4.1平行四边形的性质(2)
导学目标
1.掌握平行四边形的性质及平行线间的距离的概念。
2.理解平行线间的距离处处相等的结论,并了解其简单应用。
导学重点:理解并正确运用平行四边形的性质。
导学难点:平行四边形性质的探索。
导学方法:探索归纳法。
导学过程:
一、复习引入课题
1.在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是()
A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1
2.平行四边形的两条对角线把它分成全等三角形的对数是()
A.2B.4C.6D.8
3.在□ABCD中,∠A、∠B的度数之比为5∶4,则∠C等于()
A.60°B.80°C.100°D.120°
4.□ABCD的周长为36cm,AB=BC,则较长边的长为()A.15cmB.7.5cmC.21cmD.10.5cm
5.如图,□ABCD中,EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1.3,则四边形BCEF的周长为()
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
二、讲授新课
1.做一做:(P100“做一做”的内容)
鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质:
如图4-3,□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,
(1)图中有哪些三角形是全等的?有哪些线段是相等的?
(2)能设法验证你的猜想吗?(测量,旋转,证明)
2.观察:
通过以上活动,你能得到哪些结论?结论:平行四边形的性质3:______________________。
三、例题讲解:
如下图,四边形ABCD是平行四边形,BD⊥AD,求BC,CD及OB。
引导学生寻求解题思路。
(让学生发表自己的见解,既培养了学生的语言表达能力及推理能力,又提高了学生的逻辑思维能力)
提出问题:“想一想”
引出平行线间距离的概念,并引导学生对比点到直线的距离,两点间距离等概念。
(让学生进一步感知生活中处处有数学)
和直线l距离为8cm的直线有______条.
三、例题讲解:p101例2
得出结论:平行线之间的距离________________.
四、随堂练习:
P102随堂练习第1题
2.如图,在□ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等?为什么?
五、课堂小结:你学到了什么?
六、课后巩固:p102习题4.2第1题和第2题
七、课后反思:
平行四边形的性质(2)
教学目标:
1、知识与技能:探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质,掌握平行线之间的距离的功概念。
2、过程与方法:
利用平行四边形的对边相等的性质,借助三角形全等的知识,通过合理推理,探索平行四边形的对角线互相平分的性质。
3、情感态度与价值观:
在探索平行四边形的性质活动中,培养学生的探究、合作精神,增强推理的能力。
教学重点:
史学史掌握平行四边形的对角线互相平分的性质。
教学难点:
平行四边形性质的综合运用。
教学互动设计:
一、回顾、思考
1、定义与性质——
2、利用定义与性质解题————
①、已知平行四边形的一角,可求;
②、已知平行四边形的两邻边,可求;
3、练一练
略
二、情境导课
如图4—3,□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O。
(1)图中有哪些三角形是全等的?
(2)能设法验证你的结论吗?
想一想
由本题你又能得出平行四边形怎样的性质?
平行四边形的性质:
A
B
D
C
O
平行四边形的对角线互相平分。三、利用定义、性质解题
1、例1如图,四边形ABCD是平行四边形,
DB^AD,求BC,CD及OB的长.。
分析:(1)在□ABCD中,BC是的对边;
CD是的对边;
因为AD、AB已知,
所以,利用平行四边形的性质“”可求出它们;
(2)点O是,
利用平行四边形的性质“”可知OB是BD的一半。
(3)求BD的长应摆在△中用定理来计算。
2、想一想
在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长?(见P101图)
a
b
A
B
C
D
例2已知直线a∥b,过直线a上任意两点A、B分别向直线b作垂线,交直线b于点C、点D.
(1)线段AC、BD所在的直线有怎样的位置关系?
(2)比较线段AC、BD的长短.
在例2中,线段AC的长是点A到直线b的距离;同样,线段BD的长是点B到直线b的距离,且AC=BD.
如果两条直线平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,这个距离称为平行线之间的距离..
平行线间的距离处处相等.
3、议一议
举出生活中的几个实例,反映“平行线之间的垂线段处处相等”的几何事实.
四、随堂练习
□ABCD的两条对角线相交O,OA,OB,AB的长度分别为3厘米,4厘米,5厘米,求其他各边以及两条对角线的长度.
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
五、作业
P102习题4.21、2、3
第十九章平行四边形
19.1.1平行四边形及其性质(一)
一、教学目标:
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角的性质.
2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的.
3.培养学生发现问题、解决的能力及逻辑推理能力.
二、重点、难点
1.重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等及对角线互相的性质,以及性质的应用.
2.难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
三、课堂引入
1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏,想一想它们是四边形。
平行四边形是我们常见的图形,请你在举出平行四边形在生活中应用的例子。
你能说出平行四边形的定义吗?
(1)定义:两组对边分别的四边形是平行四边形.
(2)如右图:平行四边形用符号“”来表示.读作。
2:平行四边的定义:
①用文字语言表示为:(如图是图形语言)
在四边形ABCD中,AB平行于DC,AD平行于BC,那么四边形ABCD是.
