（2015贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）
A．﹣1B．0C．1D．2
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
3．（2015烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为
（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
解：∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故选B．
4．（2015株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选D．
5．（2013日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0
解：x2﹣x﹣3=0，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，
x=，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
二、填空题
6．（2011秋册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=41，x1=，x2=．
解：2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案为：41，，．
三、解答题
7．（2014秋通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．
解：原方程可化为：2x2﹣4x﹣5=0，
∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，
∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，
∴x=frac{4±sqrt{56}}{4}=1±．
∴x1=1+，x2=1﹣．
8．（2014秋金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．
解：这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．
9．（2013春石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．
解：整理得：x2+2x﹣4=0，
△=b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（﹣4）=28，
x=，
x1=﹣+，x2=﹣﹣．
10．（2015梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
11．（2015咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
12．（2015昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
13．（2015南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．
（2）小华补充说，其中一个根与k无关．
请你说说其中的道理．
解：（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，
∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）总有两个不相等的实数根；
（2）当x=1时，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，
即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根为1，
x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，与k无关．

精选阅读

解一元二次方程——配方法导学案（新版新人教版）

第3课时解一元二次方程-配方法
一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；
2．学会利用配方法解一元二次方程.
二、知识回顾1．形如(≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.
2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x＝±或mx＋n=±．
三、新知讲解1．配方法的依据
配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．
2．配方法的步骤
（1）化——化二次项系数为1
如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.
（2）移——移项
通过移项使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.
（3）配——配方
在方程两边都加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式把原方程变为(≥0)的形式．
（4）解——用直接开平方法解方程.
四、典例探究
1．配方法解一元二次方程
【例1】（2015科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把二次项的系数化为1；
（2）把常数项移到等号的右边；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法解这个方程.
练1用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.

2．用配方法求多项式的最值
【例2】（2015春龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．

总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.
练2（2014甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

练3（2014秋崇州市期末）已知a、b、c为△ABC三边的长．
（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．

五、课后小测一、选择题
1．（2015延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（）
A．（x+1）2+4B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4D．（x+1）2+2
2．（2015东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）
A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17
二、填空题
3．（2015春盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a=．
4．（2014秋营山县校级月考）当x=时，代数式3x2﹣6x的值等于12．
三、解答题
5．（2015东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

6．（2013秋安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？

7．（2014秋蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小华：能．求解过程如下：
因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7
而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
问题：
（1）小华的求解过程正确吗？
（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．

8．（2014秋安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值为4
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．

9．（2014春乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．

10．（2014秋江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a=﹣1．
①当x=时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．
②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．
③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

典例探究答案：
【例1】【解析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．
故选：B．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
练1．【解析】（1）移项，得x2﹣2x=24，
配方，得：x2﹣2x+1=24+1，
即：（x﹣1）2=25，
开方，得：x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
（2）两边除以3，得：,
移项，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：
∴
（3）整理，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：
∴
点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．
解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．
练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；
（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．
解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
∵a、b、c为△ABC三边的长，
∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，
∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形．
点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．

课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．
解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．
故选：B．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
2．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．
解：移项，得x2﹣8x=1，
配方，得x2﹣8x+16=1+16，
即（x﹣4）2=17．
故选A．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．
二、填空题
3．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．
解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；
故答案为：9．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．
解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，
开方得：x﹣1=±，
解得：x=1±．
故答案为：1±．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题
5．【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
6．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．
解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3
=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，
当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．
点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．
解：（1）正确
（2）能．过程如下：
x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+
∵（x﹣）2≥0，
所以x2﹣3x+4的最小值是．
点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．
8．【解析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5．
点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．【解析】先将原式变形为x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．
解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．
∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，
∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23
解得m=﹣2或m=
点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．
10．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；
②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；
③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．
解：①∵（x﹣1）2≥0，
∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，
则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；
②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，
则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；
③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
故答案为：①1；大；3；②2；大；7
点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

解一元二次方程

每个老师在上课前需要规划好教案课件，是时候写教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们会写适合教案课件的范文吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“解一元二次方程”，仅供参考，大家一起来看看吧。

