专题20正方形
阅读与思考
矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形,正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的菱形,因此,我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.
正方形问题常常转化为三角形问题解决,在正方形中,我们最容易得到特殊三角形、全等三角形,熟悉以下基本图形.
例题与求解
【例l】如图,在正方形纸片中,对角线,交于点,折叠正方形纸片,使落在上,点恰好与上的点重合,展开后,折痕分别交,于点,.下列结论:①;②;③;④四边形是菱形;⑤.
其中,正确结论的序号是______________.(重庆市中考试题)
解题思路:本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法.
【例2】如图1,操作:把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上
,取线段的中点.连,.
(1)探究线段,的关系,并加以证明.
(2)将正方形绕点旋转任意角后(如图2),其他条件不变.
探究线段,的关系,并加以证明.
(大连市中考题改编)
解题思路:由为中点,想到“中线倍长法”再证三角形全等.
【例3】如图,正方形中,,是,边上两点,且,于,求证:.
(重庆市竞赛试题)
解题思路:构造的线段是解本例的关键.
【例4】如图,正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形,是与的交点,若矩形的面积恰是矩形面积的2倍,试确定的大小,并证明你的结论.
(北京市竞赛试题)
解题思路:先猜测的大小,再作出证明,解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系.
【例5】如图,在正方形中,,分别是边,上的点,满足,
分别与对角线交于点.
求证:(1);
(2).(四川省竞赛试题)
解题思路:对于(1),可作辅助线,创造条件,再通过三角形全等,即可解答;对于(2),很容易联想到直角三角形三边关系.
【例6】已知:正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交,(或它们的延长线)于点.
当绕点旋转到时(如图1),易证.
(1)当绕点旋转到时(如图2),线段和之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
(黑龙江省中考试题)
解题思路:对于(2),构造是解题的关键.
能力训练
A级
1.如图,若四边形是正方形,是等边三角形,则的度数为__________.
(北京市竞赛试题)
2.四边形的对角线相交于点,给出以下题设条件:
①;
②;
③;
④.
其中,能判定它是正方形的题设条件是______________.(把你认为正确的序号都填在横线上)(浙江省中考试题)
3.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住一个不动,将另一个绕顶点顺时针旋转,则这两个正方形重叠部分的面积是__________.
(青岛市中考试题)
第1题图第3题图第4题图
4.如图,是正方形内一点,将绕点顺时针方向旋转至能与重合,若,则=__________.(河南省中考试题)
5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放,点分别是正方形的中心,则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()
A.B.C.D.
(晋江市中考试题)
第5题图第6题图
6.如图,以的斜边为一边在的同侧作正方形,设正方形的中心为,连接,如果,则的长为()
A.12B.8C.D.
(浙江省竞赛试题)
7.如图,正方形中,,那么是()
A.B.C.D.
8.如图,正方形的面积为256,点在上,点在的延长线上,的面积为200,则的值是()
A.15B.12C.11D.10
9.如图,在正方形中,是边的中点,与交于点,求证:.
10.如图,在正方形中,是边的中点,是上的一点,且.
求证:平分.
11.如图,已知是正方形对角线上一点,分别是垂足.
求证:.
(扬州市中考试题)
12.(1)如图1,已知正方形和正方形,在同一条直线上,为线段的中点.探究:线段的关系.
(2)如图2,若将正方形绕点顺时针旋转,使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上,为的中点.试问:(1)中探究的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(大连市中考试题)
图1图2
B级
1.如图,在四边形中,,于,若四边形的面积为8,则的长为__________.
2.如图,是边长为1的正方形内一点,若,则
__________.
(北京市竞赛试题)
3.如图,在中,,以为一边向三角形外作正方形,正方形的中心为,且,则的长为__________.
(“希望杯”邀请赛试题)
4.如图:边长一定的正方形,是上一动点,交于,过作交于点,作于点,连接,下列结论:①;②;
③;④为定值,其中一定成立的是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
5.如图,是正方形,,是菱形,则与度数的比值是()
A.3B.4C.5D.不是整数
6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形,那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()
A.B.C.8D.E.