②用符号语言表示为:
∵AB//DC,AD//BC,∴四边形ABCD是。(判定);反过来:
∵四边形ABCD是。∴AB//DC,AD//BC(性质).
注意:平行四边形中对边是指无公共的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共的边,邻角是指有一条公的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.
所以我说定义很特殊:既可以当用,又可以当用。
3;平行四边的性质:
【探究】平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的一般性质(如内角和为360°)和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?我们进行探究.
我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外,度量它的边和角,发现平行四边形的对边,对角,邻角,
(1)证明,如图:∵AB∥CD,AD∥BC∴∠+∠BAD=180°,∠+∠=180°∴平行四边形中,相邻的角互为补角.
(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等.
下面证明这个结论的正确性.
已知:如图ABCD,
求证:AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
分析:作ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ABC和△CDA,证明这两个三角形即可得到结论.
(作对角线是解决四边形问题常用的线,通过作对角线,可以把四边形的问题转化为形的问题来解决.)
证明:连接AC,如图
∵AB∥,AD∥BC,∴∠1=∠3,∠=∠4.又AC=CA,∴△ABC≌△CDA(ASA).
∴AB=,=AD,∠=∠D.又∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠BCD.
由此得到:用文字语言表示为
平行四边形性质1平行四边形的对边相等.
平行四边形性质2平行四边形的对角相等.
用符号语言表示为:
∵如图在ABCD中∴AB=,CB=AD,∠B=∠,∠A=∠C.
五、例习题分析
例1如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:AF=CE.
分析:要证AF=CE,需证△≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠=∠B,AD=,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得=DF.由“边角边”可得出所需要的结论.
证明.在ABCD中,∵AB=CD,又∵=∴BE=DF.
∵CB=AD,∠B=∠D∴△≌△∴.
六、随堂练习
1.填空:
(1)在ABCD中,∠A=,则∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(2)如果ABCD中,∠A—∠B=240,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(3)如果ABCD的周长为28cm,且AB:BC=2∶5,那么AB=cm,BC=cm,CD=cm,CD=cm.
2.如图4.3-9,在ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,E、F为垂足,
求证:BE=DF.
七、课后练习
1.(选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是().
(A)对角相等(B)对角互补(C)邻角互补(D)内角和是
3.如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证AB=CE.
【证明】:∵AD∥BC∴∠DBC=∠,又∵BD平分∠ABC。
∴∠=∠ADB,∴=∴AB=AD.
又∵AD∥BC,AE∥CD∴四边形AECD是
∴AD=CE,又AB=AD∴.
19.1.1平行四边形的性质(二)
一、教学目标:
1.理解平行四边形对称的特征,掌握平行四边形对角线互相的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关,和证明.
3.培养学生的论证能力和逻辑能力.
二、重点、难点
1.重点:平行四边形对角线互相的性质,以及性质的应用.
2.难点:综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
三.课堂引入
1.复习提问:
(1)的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是。
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质(内角和是).②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
边:平行四边形的对边相等.
2.【探究】:
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形落在一起,在点O处钉一个图钉,将ABCD绕点O旋转,观察它还和EFGH重合吗?(填重合或不重合)进一步,我们还能发现平行四边形的对角线有性质是(用文字说明)
结论:(1)平行四边形是对称图形,两条对角线的交点是;
(2)平行四边形的对角线互相.
用符号语言表示为:如图在EFGH中EG、HF交与O点∴OH=,
GO=
四、例习题分析
例1已知:如图4-21,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:OE=OF,AE=CF,BE=DF.
证明:在ABCD中,AB∥CD,
∴∠1=∠.∠3=∠.又=OC(),
∴△AOE≌△COF()∴OE=OF,=CF(全等三角形对应边相等).
∵ABCD,∴AB=(平行四边形对边相等).∴AB—AE=CD—CF.即BE=FD.
【引申】若例1中的条件都不变,将EF转动到图b的位置,那么例1的结论是否成立?若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d),例1的结论是否成立,说明你的理由.
请你利用图(b)来证明。你想到的辅助线是。可以利用对顶。(自己完成证明)
【证明】
例2已知四边形ABCD是平行四边形,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积.
19.1.2(一)平行四边形的判定
一、教学目标:
1.在探索平行四边形的判定,理解并掌握用、角,对角线来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来问题.
3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.
二、重点、难点
3.重点:平行四边形的判定方法及应用.
4.难点:平行四边形的判定定理与定理的灵活应用.
三、课堂引入
1.欣赏上面图片、提出问题.有个平行四边形?你是怎样判断的?
让你画一个平行四边你会怎么画。(自己说自己的想法)
从中得到平行四边的判定方法:(1)文字语言表示为:
平行四边形判定方法1两组对边分别的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2对角线互相的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法3两组对角的四边形是平行四边形
(2)用符号语言表示:如图:(1)∵AB=,CB=∴四边形ABCD是平行四边形
(2)∵AO=CO,BO=DO.∴四边形ABCD是平行四边形(3)∵∠BAD=∠,∠ABC=∠
∴四边形ABCD是平行四边形.
