第1课时一元二次方程
一、学习目标1.理解一元二次方程的概念;
2.知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式;
3.会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项;
4.理解一元二次方程根的概念.
二、知识回顾1.多项式3x2y-2x-1是三次二项式,其中最高次项是3x2y,二次项系数为0,一次项系数为-2,常数项是-1.
2.含有未知数的等式叫方程,我们学过的方程类型有:一元一次方程、二元一次方程、分式方程等.
三、新知讲解1.一元二次方程的概念
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
概念解读:(1)等号两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可.
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;
bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
概念解读:(1)“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分.如果明确了ax+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件;
(2)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,各项的系数包括它前面的符号.
3.一元二次方程的根的概念
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根..
概念解读:(1)一元二次方程可能无解,但是有解就一定有两个解;(2)可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
四、典例探究
1.根据定义判断一个方程是否是一元二次方程
【例1】(2015浠水县校级模拟)下列方程是一元二次方程的是()
A.x2+2x﹣y=3B.C.(3x2﹣1)2﹣3=0D.x2﹣8=x
总结:一元二次方程必须满足四个条件:
是整式方程;
含有一个未知数;
未知数的最高次数是2;
二次项系数不为0.
练1(2015科左中旗校级一模)关于x的方程:(a﹣1)+x+a2﹣1=0,求当a=时,方程是一元二次方程;当a=时,方程是一元一次方程.
2.把一元二次方程化成一般形式(写出其二次项系数、一次项系数和常数项)
【例2】(2014秋忠县校级期末)一元二次方程(1﹣3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是;它的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.
总结:一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)
(1)特别要注意a≠0的条件;
(2)在一般形式中,ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项,其中a,b,c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项.
练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数.
练3(2014东西湖区校级模拟)将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后,如果二次项系数是4,则一次项系数和常数项分别是()
A.5,81B.5,﹣81C.﹣5,81D.5x,﹣81
3.根据一元二次方程的根求参数
【例3】(2015临淄区校级模拟)若0是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根,则m的值为()
A.1B.0C.1或2D.2
总结:
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解,但是有解就一定有两个解.
可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一个解,将这个解直接代入原方程,原方程仍然成立,由此可求解原方程中的字母参数.
若二次项系数含有字母参数,求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略,谨记.
练4(2014绵阳模拟)若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2﹣1=0的一根是0,则a=.
练5(2015绵阳)关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2,则n2+n﹣2=.
五、课后小测一、选择题
1.(2015春莒县期中)下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为()
A.ax2+bx+c=0B.x+y=2C.x2+3y﹣5=0D.x2﹣1=0
2.(2014泗县校级模拟)方程x2﹣2x﹣5=0,x3=x,y2﹣3x=2,x2=0,其中一元二次方程的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.(2014秋沈丘县校级期末)要使方程(a﹣3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则()
A.a≠0B.a≠3
C.a≠1且b≠﹣1D.a≠3且b≠﹣1且c≠0
4.(2015石河子校级模拟)把方程x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,则a、b、c的值分别是()
A.1,﹣3,10B.1,7,﹣10C.1,﹣5,12D.1,3,2
5.(2015石河子校级模拟)关于x的方程(3m2+1)x2+2mx﹣1=0的一个根是1,则m的值是()
A.0B.﹣C.D.0或,
6.(2014祁阳县校级模拟)已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根,则关于y的方程y2﹣12=a的解是()
A.B.﹣
C.±D.以上答案都不对
7.(2014秋南昌期末)关于x的方程(k+2)x2﹣kx﹣2=0必有一个根为()
A.x=1B.x=﹣1C.x=2D.x=﹣2
二、填空题
8.(2015东西湖区校级模拟)已知(m﹣2)x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是.
9.(2014秋西昌市校级期中)方程2x2﹣1=的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.
10.(2015厦门校级质检)若m是方程x2﹣2x=2的一个根,则2m2﹣4m+2010的值是.