28.2解一元二次方程
教学目的知识技能认识形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）类型的方程，并会用直接开平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
数学思考用直接开平方法解一元二次方程的依据是用平方根的定义来进行降次的，直接开平方法解一元二次方程，必须化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式来求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再应用直接开平方法求解
解决问题通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
情感态度通过本节学习，使学生感觉到由未知向已知的转化美.
教学难点用配方法解一元二次方程
知识重点选择适当的方法解一元二次方程
教学过程设计意图

教
学
过
程
问题一：填空
如果，那么.
教师活动：引导学生运用开平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
学生活动：在老师的引导下，初步了解一元二次方程的直接开平方法.
问题二：解方程
教师活动：与学生一起探究此种形式的方程的解法.
学生活动：仿照上题，解此问题，并总结出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
练习：解下列方程：
（1）(2)
问题三：解方程：
师生一起探究解法，通过配方把该方程转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接开平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例题1：解方程
教师活动：给学生作出配方法解方程的示范.重点在配方的方法：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
学生总结配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.

从学生已知的知识入手，解决形如x2＝p（p≥0）类型的方程，引导进入直接开平法法.

解决并练习形如（mx+n）2＝p（p≥0）类型的方程，

在解决形如x2＝p（p≥0）和（mx+n）2＝p（p≥0）类型的方程的基础上，给学生设置悬念，探究这个方程的解法.
引出配方法.

在转化的同时，给学生讲解配方的方法，为配方法解一元二次方程作准备.

提高学生的总结归纳能力.
课堂练习解下列方程：
课本24页习题2
学生完成后，交流结果，交流配方法解一元二次方程的步骤、方法

使学生体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.

小结与作业
课堂
小结引导学生对直接开平方法和配方法进行总结.

本课
作业34页习题1、3把学习延伸到课外，巩固课上所学.

课后随笔（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

解一元二次方程——因式分解法导学案（新版新人教版）

教案课件是老师不可缺少的课件，大家应该开始写教案课件了。只有写好教案课件计划，才能够使以后的工作更有目标性！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编为大家整理的“解一元二次方程——因式分解法导学案（新版新人教版）”，希望对您的工作和生活有所帮助。

第5课时解一元二次方程-因式分解法
一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
二、知识回顾1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
，，
（3）十字相乘法：

三、新知讲解1．因式分解法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
2．因式分解法解一元二次方程的步骤：
①把方程的右边化为0；
②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.

四、典例探究
1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.

总结：
用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.
因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程的右边化为0；
（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；
（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
练1（2014秋赵县期末）用因式分解法解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2

2．用换元法解一元二次方程
【例2】（2014山西校级模拟）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．

总结：
换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.
在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.
解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．
练2（2015呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．
练3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.

3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】（2014秋漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．

总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.
（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的.因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.
练4（2015春无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.
（1）x2﹣5x﹣6=0；
（2）3x2﹣4x﹣1=0；
（3）x（x﹣1）=3﹣3x；
（4）x2﹣2x+1=0．

五、课后小测一、选择题
1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（）
A.x1=-16，x2=8B.x1=16，x2=-8C.x1=16，x2=8D.x1=-16，x2=-8
2.方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（）
A.B.C.D.
3.（2015滕州市校级模拟）方程x2﹣2x=3可以化简为（）
A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0
C．（x﹣1）2=2D．（x﹣1）2+4=0
二、填空题
4．（2015丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程．
5．（2014杭州模拟）方程x（x+1）=2（x+1）的解是．
6．（2013秋苏州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为．
三、解答题
7．（2014秋静宁县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x+1=0
（2）x2﹣2x﹣2=0
（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．

8．（2014秋沧浪区校级期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣3=0
（2）（x﹣2）2=3（x﹣2）
（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0．

9．（2014秋宛城区校级期中）为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1=y，则（x2﹣1）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2﹣1=1，x2=2，x=±．
当y=4时，x2﹣1=4，x2=5，x±．
故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．
请借鉴上面的方法解方程（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0．