五、例习题分析
例1(教材P96例3)已知:如图ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.
分析:欲证四边形BFDE是平行四边形可根据判定方法2来证明.
证明:在ABCD中,AO=CO,BO=DO,又∵E,F为AO,CO的中点
∴=,BO=DO∴四边形BEDF是。
例2已知:如图,A′B′∥BA,B′C′∥CB,C′A′∥AC.
求证:(1)∠ABC=∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′;
(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.
证明:(1)∵A′B′∥BA,C′B′∥BC,
∴四边形ABCB′是形.
∴∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).
同理∠CAB=∠A′,∠=∠C′.
(2)∵A′B′∥BA,C′B′∥BC∴四边形ABCB′是平行四边形.同理,四边形ABA′C是平行四边形.
∴AB=B′C,AB=A′C(平行四边形的对边相等).
∴=A′C.同理B′A=,A′B=.
∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.
例3)小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗?并说说你的理由.
解:有6个平行四边形,分别是,,,,,.
理由是:因为正△ABO≌正△AOF,所以AB=,=FA
根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,
可知四边形是平行四边形.其它五个同理.
六、随堂练习
1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=____cm,CD=____cm时,
四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=___cm,DO=___cm时,
四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:如图,ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:EO=OF.
【证明】:
七、课后练习
1.(选择)下列条件中能判断四边形是平行四边形的是().
(A)对角线互相垂直(B)对角线相等
(C)对角线互相垂直且相等(D)对角线互相平分
2.已知:如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥AC,
求证:BE=CF
19.1.2(二)平行四边形的判定
一、教学目标:
1.掌握用一组对边平行且来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来问题.
3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高问题的能力.
二、重点、难点
1.重点:平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.
2.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的综合.
三、课堂引入
1.平行四边形的性质有个;2..平行四边形的判定方法有个我们看下面的判方法
【探究】取两根等长的木条AB、CD,将它们平行放置,再用两根木条BC、AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?()填是或者不是
结论:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图;∵AD=CB,且ABCD,∴四边形ABCD是。
四、例习题分析
例1)已知:如图,ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,
求证:BE=DF.
分析:证明BE=DF,可以证明两个三角形,也可以证明
四边形BEDF是四边形,比较方法,可以看出第二种方法简单.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CB.
∵E、F分别是AD、BC的点,
∴DE∥BF,且DE=AD,BF=.
∴DE=.
∴四边形BEDF是平行四边形().
∴BE=DF.
例2已知:如图,ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF是平行四边形.
分析:由已知得BE⊥AC于E,DFAC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=,这需要证明△ABE与△CDF,(由角角边即可证明全等)
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ABCD,且AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.()
∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=°.
∴△ABE≌△CDF().
∴BE=DF.又∵BE∥DF,
∴四边形BEDF是四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).
五、课堂练习
1.(选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是().
(A)AB∥CD,AD=BC(B)∠A=∠B,∠C=∠D
(C)AB=CD,AD=BC(D)AB=AD,CB=CD
2.已知:如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,
找出图中的平行四边形,并说明理由.
3.已知:如图,在ABCD中,
AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.求证:四边形AFCE是平行四边形.
六、课后练习
1.判断题:
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形;()
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;()
(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;()
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;()
(5)对角线相等的四边形是平行四边形;()
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形.()
2.延长△ABC的中线AD至E,使DE=AD.求证:四边形ABEC是平行四边形.
19.1.2(三)平行四边形的判定——三角形的中位线
一、教学目标:
1.理解三角形中位线的,掌握它的性质.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的和计算.3.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的.
4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.
二、重点、难点
1.重点:掌握和运用形中位线的性质.2.难点:三角形中位线性质的证明(线的添加方法).三、课堂引入
创设情境实验:请同学们思考:将任意一个三角形分成四个全等的三角形,你是如何切割的?(答案如图)
图中有几个平行四边形?。
你是如何判断的?。
五、例习题分析
例1如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:DE∥BC且DE=BC.
分析:所证明的结论既有平行关系,又有关系,联想已学过的知
识,可以把要证明的内容转化到一个中,利用平行四边形的
对边平且的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这
就需要添加适当的线来构造平行四边形.
方法1:如图(1),延长DE到F,使EF=DE,连接,由△ADE≌△,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.(也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)自己写清楚辅助线的做法
【证明】:
定义:连接三角形两边点的线段叫做三角形的中位线.
(1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
三角形中位线的性质:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.符号语言表示为:在△ABC中,AD=,AE=CE,∴DEBC且DE∥BC。
例2已知:如图(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连结AC(图(2)),△DAG中,∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位线性质).
同理EF∥AC,EF=AC.∴HG∥EF,且HGEF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
此题可得结论:顺次连结四边形四条边的点,所得的四边形是四边形.
六、课堂练习
1.(填空)如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,
连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,
如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,
理由是.
2.已知:三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,
求连结各边中点所成三角形的周长是.
.
七、课后练习
1.(填空)一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
2.已知:如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
文章来源:http://m.jab88.com/j/62641.html
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