三、解答题
11.把方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)5x2=3x;
(2)(﹣1)x+x2﹣3=0;
(3)(7x﹣1)2﹣3=0;
(4)(﹣1)(+1)=0;
(5)(6m﹣5)(2m+1)=m2.
12.(2015春亳州校级期中)已知关于x的方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,
(1)求m的值;
(2)求方程的解.
13.(2015春嵊州市校级月考)已知,下列关于x的一元二次方程
(1)x2﹣1=0(2)x2+x﹣2=0(3)x2+2x﹣3=0…(n)x2+(n﹣1)x﹣n=0
(1)求出方程(1)、方程(2)、方程(3)的根,并猜测方程(n)的根.
(2)请指出上述几个方程的根有什么共同特点,写出一条即可.
14.关于y的方程my2﹣ny﹣p=0(m≠0)中的二次项的系数,一次项的系数与常数项的和为多少.
典例探究答案:
【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答.
一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.
由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
解:A、方程含有两个未知数,故选项错误;
B、不是整式方程,故选项错误;
C、含未知数的项的最高次数是4,故选项错误;
D、符合一元二次方程的定义,故选项正确.
故选:D.
点评:本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
练1.【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答.
解:依题意得,a2+1=2且a﹣1≠0,
解得a=﹣1.
即当a=﹣1时,方程是一元二次方程.
当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时,方程是一元一次方程.
故答案是:﹣1;1.
点评:本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
【例2】【解析】将方程整理为一般形式,找出二次项系数,一次项系数,以及常数项即可.
解:一元二次方程(1﹣3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0;它的二次项系数是5,一次项系数是8,常数项是﹣2.
故答案为:5x2+8x﹣2=0,5,8,﹣2
点评:一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在解题过程中容易忽视的地方.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
练2.【解析】将一元二次方程化为一般形式,主要包括几个步骤:去括号、移项、合并同类项.
去括号,得x2-x=5x-10.
移项、合并同类项,
得x2-6x+10=0.
其中二次项系数是1,一次项系数为-6,常数项为10.
练3.【解析】根据一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件,其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,可得答案.
解:一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0,
二次项系数,一次项系数,常数项分别为4,5,﹣81,
故选:B.
点评:本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值.
解:∵0是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根,
∴(m﹣1)×0+5×0+m2﹣3m+2=0,即m2﹣3m+2=0,
解方程得:m1=1(舍去),m2=2,
∴m=2,
故选:D.
点评:本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是直接把方程的一根代入方程,此题比较简单,易于掌握.
练4.【解析】将一根0代入方程,再依据一元二次方程的二次项系数不为零,问题可求.
解:∵一根是0,∴(a+1)×(0)2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0,即a=±1;
∵a+1≠0,∴a≠﹣1;
∴a=1.
练5.【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0,两边除以2n得n+=2,再利用完全平方公式变形得到原式=(n+)2﹣2,然后利用整体代入的方法计算.
解:把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0,
所以n+=2,
所以原式=(n+)2﹣2
=(2)2﹣2
=26.
故答案为:26.
点评:本题考查了一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.也考查了代数式的变形能力.
课后小测答案:
一、选择题
1.【解析】根据一元二次方程的定义进行判断.
解:A、当a=0时,该方程不是关于x的一元二次方程,故本选项错误;
B、该方程中含有2个未知数,且未知数的最高次数是1,它属于二元一次方程,故本选项错误;
C、该方程中含有2个未知数,且未知数的最高次数是2,它属于二元二次方程,故本选项错误;
D、符合一元二次方程的定义,故本选项正确.
故选:D.
点评:本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
2.【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0,x2=0是一元二次方程.
解:方程x2﹣2x﹣5=0,x3=x,y2﹣3x=2,x2=0,其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0,x2=0.
故选:B.
点评:本题考查了一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程.
3.【解析】本题根据一元二次方程的定义求解,一元二次方程必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.
解:根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得,a﹣3≠0,a≠3.故选:B.