(美国高中考试题)
7.如图,正方形中,,是的中点,设,在上取一点,使
,则的长度等于()
A.1B.2C.3D.
(“希望杯”邀请赛试题)
8.已知正方形中,是中点,是延长线上一点,且交平分线于(如图1)
(1)求证:;
(2)若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变(如图2),(1)中结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图2,点是的延长线上(除点外)的任意一点,其他条件不变,则(1)中结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(临汾市中考试题)
`
9.已知求证:
10.如果,点分别在正方形的边上,已知的周长等于正方形周长的一半,求的度数.(“祖冲之杯”邀请赛试题)
11.如图,两张大小适当的正方形纸片,重叠地放在一起,重叠部分是一个凸八边形,对角线分这个八边形为四个小的凸四边形,请你证明:,且.
(北京市竞赛试题)
12.如图,正方形内有一点,以为边向外作正方形和正方形,连接.求证:.
(武汉市竞赛试题)
19.2.3正方形
一、教学目的
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.
二、重点、难点
1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:
①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
四、课堂引入
1.做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:什么样的四边形是正方形?
正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)
2.【问题】正方形有什么性质?
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
五、例习题分析
例1(教材P111的例4)求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2(补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:OE=OF.
分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
例3(补充)已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:四边形PQMN是正方形.
分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
证明:∵PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°.
∵PQ∥NM,
∴四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴∠1+∠2=90°.
又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3.
∴△ABM≌△DAN.
∴AM=DN.同理AN=DP.
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN.
∴四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
六、随堂练习
1.正方形的四条边______,四个角_______,两条对角线________.
2.下列说法是否正确,并说明理由.
①对角线相等的菱形是正方形;()
②对角线互相垂直的矩形是正方形;()
③对角线垂直且相等的四边形是正方形;()
④四条边都相等的四边形是正方形;()
⑤四个角相等的四边形是正方形.()
1.已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别
为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.
求证:∠AFE=∠AEF.
4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,
求∠EAD与∠ECD的度数.
七、课后练习
1.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
求证:EA⊥AF.
2.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形CFDE是正方形.
3.已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF.
八年级数学下册《丰富多彩的正方形》教学设计
一教学目标:
1.知识与技能:
(1)复习正方形的有关性质和判定方法.
(2)能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题.
2.过程与方法:通过观察,讨论,归纳,得出结论,经历由一般到特殊的思维进程,获得数学思想,发展学生的数学推理能力。
3.情感态度与价值观:
(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神;
(2)通过小组讨论活动,培养学生合作的意识。
二。教学过程:
1.导课:
同学们,今天我们一起学习《丰富多彩的正方形》,这是一节实验与探究课。
2.展示平行四边形,矩形,菱形和正方形,比较这四种图形哪一种图形的性质最多呢?(通过比较得出结论:正方形的性质最多)
3.正方形的特殊性:正方形既是矩形又是菱形,它既具有举行的性质又具有菱形的性质。
4.回顾正方形的性质:
(1)正方形的对边平行,四边相等;
(2)正方形的四个角相等,且每个角为直角;
(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
(4)正方形是轴对称图形,共有4条对称轴。
这些都是正方形的基本性质。事实上,正方形是丰富多彩的、有趣的。它还有许多特殊的有趣的性质。
接下来我们一起来实验、探究正方形有趣的性质。
5.探究:
如图:正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等。无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的?。想一想,这是为什么?
证明∵四边形ABCD是正方形
∴AO=BO∠OAE=∠OBF∠AOE=90°—∠BOE
又∵四边形A1B1C1O是正方形,
∴∠A1OC1=90°
∴∠BOF=∠A1OC1—∠BOE=90°—∠BOE
∴∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴S△AOE=S△BOF
又∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOF
∴S四边形OEBF=S△BOE+S△AOE
=S△AOB
=?S正方形ABCD
6.正方形的应用:在生活中的应用。
7结束语
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