10．（2014秋蓟县期中）已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．

典例探究答案：
【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.
解：（1）2(2x－1)2=(1－2x)
移项，得2(2x－1)2－(1－2x)=0，
即：2(2x－1)2+(2x－1)=0，
因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，
整理，得(2x-1)(4x-1)=0，
解得x1=12，x2=14；
（2）4(y＋2)2=(y－3)2
移项，得4(y＋2)2-(y－3)2=0
因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0
整理，得(3y+1)(y+7)=0
解得y1=－13，y2=－7.
练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
解：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2，
（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2=0，
因式分解得：（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0，
整理得：（2﹣x）（3x﹣8）=0，
解得：x1=2，x2=.
点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
【例2】【解析】先设2x+5=y，则方程即可变形为y2﹣4y+3=0，解方程即可求得y（即2x+5）的值，进一步可求出x的值．
解：设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣4y+3=0，
所以（y﹣1）（y﹣3）=0
解得y1=1，y2=3．
当y=1时，即2x+5=1，
解得x=﹣2；
当y=3时，即2x+5=3，
解得x=﹣1，
所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．
点评：本题运用换元法解一元二次方程．
练2．【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x（即a+b）的值．
解：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得
（2x+1）（x﹣1）=0，
解得x1=﹣，x2=1．
则a+b的值是﹣或1．
故答案是：﹣或1．
点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
练3【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．
解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，
因式分解得：（y+1）(y+4)=0,
解得y1=-1，y2=-4.
当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得.
当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.
综上，.
【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；
（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；
（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣5x=﹣1，
x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
所以x1=，x2=；
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
所以x1=2，x2=3；
（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48
x===，
所以x1=，x2=；
（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，
y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，
所以y1=﹣，y2=．
点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．
练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；
（2）根据公式法，可得方程的解；
（3）根据因式分解法，可得方程的解；
（4）根据公式法，可得方程的解．
解：（1）因式分解，得
（x﹣1）（x﹣6）=0，解得x1=6，x2=﹣1；
（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x1=，x2=；
（3）方程化简得x2+2x﹣3=0，
因式分解，得（x+3）（x﹣1）=0，
解得x1=1，x2=﹣3；
（4）a=1，b=﹣2，c=1，x1=1+，x2=﹣1+．
点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．
解：x2﹣2x=3，
x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
故选A．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．
2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.
解：5x(x+3)=3(x+3)，
移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，
分解因式，得（5x-3）（x+3）=0，
解得
故选D.
点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.
3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.
解：方法一：x2-2x=3,
移项，得x2-2x-3=0,
因式分解，得（x-3）(x+1)=0,
方法二：x2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,
移项，得（x-1）2-4=0.
故选A.
点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法.
二、填空题
4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．
解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0．
故答案为x﹣1=0或x+3=0．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可
解：x（x+1）=2（x+1），
移项得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，
即（x+1）（x﹣2）=0，
∴x+1=0，x﹣2=0，
解方程得：x1=2，x2=﹣1，
故答案为：x1=2，x2=﹣1．
点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．
解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t﹣1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=﹣4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．
三、解答题
7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣2x+1=0，
因式分解，得（x﹣1）2=0，
解得x﹣1=0，即x1=x2=1；
（2）x2﹣2x﹣2=0，
移项，得x2﹣2x=2，
配方，得x2﹣2x+1=2+1，
即：（x﹣1）2=3，
解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；
（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，
因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，
即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．
8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）原式利用因式分解法求出解即可；
（3）将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：（1）方程变形得：x2﹣4x=3，
配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）方程变形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，
解得：x1=2，x2=5；
（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，
变形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，
设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，
因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，
解得：y=﹣或y=1，
当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：x=0；
当y=1时，x﹣=1，解得：x=，
∴x1=，x2=0．
点评：此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．
9．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．
解：设x2﹣x=y，则（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．
当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．
当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．
故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．
点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．
解：设z=x2+y2，
原方程变形为（z﹣3）（z+1）=12，
整理，得z2﹣2z﹣15=0，
因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，
解得z1=5，z2=﹣3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2的值为5．
点评：本题考查了换元法解一元二次方程．

文章来源：http://m.jab88.com/j/70284.html

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