点评:一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.当a=0时,上面的方程就不是一元二次方程了,当b=0或c=0时,上面的方程在a≠0的条件下,仍是一元二次方程,只不过是不完全的一元二次方程.
4.【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项.
解:由方程x(x+2)=5(x﹣2),得
x2﹣3x+10=0,
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10;
故选A.
点评:本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
5.【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
解:把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0,解得m=0或,
故选:D.
点评:本题的关键是把x的值代入原方程,得到一个关于待定系数的一元二次方程,然后求解.
6.【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根,根据方程解的含义,把x=3代入原方程,即可解出a的值,然后再解出关于y的方程的解.
解:∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根,
∴3×32+2a×3﹣3a=0,
解得:a=﹣9,
则关于y的方程是y2﹣12=﹣9,
解得y=.
故选:C.
点评:本题考查一元二次方程解的含义,解题的关键是确定方程中待定系数的值.
7.【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入(k+2)x2﹣kx﹣2=0中,利用一元二次方程的解,当k为任意值时,则对应的x的值一定为方程的解.
解:A、当x=1时,k+2﹣k﹣2=0,所以方程(k+2)x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1,所以A选项正确;
B、当x=﹣1时,k+2+k﹣2=0,所以当k=0时,方程(k+2)x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1,所以B选项错误;
C、当x=2时,4k+8﹣2k﹣2=0,所以当k=﹣3时,方程(k+2)x2﹣kx﹣2=0有一个根为2,所以C选项错误;
D、当x=﹣2时,4k+8+2k﹣2=0,所以当k=﹣1时,方程(k+2)x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2,所以D选项错误.
故选A.
点评:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
二、填空题
8.【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0,然后解不等式即可.
解:根据题意得m﹣2≠0,
所以m≠2.
故答案为:m≠2.
点评:本题考查了一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
9.【解析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
解:方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0,
二次项系数是2,一次项系数是﹣,常数项是﹣1.
点评:要确定一次项系数和常数项,首先要把法方程化成一般形式.注意在说明二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号
10.【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2,再变形2m2﹣4m+2010得到2(m2﹣m)+2010,然后利用整体代入的方法计算.
解:根据题意得m2﹣2m=2,
所以2m2﹣4m+2010=2(m2﹣m)+2010=2×2+2010=2014.
故答案为2014.
点评:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
三、解答题
11.【解析】各项方程整理后,找出二次项系数,一次项系数,以及常数项即可.
解:(1)方程整理得:5x2﹣3x=0,
二次项系数为5,一次项系数为﹣3,常数项为0;
(2)x2+(﹣1)x﹣3=0,
二次项系数为1,一次项系数为﹣1,常数项为﹣3;
(3)方程整理得:49x2﹣14x﹣2=0,
二次项系数为49,一次项为﹣14,常数项为﹣2;
(4)方程整理得:x2﹣1=0,
二次项系数为,一次项系数为0,常数项为﹣1;
(5)方程整理得:11m2﹣4m﹣5=0,
二次项系数为11,一次项系数为﹣4,常数项为﹣5.
点评:此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
12.【解析】(1)首先利用关于x的方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0,进而得出即可;
(2)分别将m的值代入原式求出即可.
解:(1)∵关于x的方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,
∴m2﹣3m+2=0,
解得:m1=1,m2=2,
∴m的值为1或2;
(2)当m=2时,代入(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0得出:
x2+5x=0
x(x+5)=0,
解得:x1=0,x2=﹣5.
当m=1时,5x=0,
解得x=0.
点评:此题主要考查了一元二次方程的解法,正确解一元二次方程是解题关键.
13.【解析】(1)利用因式分解法分别求出方程(1)、方程(2)、方程(3)的根,根据以上3个方程的根,可猜测方程(n)的根;
(2)观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1.
解:(1)(1)x2﹣1=0,
(x+1)(x﹣1)=0,
x+1=0,或x﹣1=0,
解得x1=﹣1,x2=1;
(2)x2+x﹣2=0,
(x+2)(x﹣1)=0,
x+2=0,或x﹣1=0,
解得x1=﹣2,x2=1;
(3)x2+2x﹣3=0,
(x+3)(x﹣1)=0,
x+3=0,或x﹣1=0,
解得x1=﹣3,x2=1;
…
猜测方程(n)x2+(n﹣1)x﹣n=0的根为x1=﹣n,x2=1;
(2)上述几个方程都有一个公共根是1.
点评:本题考查了一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.也考查了一元二次方程的解法.
14.【解析】令y=1,即可确定出方程的二次项的系数,一次项的系数与常数项的和.
解:令y=1,得到m﹣n﹣p=0,
则方程my2﹣ny﹣p=0(m≠0)中的二次项的系数,一次项的系数与常数项的和为0.
点评:此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
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课时8一元二次方程及其应用
班级_________姓名_________
【课前热身】
1.下列方程中是一元二次方程的有()
①9x2=7x②=8③3y(y-1)=y(3y+1)
④x2-2y+6=0⑤(x2+1)=⑥-x-1=0
A.①②③B.①③⑤C.①②⑤D.⑥①⑤
2.把方程x(x-1)=2写成一般形式________________.
3.方程x2-x=0的解是_____________;
方程的解是__________;
方程x2-2x-3=0的解是___________.
4.写一个有实数根的一元二次方程________________.
5.某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为,可列方程为___________.
【考点链接】
1.只含有个未知数,并且未知数的最高次数是的_____方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是().其中叫做二次项,______叫做一次项,叫做常数项;叫做二次项的系数,叫做一次项的系数,_____叫做常数项.
3.一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法:形如或的方程的根为______
(2)配方法
(3)公式法:方程,当_______0时,x=________
(4)因式分解法:①将方程的右边化为;②将方程的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.
4.关于x的一元二次方程的根的判别式为.
(1)0一元二次方程有两个实数根,
(2)=0一元二次方程有相等的实数根,即,
(3)0一元二次方程实数根.
【典例精析】
例1.若n()是关于x的方程的根,则m+n的值为____________.
例2.解方
(1)(2)
例3.用换元法解方程.
例4.已知关于x的方程。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是-1,求另一个根及k的值。
例5.如图,要设计一幅寛20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的寛度比为2:3,如果要使所有彩所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
【当堂反馈】
1.解方程
(1)3x2-4x+1=0(2)xx+1=0.
2.已知和的半径分别是一元二次方程的两根,且则和的位置关系是.
3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程的根,则该三角形的周长为()
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
4.若0是关于x的方程的解,求实数m的值,并讨论此方程解的情况。
5.已知,且求证:
6.某地区前年参加中考的人数为5万人,今年参加中考的人数为6.05万人.
(1)这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是多少?
(2)该地区3年来共有多少人参加中考?
【课后精练】
1.解方程:
(1)x2-3x-1=0(2)(y-1)2+5(y-1)-14=0
2.关于的方程有实数根,则整数的最大值是()
A.6B.7C.8D.9
3.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是()
A.B.
C.D.
4.已知是方程的两根,且,则的值等于()
A.-5B.5C.-9D.9
5.某农户承包荒山种了44棵苹果树,现已进入第三年收获期。收获时先随意摘了5棵树上的苹果,称得每棵树摘得的苹果重量如下(单位:千克)35,35,34,39,37。
(1)根据以上数据估计,这年苹果总产量为多少千克?
(2)若市场上苹果售价为每千克5元,则这年该农户卖苹果收入将达到多少元?
(3)已知该农户第一年卖苹果收入为5500元,假设第二、第三年都比上年增长了一个相同的百分数,根据以上估计,第二年的总收入是多少元?
6.某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元,如果人数超过25人,每增加1人人均旅游费降低20元,但人均旅游费不得低于700元,问该单位共去多少员工?
文章来源:http://m.jab88.com/j/68435.html
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